精品解析：湖南省长沙市南雅中学2026届高三上学期适应性保温训练数学试题

南雅中学2026届高三适应性考试保温训练试卷 数学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页.时量120分钟，满分150分. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（ ） A. 12，0.06 B. 12，0.24 C. 18，0.09 D. 18，0.36 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中数据，先计算出频数，再计算频率. 【详解】第3组的频数，频率为. 故选：B 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法化简可得，根据复数的概念即可求解. 【详解】复数满足，则， 所以复数虚部是. 故选：D 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解对数不等式求集合，再由集合交运算求结果. 【详解】由，而， 所以. 故选：B 4. 不等式：的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】移项，通分，因式分解，利用分式不等式的解法可得答案. 【详解】移项并通分：， 因式分解得：， 解得：或. 故选：B 5. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由为锐角三角形，可得，再利用正弦定理，即可得解． 【详解】因为为锐角三角形，角， 所以，解得，所以， 由正弦定理知，， 所以 故选：A． 6. 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设，联立抛物线并应用韦达定理及中点横坐标求得，再由弦长公式求. 【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设， 联立，可得，则， 所以，，则，得， 所以. 故选：B 7. 已知数列为等差数列，数列满足.、分别是数列、的前项和，，且，则数列的公差（ ） A. B. 1或 C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得，结合等差数列的通项公式得，应用等差数列的前n项和公式得、，最后由已知求参数值，即可得. 【详解】由题设，可得， 又，则， 所以，， 所以，可得， 所以或，则或1. 故选：B 8. 已知内角、、的对边分别为，，，且，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由倍角公式转化题设所给条件，再结合正弦定理角化边得到，接着对所求进行切化弦，再由正余弦定理进行角化边化简即可得解. 【详解】因为， 所以，即， 则由正弦定理得， 所以. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等比数列的前项和为，前项积为，，以下结论正确的有（ ） A. 数列为递减数列 B. 是与的等差中项 C. 数列的前项和的最大值为16 D. 有最大值为64 【答案】ABD 【解析】 【分析】由递推公式依次求出等比数列的前两项，进而求出公比即可判断A；由即可判断B；求出数列的通项公式，由数列的单调性和正负情况即可判断C；由题意直接计算，再由指数函数性质和二次函数性质即可分析求解判断D. 【详解】因为是等比数列的前项和， 所以， 所以等比数列的公比为， 所以，且数列为递减数列，故A正确； 因为、、， 所以，即是与的等差中项，故B正确； 数列为递减数列，且当时，当时， 所以数列的前项和的最大值为，故C错误； 由题意 ， 因为为减函数，所以当或时有最大值为，故D正确. 故选：ABD 10. 设，，，则有（ ） A. 的定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用对数的性质求函数的定义域判断A，由奇偶性的定义判断函数的奇偶性判断B，由对数复合函数的单调性，结合参数范围判断的单调性判断CD. 【详解】由题设，则，定义域为，A错， 由， 所以为偶函数，B对， 由题设，定义域为， 由，则在定义域上单调递减，在定义域上单调递增， 所以在上单调递减，C对， 当时，令，则在定义域上单调递增， 原不等式等价于. 根据单调性，此不等式成立的条件为，即. 因为题设条件为，且对于任意实数都有，所以恒成立. 因此，只要的取值能使函数有定义，该不等式就成立.故D正确 故选：BCD 11. 双曲线的左、右焦点分别是、，左、右顶点分别为，以为直径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则（ ） A. B. C. 的离心率为 D. 当时，四边形的面积为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线与余弦定理先判定为直角，结合双曲线的性质一一判定选项即可. 【详解】设，易知， 作双曲线的一条渐近线，如图所示， 对于A项，易知与互相平分，所以四边形为平行四边形，则， 由可知，故A正确； 对于B项，易知， 又，可解得， 在中由余弦定理可知， 整理得，则为直角三角形， 由A可知，即，故B正确； 对于C项，由B项知， 所以，故C错误； 对于D项，易知当时，， 四边形的面积为，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量垂直坐标运算可得，再计算，进而可得. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 则，， 所以. 故答案为： 13. 已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则_____. 【答案】2026 【解析】 【分析】先由对数运算法则求出，再由等差数列下标性质即可计算求解. 【详解】由题意， 因为是等差数列，所以， 所以. 故答案为： 14. 已知长方体中，，，为中点，，，，四点都在球的球面上，且，，，四点都在球的球面上，记球与球两球面上的所有公共点构成轨迹，则的周长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先由题意分析得到球心，的具体位置，再分析得到轨迹即为以为圆心，且过四点的圆的周长，然后在矩形中，求出外接圆直径，即可求出的周长. 【详解】 如图所示，设为的中点，分别为的中点， 分别为中点，连接， 分别为的中点，， 由题意可知，因为四点都在球的球面上， 所以即为三棱锥外接球的球心， 也就是三棱柱外接球的球心， 因为三棱柱是直三棱柱，且为直角三角形， 所以外接球的球心在的中点处， 同理，就是三棱柱外接球的球心，且在的中点处， 因为球与球两球面同时经过四点， 所以球与球两球面上的所有公共点构成轨迹 即为以为圆心，且过四点的圆的周长， 在矩形中，因为，，， 所以，， 所以矩形的外接圆直径， 所以，所以外接圆的周长为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求角； （2）若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知等式利用诱导公式和正弦定理化简，得，可得角；    （2）由已知条件中得到，余弦定理得，可求的周长. 【小问1详解】 由得， 由正弦定理得：， 又，，则有，即， 又，所以. 【小问2详解】 由且，则有， 由余弦定理得， 即， 由，解得， 所以周长为. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求椭圆参数，即可得. （2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出三角形面积，利用基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 依题意且，可得，则； 【小问2详解】 依题意，设直线方程为，则， 消去并整理得， ， 设，则， 则面积， 令，则，且， ，而在上单调递增，其值域为， 所以时，面积的最大值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，.，， （1）试问为何值时，平面？并予以证明. （2）若， （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，先证明四边形是平行四边形，然后根据线面平行的判定定理即可证明； （2）（i）以为原点，，，所在直线建立空间直角坐标系，计算平面的法向量和平面的一个法向量，然后用空间向量的夹角公式； （ii）设，，表示点坐标，求出平面的一个法向量，最后用空间向量点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 当时，平面，证明如下： 取的中点，连接，， 因为，所以为的中点， 在中，为中点，为中点， 则，， 又因为，，， ，，所以四边形是平行四边形， ，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 （i）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，，， ， 取平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 ， 则， 令，得，，故， 设两平面夹角为，所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （ii）设，， ，则， ，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 点到平面的距离为 ， 解得，故. 18. 已知函数，. （1）在处的切线的斜率为，求的值； （2）若函数有两个极值点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i） （ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，然后代入，计算即可； （2）（i）对求导，化简后根据有两个正解来求的取值范围； （ii）代入化简，构造新的函数，找出隐零点，然后利用导函数求解最值，证明小于0. 【小问1详解】 对求导： ， 因为在处切线斜率为，所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，极值点满足， 即， 整理得， 该方程在有两个不同正根，， 所以判别式，解得， 两根之和，两根之积， 综上； （ii）由（i）知，， 先计算： ， 代入，， 且， 所以， 要证， 即证， 整理得， 令，， 求导， 因为，， 由零点存在定理，存在唯一的隐零点， 使得， 即， 当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减， 因此 在处取得最大值 ， 将代入： ， 令， 由对勾函数性质知 在上单调递增， ， 因此， 即， 故. 19. 甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1）设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. （2）设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 【答案】（1）（i）；（ii），证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）（i）由比赛局数和甲赢的局数服从二项分布即可结合互斥事件概率加法公式计算求解； （ii）记事件“甲获胜”，事件“乙获胜”，由甲乙获胜各赢的局数以及每局赢的概率结合没有平局结果的特性即可求解证明； （2）先根据甲赢的局数服从二项分布和二项式定理原理求出的表达式，接着计算差值和，再由不等式性质分析即可比较大小得证. 【小问1详解】 （i）当时，比赛局数为局， 则甲获胜条件是至少赢两局，且甲赢的局数服从二项分布， 所以； （ii），证明： 记事件“甲获胜”，则甲赢的局数，事件“乙获胜”，则乙赢的局数， 因为，所以， 又因为打的局数为奇数，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. 所以，所以， 所以； 【小问2详解】 由题甲赢的局数服从二项分布， 则“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率 ， 因为， ， 所以， 所以， 同理， 因为，所以，， 所以， 所以，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南雅中学2026届高三适应性考试保温训练试卷 数学 命题：高三数学备课组 审题：高三数学备课组 本试题卷分为单项选择题、多项选择题、填空题与解答题四个部分，共4页.时量120分钟，满分150分. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 现有一个容量为50的样本，其数据的频数分布表如下表所示： 组号 1 2 3 4 5 频数 9 12 9 8 则第3组的频数和频率分别是（ ） A. 12，0.06 B. 12，0.24 C. 18，0.09 D. 18，0.36 2. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式：的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，角，边长，则边长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（ ） A. 20 B. 16 C. 12 D. 8 7. 已知数列为等差数列，数列满足.、分别是数列、的前项和，，且，则数列的公差（ ） A. B. 1或 C. 1或 D. 8. 已知内角、、的对边分别为，，，且，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知等比数列的前项和为，前项积为，，以下结论正确的有（ ） A. 数列为递减数列 B. 是与的等差中项 C. 数列的前项和的最大值为16 D. 有最大值为64 10. 设，，，则有（ ） A. 定义域是 B. 是偶函数 C. 当时，在上单调递减 D. 当时，恒成立 11. 双曲线的左、右焦点分别是、，左、右顶点分别为，以为直径的圆与的一条渐近线交于两点，且，则（ ） A B C. 的离心率为 D. 当时，四边形的面积为. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量，，若，则______． 13. 已知数列、满足，，其中是等差数列，且，则_____. 14. 已知长方体中，，，为中点，，，，四点都在球的球面上，且，，，四点都在球的球面上，记球与球两球面上的所有公共点构成轨迹，则的周长为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，，，. （1）求角； （2）若，求的周长. 16. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程； （2）过点的直线交于，两点，求面积的最大值. 17. 如图，四棱锥中，底面，，.，， （1）试问为何值时，平面？并予以证明. （2）若， （i）求平面与平面夹角的余弦值； （ii）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，. （1）在处切线的斜率为，求的值； （2）若函数有两个极值点，， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 19. 甲、乙两人共进行局比赛，假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1）设，若全部局比完后，所赢局数多者获胜.甲获胜的概率记为， （i）求； （ii）试比较与的大小，并证明你的结论. （2）设，“局比赛结束后，甲赢得奇数局比赛”的概率记为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $