河北唐山市丰润区区2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷立足基础，融合生活情境与时代热点，如工人检测椅子的平面公理应用、“双碳”目标数据分位数计算，体现数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数、立体几何、统计|第2题以工人检测椅子情境考查平面公理，体现数学应用| |填空题|3题15分|向量、旋转体体积|第13题结合半圆剪拼旋转求体积，考查空间想象| |解答题|5题77分|立体几何、解三角形、统计|第18题社区服务次数统计，考查数据处理与模型应用，贴合高考命题趋势|

丰润区2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学答案 1.A 【分析】利用复数的减法及复数的有关概念求解。 【详解】依题意，(4+i)-(1+5i)=3-4i,其虚部为-4. 故选：A 2.A 【分析】利用平面的基本性质求解 【详解】解：由于连接对脚的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是两条相交直线确定一个平面， 故选：A 3.D 【分析】直接利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得a=c sin A sinC' 所以c=asiC_ 2W2x3 4=√5 sin A 故选：D 4.D 【分析】根据线线之间的位置关系分析即可 【详解】由题意知m与1平行或相交，n与1平行或相交，但直线1与m,n不能同时平行， 若直线1与m,n同时平行，则m与n平行，与两直线异面矛盾， 所以1与m,n中的一条相交或与m,n都相交 故选：D 5.C 【分析】根据众数、平均数、中位数、百分位数的定义逐一判断 【详解】由众数的定义可知，100户居民月均用水量在区间[4.2,7.2)内的居民用户最多，再由 样本估计总体可知，A正确： 由图可知，随着月均用水量的增加，高度呈现降低的趋势，故B正确： 平均数为(2.7×0.077+5.7×0.107+8.7×0.043+11.7×0.030+14.7×0.030 +17.7×0.017+20.7×0.010+23.7×0.013+26.7×0.007)×3=8.9604, 因为0.077×3=0.231，(0.077+0.107)×3=0.552，则中位数在第二组内， 设中位数为x,则0.231+(x-4.2)×0.107=0.5,得x≈6.7， 故可以估计该市月均用水量的平均数大于中位数，故C错误： 因为(0.077+0.107+0.043+0.030)×3=0.771，(0.077+0.107+0.043+0.030+0.030)×3=0.861， 则80%分位数在第五组内， 第1页共10页 设该市居民月均用水量的80%分位数为y,则0.771+(y-13.2)×0.030=0.8, 得y≈14.2，故D正确 故选：C 6.D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求AM,BN坐标，利用夹角公式即可求解： 法2以{AB,AC为基底，利用平面向量基本定理将M,B向量用{AB,AC表示，利用数量积 的夹角公式即可求解 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图： 依题忘可知s同，c50,如鸟作 则：w9,m-后5 m丽=3×+5)= 2 网--画 .cos∠IPW= AM.BN 3 4v91 |AMBN|V39√21 91. 2 2 故选：D 法2：M,N分别是BC,AC的中点， ∴m-+40,丽-N-丽-c-丽. .AM与BN的夹角等于∠MPN,∴.cos∠PN= AM·BN IAMI‖BNI :aw丽-5西+a©}4c-8 C--1x2x5x 丽-证2.ac4ac4{2-225+9】 2 第2页共10页 BN= 4c-ac丽+-5-25×2-互 .cos∠MPW= 4W91 √39.√21 91. 2 2 故选：D 7.A 【分析】根据向量的线性运算及平面向量基本定理计算求参 【详解】在平行四边形ABCD中，O是对角线AC,BD的交点，AB=;AD,FC=}AC, 4 因为丽=-亚-4c-0=西+0)0=西+0=+西， 4 2 则x= 3 4 4’t+y=1. 故选：A 8.B 【分析】根据百分位数的定义计算求解， 【详解】数据从小到大为：2,4,5,7,8,9,11,12,13,15，且10×0.3=3， 则该组数据的30%分竹数是生=6 故选：B 9.ACD 【分析】根据复数的除法及乘法计算求解判断A,根据复数的乘方计算判断D,应用几何意 义判断象限判断B,应用模长公式计算判断C. 【详解】复数：++”-i, 1-i(1-i)(1+i)2 则z=-i,A选项正确： 在复平面内，复数z-1=-1+i对应的点(-1,1)位于第二象限，B选项错误： +i=2i=2,C选项正确： z2025=25==i是纯虚数，D选项正确： 故选：ACD 10.BCD 【分析】根据复数的基本性质，对各选项进行逐一判断：选项A中z=1表示复数z对应的点 在单位圆上，但单位圆上的点对应的复数不只有±1；选项B涉及复数的平方，若z2>0,则z 必须是正实数，进一步判断选项正误：选项C涉及复数方程，代入方程后验证结果是否为0 即可；选项D涉及复数的几何意义，模长的范围对应圆环的面积， 【详解】选项A:若=1，则z是单位圆上的点对应的任意复数， 如z=i,满足=川=1，但z≠1，故A错： 选项B:设=a+bi（a,b∈R),则z2=ad2-b2+2abi 第3页共10页 [2ab=0 若z2>0,则z必为正实数，需满足： 1d2-b2>0' 若b≠0，由2ab=0→a=0,此时z2=-b2≤0，矛盾. 故b=0,即==aeR,故B对； 选项C:把z=1+2i代入方程x2-2x+5=0, 则(1+2i)-2(1+21)+5=1+4i+4i2-2-4i+5=1+4i-4-2-4i+5=0 即等式成立，故z=1+2i是方程的根，故C对. 选项D:复数z满足1≤日≤V3, 其几何意义对应平面直角坐标系中以原点为圆心，内半径为1，外半径为的圆环内的点（包 含边界). 圆环面积为外圆面积减去内圆面积，即π（√）-π1？=2π，故D对 故选：BCD 11.BCD 【分析】当BP⊥AD时，BP最小，结合正三角形性质，求得B到直线AD的距离判断A,根 据线面垂直判定定理证明AD⊥平面ADCB,再证明AD,⊥PC,判断B,由题可得AD/平面 AB,C,结合锥体体积公式证明三棱锥B-ACP的体积不变，判断C,证明BD⊥平面ARC,设BD 与平面，℃交于O点，根据锥体体积公式求0，根据球的截面的性质可得以点B为球心，互 2 为半径的球面与面AB,C的交线即为△AB,C的内切圆，即可判断D. 【详解】对于A,当BP⊥AD时，BP最小，由于AB=BD=AD=√2， 所以△ABD为边长为√2的等边三角形， :B到直线4D的距离d-2sim60:V2x5-6,故A错误； 22 对于B,由已知四边形ADDA为正方形，所以AD⊥AD, 由正方体性质可得CD⊥平面ADDA,又ADC平面ADDA, 所以AD⊥CD,又CD,ADc平面ADCB,CD∩AD=D, 所以AD⊥平面ADCB,又PCC平面ADCB,所以AD⊥PC,故B正确： 对于C,由正方体的性质可得AD‖B,C,ADc平面AB,C,RCc平面ABC, .AD‖平面ABC,.P到平面ABC的距离为定值， 第4页共10页 B D D 又SABc为定值，则V,AB,c为定值，即三棱锥B-ACP的体积不变，故C正确； 对于D,因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD, 因为BB,⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以AC⊥BB,又BD,BBC平面BDDB,BDOBB,=B, 所以AC⊥平面BDDB,又BDC平面BDDB, 所以AC⊥BD, 因为四边形ABB,A为正方形，所以AB,⊥AB, 因为BC⊥平面ABBA,ABC平面ABBA, 所以BC⊥AB,又AB,BCc平面ABCD,ABúBC=B, 所以AB⊥平面ABCD,又BD,C平面ABCD, 所以AB1⊥BD,又AC∩AB1=A,AC,AB,CARC, 所以BD⊥平面AB,C,设BD与平面ABC交于O点， 1 则三棱锥B-AB,C的体积gccB2, 又ge=Vg8c=394ecBB1, 8m方片照-1，s分a-图-9 :B0=5,设以8为球心，为半径的球与面ABc交线上任一点为G, 3 BG-② G在以Q为圆心， 为半径的圆上 6 第5页共10页 B D -O D 由于△A8C为正三角形，边长为反，其内切圆半径为2×5x是6 236 故此圆恰好为△ABC的内切圆，完全落在面AB,C内， :交线长为2元65元，故D正确」 63 故选：BCD 12.√万 【分析】利用向量的数量积的定义，求得ā.五=-1，再根据a-=V-2a.b+，即可求解 【详解】因为1，间-3+F-2(a)-交， 所以a-6=bcos(a.6)=2x1xcos2亚=-1， 3 所以a-=a-)}=2-2.b+F-f2+1=万， 故答案为：√万， 13.1 【分析】在三角形中作于点，求得圆锥的底面半径和高，计算出球体和圆锥体积即可求得结 果 【详解】由题，ABC为等腰直角三角形，作Co⊥AB于点O,如图， 则®ABC绕着直径AB所在直线旋转一周得到的几何体为两个全等的圆锥AO和BO, B 由半径为2可得圆锥底面圆半径为C0=2,圆锥的高为2， 则圆锥40的体积为=x2x2-, 3 3x2332 半圆园面旋转一周形成半径为2的球体，其体积为乃= 3 ， 第6页共10页 因此剩余部分所形成的几何体的体积为V=5-2亚=1 3 16 故答案为：兮π 14. 【分析】根据三点共线的结论可得P=!4C+D,进而可得AD=3B,即可根据数量积的 3 3 A 运算律求解 【详解】因为P,C,D三点共线，且亚-写4C+丽，所以亚-4c+子AD,所以而-亚， 所以而-+AD-Ac+, 所以a.cD-G4c+ac+4c44c+8， 又∠c子c-,西=，所以Acn-94号 =3 故答案为：} 15.(D牙：(2)证明见解析， 【分析】(1)根据棱台的体积公式求解 (2)连接RD,则MIN//B,D/EF,利用线面平行的判定定理得到MN/I平面BDFE,同理AM// 平面BDFE,利用面面平行的判定定理证明 1 【详解】(1)由题可知，S△cr= 1 '.aco=h=1. 11,11,1）, 根据棱台的体积公式，可得”8⑧2 -24 (2)如图所示： M B 连接B,D,则NI/BD /IEF 又MN丈平面BDFE,EFC平面BDFE 所以MN/平面BDFE 连接MF,则AD1IAD,IIMF,AD=AD=MF. 所以四边形ADFM为平行四边形， 第7页共10页 所以AM/IDF」 又AM女平面BDFE,DFC平面BDFE, 所以AM/平面BDFE 因为AMOMN=M, 所以平面AMN//平面DBEF 【点睛】本题主要考查几何体的体积求法以及线面平行和面面平行的判定定理，还考查了空 间想象和逻辑推理的能力，属于中档题 16.(1)证明见解析： (2)4V2 【分析】(1)连接AC交AC于点O,利用线面平行的判定定理推理得证 (2)求出点M到平面ACCA的距离，再利用锥体体积公式求解 【详解】(1)在直三棱柱ABC-ABC1中，连接AC交AC于点O,连接OM, 由ACCA为矩形，得O为AC中点，又M为BC中点，则oM11AB, 而OMc平面ACM,AB￠平面ACM,所以AB/平面ACM. (2)在平面ABC内过点B作BN⊥AC于N,由AA⊥平面ABC,得AA⊥BN, 而AA∩AC=A,A4,ACC平面ACC1A,则BN⊥平面ACC1A, 在ABC中，AB⊥BC,AB=2,AC=6,则BC=VAC2-AB2=4N5, BN=C_5,由M为C中点，符点M到平面4ACCA的距离d:BN-25 AC 3 3 又S.4544C:A418,所以四面体AMC4的体积为V434d=4W2 17.(08 (2)5 【分析】(I)由正弦定理、三角函数恒等变换的应用化简己已知可得a4=Y5 ，结合0<A<元 即可求得A的值； (2)结合已知与余弦定理可得c2=4,进而可求b,利用三角形的面积公式可求4BC的面积. 第8页共10页 【详解】(1)因为inB=6c4+君)，所以is-cos cosinds君 6 6 所以sinB=5 bcos4--bsind,由正弦定理可得sin4sinB=5。 -sin B cos A- 2sin BsinA, 因为0<B<元，所以smB≠0，所以imA=5。 1 cos A-*sin A, 2 所以nAS4,所以mA: 3 又因为0<A<元，所以A= 6 (2)因为b=√5c,且a=2,所以由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cos A, 可得4=b+c2-√3bc=3c2+c2-3c2=c,所以c=2,b=25, 所以4BC的面积为bc sin A=x2W3x2x!-V5. 18.(1)M=40,p=0.1,a=0.12 (2)60人 (3)中位数是17.08， 【分析】(I)根据频率分布表求出M、n、P,结合频率分布直方图求出a; (2)由频率估计人数： (3)根据中位数计算规则计算可得 【详解】(1)由频率分布表可得M=10÷0.25=40,n=24÷40=0.6, 所以p=1-0.25-0.6-0.05=0.1,a=0.6÷5=0.12. (2)因为该校高三年级学生有240人，在[10,15)上的频率是0.25， 所以估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在此区间上的人数为240×0.25=60人. (3)因为0.25<0.5且0.25+0.6>0.5， 所以中位数在区间[15,20)上， 因为中位数及前面的数的频率之和为0.5，设样本中位数为x, 则0.25+0.12(x-15)=0.5,解得x≈17.08 估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数是17.08. 19.(1)a=0.72,平均值为1.73： O 【分析】(1)由频率和为1求参数值，根据频率直方图中平均数的求法求平均数即可： (2)应用分层抽样性质确定不同用户的人数，再由列举法求古典概型的概率即可. 【详解】(1)因为0.5×0.2+0.5×0.48+0.5a+0.5×0.4+0.5×0.2=1,所以a=0.72. 平均值：0.75×0.1+1.25×0.24+1.75×0.36+2.25×0.2+2.75×0.1=1.73. 第9页共10页 ◆频率/组距 0.48 0.4 0.2 00.511.522.53时间/小时 (2)抽取的6名学生中，“青铜用户选4名，记为4b,c,d,铂金用户选2名，记为A,B, 样本空间2={ab,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB}, 设事件A=这2名学生中恰好有一名是“青铜用户，则A={aA,B,bA,bB,cA,cB,dA,dB} 因为抽中样本空间3中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型 防以P48 第10页共10页 丰润区2025-2026学年度第二学期期中考试姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．复数的虚部为（    ） A． B．4 C． D．4i 2．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（    ） A．两条相交直线确定一个平面 B．两条平行直线确定一个平面 C．四点确定一个平面 D．直线及直线外一点确定一个平面 3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知m，n，l为三条不同的直线，，为两个不同的平面，若，，，且m与n异面，则（   ） A．l至多与m，n中的一条相交 B．l与m，n均相交 C．l与m，n均平行 D．l至少与m，n中的一条相交 5．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，通过简单随机抽样，获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），画出如图所示的频率分布直方图，则下列说法错误的是（   ）    A．可以估计该市月均用水量在区间内的居民用户最多 B．可以估计随着月均用水量的增加，该市居民用户数呈现降低趋势 C．可以估计该市月均用水量的平均数小于中位数 D．可以估计该市居民月均用水量的分位数为14.2 6．如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 7．如图，在平行四边形中，是对角线的交点，，若EF=x AD+y AB，则（   ） A．1 B． C．2 D． 8．为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年）后，得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的分位数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．已知复数，以下结论正确的是（   ） A． B．在复平面内，复数对应的点位于第四象限 C． D．是纯虚数 10．下列有关复数的结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是关于的方程的一个根 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 11．如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变 D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量的夹角为，则__________. 13．如图，已知一个半径为2的半圆面剪去了一个等腰三角形，将剩余部分绕着直径所在直线旋转一周得到一个几何体，则该几何体的体积为_____.    14．如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在棱长为1的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点. （1）计算棱台的体积； （2）求证：平面平面. 16．（15分）在直三棱柱中，，，，M为中点，． (1)证明：平面； (2)求四面体的体积． 17．（15分）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求角； (2)若，且，求的面积． 18．（17分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图． 分组 频数 频率 10 24 2 合计 1    (1)写出表中、及图中的值（不需过程）； (2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间上的人数； (3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01） 19．（17分）是一款人工智能学习辅助工具，某高校为了解学生的使用情况，统计了该校学生在某日使用的时间（单位：小时），整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求的值，并估计该校学生当日使用的时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在内的用户称为“青铜用户”，使用时间在内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 高一数学试卷 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $