上海市黄浦区2025-2026学年第二学期高三5月模拟数学试卷

黄浦区2025-2026学年第二学期高三年级数学三模 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．全集，，则________． 2．不答式的解集为________． 3．已知随机变量服从正态分布，则________． 4．已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 5．已知实数，满足，则的最大值为________． 6，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 7．某班共有30名学生，则其中至少有2名学生在同一天出生的概率为________．（默认每年天数均为365天，结果精确到0.001） 8．利用二项式定理，被8除所得的余数为________． 9．在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 10．双曲线的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线交于，两点，且，则该双曲线两条渐近线夹角的余弦值为________． 11．设，，，满足．若的值与、无关，则的取值范围为________． 12．我校新添置了“智能咖啡机”供师生使用，使用者可持空纸杯接咖啡．当投入一枚“五爱币”后，“智能咖啡机”将出液，此时液面高度占纸杯高度的比为（忽略咖啡表面张力）．已知纸杯是圆台形状的容器，杯口半径大于杯底半径，咖啡机每次出液量一致．若使用者直至投入三枚“五爱币”，才发现咖啡液溢出纸杯，则的取值范围为________． 二、选择题（本大题共4题，满分18分．第13-14题满分4分，第15-16题满分5分）． 13．已知（是虚数单位）、是实系数一元二次方程的两个根，则的虚部为（ ）． A．3 B． C． D． 14．某研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计，根据统计数据制作列联表，提出原假设：“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系，计算得，由此可知（ ）．（显著性水平取0.05，） A．接受原假设，没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B．拒绝原假设，有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C．接受原假设，有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D．拒绝原假设，有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系 15．记为数列的前项和（为正整数），已知和（为常数）均为等比数列，则的可能值为（ ）． A． B． C． D． 16．设，均为非空集合，函数的定义域为，若存在，使得对任意，均有，则称函数具有“性质”．下列说法中正确的是（ ）． A．“”是函数具有“性质”的充分非必要条件 B．设函数具有“性质”是具有最小值的必要非充分条件 C．设，“”是函数具有“性质”的充分必要条件 D．设，函数具有“性质”是具有“性质”的既非充分又非必要条件 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，三棱锥中，，，，为的中点． （1）证明：； （2）点满足，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过次摸球，袋中的红球个数记为． （1）求和； （2）求； （3）当时，求随机变量的分布列和数学期望． 19．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 设，已知函数，其中． （1）若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围： （2）当时，若对任意的，恒成立，求的取值范围． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分 设抛物线的焦点为，过的直线交于，，过且垂直于的直线交抛物线的准线于，交轴于． （1）若，求点的坐标； （2）若，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程； （3）求的取值范围． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； （2）已知是周期为的偶函数，且当时，．函数是的“关联函数”，若在上至少有26个零点，求的最小值； （3）已知函数和的定义域均为．当（为正整数）时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”且是的“关联函数”，求函数的零点． 学科网（北京）股份有限公司 $