精品解析：河北唐山市第十一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

唐山市第十一中学2025—2026学年度第二学期期中 高一年级数学学科试卷 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 已知四边形中，，并且，则四边形是（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 长方形 3. 一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 4. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 6. 在中，若，则（   ） A. B. C. D. 7. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（    ） A. B. C. D. 8. 如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的化简结果为________. 13. 已知复数z满足：，则复数 __________. 14. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______． 15. （1）设，其中，为实数，求，的值； （2）设复数，其中. 所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 16. （1）已知平面向量，的夹角为，且，，求的值； （2）平面内给定两个向量，． ①求，夹角的余弦值； ②求． 17. 在中，，，． （1）求A的大小； （2）求外接圆的半径与内切圆的半径． 18. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 19. 的内角的对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若，，判断三角形形状． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市第十一中学2025—2026学年度第二学期期中 高一年级数学学科试卷 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法及虚部的概念求解即可． 【详解】解：， 故复数的虚部为． 2. 已知四边形中，，并且，则四边形是（ ） A. 菱形 B. 正方形 C. 等腰梯形 D. 长方形 【答案】A 【解析】 【分析】由，得到四边形为平行四边形，再由，得到，得出四边形为菱形. 【详解】由题意，四边形中， 因为，可得且，所以四边形为平行四边形， 又因为，可得， 所以四边形为菱形. 故选：A. 3. 一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ） A. 三棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱台 D. 五棱锥 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的结构特性，即可得出每个几何体的面数. 【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成． 故选：C. 4. 在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理可求解. 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 5. 已知，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模的定义求解即得. 【详解】. 故选：A 6. 在中，若，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法、减法及数乘运算计算即可. 【详解】由，得. . 7. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】由，得，即. 由余弦定理得. 中，，所以. 8. 如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，利用，根据勾股定理求出即可得出结论. 【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开， 所以的周长为， 在正三棱锥中，，侧棱长为4， 所以， ， ， 故选：C. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义判断A；根据复数的乘除法，乘方运算及复数的模判断BCD． 【详解】对于A选项，若，则，故A对； 对于B选项，不妨取，则，但不是实数，故B错； 对于C选项，若，则，可得或，故C对； 对于D选项，若，则，故D对． 10. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的面积为 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理和三角形面积公式分别验证选项即可. 【详解】对于A，根据余弦定理， 得，因此，故A正确； 对于B，根据三角形面积公式， 可得，故B正确； 对于C，根据正弦定理，， 可得，故C不正确； 对于D，因为， 所以，故D不正确． 故选：AB. 11. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和 D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据球、圆锥、圆柱的表面积公式，体积公式逐项计算可得结论. 【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确． 对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确． 对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为， 球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确． 对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为， 圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误. 故选：ABC. 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的化简结果为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算计算即可. 【详解】. 13. 已知复数z满足：，则复数 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法运算计算即可. 【详解】由，得. 14. 如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】得到，将直观图还原为原图，求出，由此即可得解. 【详解】由题意，所以，可得为直角三角形， 所以， 根据题意，将直观图还原为原图，如图所示， 可得为直角三角形，其中， 由勾股定理得， 所以的周长为． 故答案为：. 15. （1）设，其中，为实数，求，的值； （2）设复数，其中. 所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法及复数相等求解即可. （2）根据复数的几何意义，结合第四象限点的特征列不等式组求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以，. （2）复数在复平面内对应的点的坐标为. 由题意知，解得，所以， 故的取值范围为：. 16. （1）已知平面向量，的夹角为，且，，求的值； （2）平面内给定两个向量，． ①求，夹角的余弦值； ②求． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）用定义法计算向量的数量积即可. （2）①根据向量夹角的计算公式，结合向量数量积的坐标表示及向量的模的坐标表示计算即可. ②根据向量线性运算的坐标表示及向量的模的坐标表示计算即可. 【详解】（1） . （2）①. ②， 则. 17. 在中，，，． （1）求A的大小； （2）求外接圆的半径与内切圆的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由正弦定理求出外接圆半径，由等面积法求出内切圆半径. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 设外接圆的半径与内切圆的半径分别为，，由正弦定理得，则． 的面积， 由，得． 18. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． （1）求圆柱的底面半径； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. 【小问1详解】 设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2. 【小问2详解】 由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积. 19. 的内角的对边分别为，已知 （1）求角的大小； （2）若，，判断三角形形状． 【答案】（1） （2）是等腰直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的和角公式化简，进而求出角的大小；（2）利用余弦定理化简已知等式，得到边与的关系，结合已知边的值求出边，最后根据余弦定理求出，进而判断形状. 【小问1详解】 已知，由正弦定理将边化为角可得， 即， 可得， 因为，所以，则， 那么， 因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得， 即， 又因为，所以； 【小问2详解】 已知，由余弦定理，代入可得：，即， 化简得，所以，又，则， 由余弦定理，已知，，， 则，所以， 因为，且，所以是等腰直角三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $