精品解析：上海市虹口区2025-2026学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学试题

虹口区2025学年第二学期期末学生学习能力诊断测试 高三数学 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题 1. 已知，则等于_______． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式，得到，代入即可求解． 【详解】由二倍角的余弦公式，可得． 【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，其中解答中熟记二倍角的余弦公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2. 已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 【答案】 【解析】 【详解】，则，解得或， 即， 已知全集为，补集． 3. 已知等差数列的公差为2，若，则_____________． 【答案】40 【解析】 【分析】先求等差数列的通项公式，再求和即可. 【详解】由题可知：， 由等差数列求和公式得：. 4. 甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】用排列数公式计算总情况数，根据甲乙分别在两端计算甲和乙不相邻的情况数，再由古典概型概率公式求解概率. 【详解】3人全排列，总的基本事件数为种， 若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列， 所以甲和乙不相邻的概率为：. 5. 已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 【答案】4 【解析】 【详解】由题意可知椭圆的长轴长， 由于点到该椭圆的一个焦点的距离为2， 根据椭圆的定义得点到该椭圆的另一个焦点的距离为4. 6. 已知随机变量服从分布，则_____________． 【答案】 10 【解析】 【详解】由题意知，所以. 所以. 所以. 7. 在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 ##0.5 【解析】 【分析】由正弦定理边角互化可得，结合投影向量,余弦定理可得三角形为等边三角形，据此可得答案. 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 8. 设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，，所以. 展开式中，的系数为. 9. 已知事件和满足，，，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】由，所以，得. 所以， 又， 所以. 10. 已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 【答案】 16π 【解析】 【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆， 又，，所以点到点的距离小于或等于. 所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环， 所以其面积为. 11. 如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题意表示出公园产生的净收益为，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，， 则，， 所以公园产生的净收益为， 则， 令，得，而， 则（近似值），即此时函数单调递增； 令，得，而， 则（近似值），即，此时函数单调递减， 则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，. 12. 已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将向量最值问题转化为动点在抛物线和圆上的轨迹问题后，结合“阿波罗尼斯圆”的性质构造新定点配平系数，最终化归为求抛物线上动点到该定点的最短距离. 【详解】不妨设，因为， 则有，整理得， 即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线， 设，由得，整理得， 即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆， ，其中表示到的距离， 由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数， 且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上， 设使，点满足，即， ， ， 则有，解得， 则， 易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离， ， 当时取最小值 ，即， 即， 即的最小值为. 二、选择题 13. 设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（ ）条件： A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】D 【解析】 【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性. 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为，所以，再结合是定义在上的奇函数进行求解. 【详解】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； 15. 若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得在内的值域包含，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解. 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以， 因为，所以，， 若对任意，都存在，使得成立， 可知在内的值域包含， 只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故B错误； 对于C：当时，，则， 因为，，取值符合条件，故C正确； 对于D：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故D错误； 16. 若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（ ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】D 【解析】 【分析】对于①，取特殊值，结合，，成等差数列可得，假设，，成等比数列，可得，进而解方程求解判断即可；对于②，取特殊值，结合，，成等差数列可得，进而验证即可判断. 【详解】对于①，由，，成等差数列，则， 取，即， 则，， 若，，成等比数列，则， 即，则， 即或，则或（舍去）， 当时，，当时，， 所以函数满足“性质”，故①错误； 对于②，由，，成等差数列，则， 取，则，， 所以 ， 而，则， 所以对于任意的正实数，都满足“性质”，故②正确. 三、解答题 17. 如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4． （1）求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； （2）若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 【答案】（1）32； （2）证明详见解析. 【解析】 【分析】（1）由四棱柱为正四棱柱，得侧面是全等矩形，根据底面边长和高，用侧面积公式计算即可；取中点，由正四棱柱，得，，可得是二面角的平面角，计算各边长度，用余弦定理求角的余弦值. （2）由正四棱柱，得，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系；根据已知条件分别求出向量和，得，即可证明恒成立． 【小问1详解】 四棱柱为正四棱柱，四棱柱的四个侧面为全等的矩形； 正四棱柱的底面边长为2，高为4， ，即正四棱柱的侧面积为32. 连接，交于点，连接，； 四棱柱为正四棱柱，四边形是正方形，四个侧面为全等的矩形. 是的中点. 由，，得； ； 四边形是正方形，； 是二面角的平面角. 由，，得，，； 在中，； 二面角的余弦值为. 【小问2详解】 四棱柱为正四棱柱，，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，，， ，； ，点是线段（含端点和）上的动点，，，得，； ，； ； ； 恒成立 18. 我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． （1）技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； （2）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 【答案】（1）②①③； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由相关系数绝对值越大，相关性越强来判断排序； （2）的值可能为：，求出分布列，然后由方差公式计算； （3）由正态分布的性质求得，然后由10个零件都不小于或只有１个小于求出概率. 【小问1详解】 相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③； 【小问2详解】 由题意的值可能为：， ，，， 所以，， 所以； 【小问3详解】 由已知，，，， ，则， ， 记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件， 则. 19. 设． （1）解不等式：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式. （2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题. 【小问1详解】 的定义域为且在单调递增. ，，解得. 故不等式的解集为. 【小问2详解】 . 恒成立等价于恒成立，，. 令，. 令，则，在单调递减. 又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减. ，，即的取值范围是 20. 已知双曲线：，为原点． （1）求的右顶点到一条渐近线的距离； （2）若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； （3）过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质及点到直线的距离公式求解即可. （2）根据两点间的距离公式，与双曲线方程联立求解即可. （3）设出直线：，，，与双曲线方程联立得到，结合题意得到，即且，求出，，结合向量数量积的坐标运算及函数值域的求解方法求解即可. 【小问1详解】 双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. 【小问2详解】 设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. 【小问3详解】 由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 21. 对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． （1）若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； （2）设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； （3）若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 【答案】（1）关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质” （2）不存在满足要求的等比数列 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据“性质”的定义，判断是否存在严格增的有限数列，，…，，使得和. （2）假设存在满足条件的等比数列，根据“性质”的定义列出等式，通过分析等式是否成立来判断是否存在这样的等比数列. （3）利用函数的连续性、零点存在定理以及等差数列的性质，构造出满足“性质”的严格增的有限等差数列. 【小问1详解】 假设存在严格增的有限数列，，…，， 使得， 因为，所以， 由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0， 那么，与矛盾， 所以关于数列不具有“性质”； 若关于数列具有“性质”， 则需存在严格增的有限数列，，…，， 使得，即， 取数列，该数列是严格增的有限数列， 则 ， 所以存在严格增的有限数列，使得， 所以关于数列具有“性质”； 综上，关于数列不具有“性质”， 关于数列具有“性质”. 【小问2详解】 假设存在满足条件的等比数列，设等比数列的首项和公比都为， 则，若函数关于数列具有“性质”， 则， 因为，，，，，所以， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 又， 即，与矛盾， 所以不存在满足要求的等比数列. 【小问3详解】 设严格增的等差数列，其中公差， 令， 因为函数的图象是连续曲线，所以是关于t的连续函数， 已知集合 和 均不为空集， 因此存在实数使得，， 取足够小的正数d，令，此时所有的， 当时，所有，可得， 将数列整体向右平移，令， 此时所有的， 当时，可得， 根据连续函数零点存在定理，必然存在使得， 对应的等差数列严格递增，满足， 因此，对于任意给定的个正数，，，， 均存在严格增的有限等差数列， 使得函数对数列具有“性质”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虹口区2025学年第二学期期末学生学习能力诊断测试 高三数学 （时间120分钟，满分150分） 一、填空题 1. 已知，则等于_______． 2. 已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）． 3. 已知等差数列的公差为2，若，则_____________． 4. 甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________． 5. 已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________． 6. 已知随机变量服从分布，则_____________． 7. 在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 8. 设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______． 9. 已知事件和满足，，，则______． 10. 已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________． 11. 如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度） 12. 已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______． 二、选择题 13. 设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（ ）条件： A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ）． A. B. C. D. 15. 若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（ ）． A. B. C. D. 16. 若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（ ）． ①函数不满足“性质”； ②对于任意的正实数，都满足“性质”． A. ①、②都正确 B. ①、②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题 17. 如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4． （1）求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值； （2）若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立． 18. 我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）． （1）技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）； （2）现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求； （3）若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001） 参考数据：若，则，． 19. 设． （1）解不等式：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 20. 已知双曲线：，为原点． （1）求的右顶点到一条渐近线的距离； （2）若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； （3）过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 21. 对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”． （1）若 ，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）； （2）设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由； （3）若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $