河北唐山市路北区2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷融合向量、立体几何、统计等核心知识，通过体育训练数据、教育信息化调查等情境设计，考查数学眼光与数据意识，适配学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量共线、异面直线夹角、频率分布直方图|第3题结合频率分布直方图考查统计应用，体现数据观念| |多选|3/18|空间线面关系、概率计算、解三角形|第10题以正方体动点问题考查空间观念与推理能力| |填空|3/15|分层抽样、四面体外接球、向量夹角|第12题分层抽样问题关联现实调查，培养应用意识| |解答|5/77|统计案例、向量运算、解三角形、立体几何、三角函数|15题教育信息化调查结合列联表分析，18题四棱锥证明与体积计算，综合考查数学思维与表达能力|

路北区2025-2026学年度第二学期期中考试姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．在正方体中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．某校高一年级有800名学生选学物理，将某次联考的物理成绩绘制成的频率分布直方图如图所示，则高一年级这次联考的物理成绩位于区间的人数约为（    ） A．200 B．220 C．240 D．260 4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 5．已知一组样本数据：8，9，9，11，12，13，15，16，17，18，18，20，则这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是（    ） A．29 B．30 C．31 D．32 6．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战年成都世界运动会，已知某运动员某次特训的成绩分别为，则下列说法错误的是（   ） A．这组数据的极差为 B．这组数据的众数为 C．这组数据的平均数为 D．这组数据的方差为 7．在中，角所对应的边分别为．若，则角的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．在中， ，其面积为，则等于 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（    ） A．目标恰好被命中一次的概率为 B．目标恰好被命中两次的概率为 C．目标被命中的概率为 D．目标被命中的概率为 10．如图，正方体的棱长为2，，分别是，的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为（   ） A．存在点，使得平面 B．过，，三点的平面截正方体所得截面图形是平行四边形 C．异面直线与所成的角的大小为 D．若平面，则点的轨迹的长度为 11．已知分别是三个内角的对边，下列四个命题中正确的是（   ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．△ABC是锐角三角形，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．由于甲流暴发，防疫站对学生进行身体健康调查，对男女学生采用分层抽样法抽取. 学校共有学生1600名，抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了20人，则该校的女生人数应是_______人. 13．在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为______． 14．若，且，则向量与的夹角为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）年月日，“国际教育信息化大会”在山东青岛开幕.为了解哪些人更关注“国际教育信息化大会”，某机构随机抽取了年龄在岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制成频率分布直方图，如图所示，其分组区间为：，，，，，.把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年”和“中老年”. 关注 不关注 合计 青少年 中老年 合计 (1)根据频率分布直方图求样本的中位数（保留两位小数）和众数； (2)根据已知条件完成列联表，并判断能否有的把握认为“中老年”比“青少年”更加关注“国际教育信息化大会”； 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.708 3.841 6.635 7.879 10828 16．（15分）回答下列问题 (1)已知平面向量、的夹角为，且为单位向量，，求 (2)已知向量、，满足，，，求向量与的夹角. 17．（15分）记的内角的对边分别为，已知向量，，且. (1)求； (2)若△ABC的面积为，且，求. 18．（17分）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 19．（17分）已知函数最小正周期为. (1)求的值和函数图象的对称中心； (2)将函数的图象上的各点向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得到函数的图象，当时，方程有两个解，求实数的取值范围. 高一数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $路北区2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学答案 1.B 【分析】首先求出a+5的坐标，再由a1(a+乃)得到ā.(a+b)=0计算可得 【详解】因为ā=(3,1)，b=（-2,2), 所以+5=(3,1)+(-2,2)=(3-21,1+2为， 因为a1(a+b), 所以·(a+5)=3×(3-22)H1×1+2上10-4=0， 解得 故选：B. 2.B 【分析】连接AD,AE,得到AD/BC,把异面直线DE与BC所成角转化为直线DE与AD所 成角，取AD的中点F,在直角eDEF中，即可求解 【详解】在正方体ABCD-ABCD中，连接AD,AE,可得AD //BC1, 所以异面直线DE与BC所成角即为直线DE与AD所成角， 即∠ADE为异面直线DE与BC,所成角， 不妨设A4=2,则AD=2N2,DE=AE=V5, 取AD的中点F,因为DE=AE,所以EF⊥AD, 在直角0BF中，可得cos∠4D,B=乃R-V50 DE√55 故选：B 高一数学答案第1页共11页 3.C 【分析】根据频率和为1可构造方程求得α的值，再由频率分布直方图可求得成绩落在[60,80) 的频率，由样本估计总体可计算得到结果 【详解】(0.01+0.02+a+0.005)×20=1→a=0.015, 成绩落在[60,80)的频率为0.015×20=0.3，则成绩位于区间[60,80)的人数约为800x0.3=240(人). 故选：C 4.C 【分析】根据空间直线与平面，直线与直线，平面与平面不同位置的定义，判定定理及性质 定理，以及几何特征，逐项分析即可· 【详解】选项A,若m/la,n/1p,a/IP, 则直线m与直线可能平行，可能相交，可能异面，故A选项不正确： 选项B,若m/1a,m⊥n,n⊥B, 则平面α与平面B可能平行，可能相交；故B选项不正确： 选项C,若⊥B,n⊥a,l∥n,则alIP,故C选项正确： 选项D,a⊥B,mCc,ncB, 则直线m与直线n可能平行，可能相交，可能异面，故D选项不正确； 故选：C 5.C 【分析】根据题意，利用百分位数和众数的定义和计算方法，求得第70百分位数与中位数， 即可求解 【详解】由一组样本数据：8,9,9,11,12,13,15,16,17,18,18,20，共有12个， 可得12×70%=8.4，所以第9个数据为第70百分位数，即为17， 又由中位数的定义和计算方法，可得中位数为13+15=14， 2 所以这组样本数据的第70百分位数与中位数之和是17+14=31. 故选：C 6.B 【分析】根据数据的数字特征直接计算得出： 【详解】由数据3,3,4,5,7,89,9得，极差为6，众数为3,9，所以A正确，B错误 数据的平均数x=3+3+4+5+7+8+9+9 6 =6，所以C正确 高一数学答案第2页共11页 数据的方差-[6-o0+66+46j+6-6j+0-6j+食-6j+-6+-6]=空，所以 D正确. 故选：B 7.A 【分析】根据题设条件，利用和角的正弦公式和同角三角关系式化成tmA+3tanC=0,再利用 和角的正切公式求得m8=十3S。,运用基本不等式和正切函数的单调性即可」 【详解】因B=π-(A+C),则sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC, 代入sinB+2 sin CcosA=0中，整理得：sin AcosC+3 cos AsinC=0, 显然A,C都不可能是直角（否则等式不成立），故得tanA+3tanC=0, 于是tanB=tan[π-(A+C]=-tan(4+C)=- tan A+tanC 2tan C 1-tan Atan C 1+3tan?C' 用上式易知B,c均为锐角，则C0故有m8:2伽 2 1+3tan2C 1 +3tan C' tan C 因L+3tanC≥25，当且仅当amC-5时等号成立， tanC 3 即C-。时，m8取得录大值为5，又0<B<受，故角3的最大值为 6 故选：A 8.B 【详解】由题意可得：S=be sinA=5,解得：c=4, 由余弦定理：2=b2+c2-2bcc0sA=13a=V13, 结合正弦定理结合分式的性质，则： a+b+c a-2V39 sinA+sinB+sinC sinA 3 本题选择B选项 9.BD 【分析】利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件、对立事件的概率公式可判断各选项的正 误， 【详解】甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次， 在A中，日标恰好被合中一次的概车为行号分，故A错误： 在B中，由相五独立事件概率乘法公式得：目标恰灯筱合中丙次的概率为分兮名，故B正 确； 高一数学答案第3页共11页 在CD中，目标被命中的本为1-(1-习引1-)号故C错误，D正确。 故选：BD 10.AC 【分析】A选项，作出辅助线，得到线面平行，故平面EHF/1平面ABCD,，故当P在线段EH 上时，满足FPI1平面ABC,D,,A正确：B选项，作出辅助线，得到四边形EBCF为截面图形， 并得到其为梯形：C选项，作出辅助线，∠ABC为直线BA与EF所成角，△ACB为等边三角 形，故∠ABC=60°，C正确：D选项，作出辅助线，证明出平面ACD/1平面ABC,故当P在 线段AC上时，DP/1/平面ABC1,点P的轨迹的长度为2√2，D错误 【详解】A选项，取BC的中点H,连接EH,FH, 因为E,F分别是AD,DD的中点，所以EF∥AD, 因为EF丈平面ABC,D,ADC平面ABCD, 所以EF/平面ABCD, 因为EHI/AB,同理可得EHII平面ABC1D, 因为EHI EF=E,EH,EFC平面EHF,所以平面EHF/平面ABCD, 故当P在线段EH上时，满足FP11平面ABCD,A正确： D F D C B选项，连接C1F,由A知，EF∥AD,又BC //AD,所以EF/BC, 所以四边形EBCF即为过B,E,F三点的平面截正方体所得截面图形， 因为8取=40，=8C,所以四边形C为梯形，B错误： C选项，由B知，EFI1BC,故∠ABC为直线BA与EF所成角或其补角， 连接AC,则AC=B4=BC1=2W2, 高一数学答案第4页共11页 D C A B F C B 所以△AC,B为等边三角形，故∠ABC=60°， 异面直线BA与EF所成的角的大小为60，C正确： D选项，连接AD,CD,AC, 因为BC I/AD,BCC平面ABC,AD,a平面ABC, 所以AD/1平面ABC, 又BAI/CD,同理可得CD1I平面ABC, 又CD∩AD=D,CD,ADc平面ACD, 所以平面ACD,1/平面ABC1, 故当P在线段AC上时，DPC平面ACD, 所以DP/I平面ABC, D A 11 B D 所以若D,P/平面ABCG,则点P的轨迹的长度为AC=2√2，D错误 故选：AC 11.ACD 【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式判断A,由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角 公式判断B,由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式判断C,根据0<号B<4<行结 合正弦函数单调性判断D 高一数学答案第5页共11页 【详解】运项A:因为m(1+)- ,且A,B,C是eABC的内角，所以 tan A+tan B=tan(A+B)(1-tan Atan B), 所以 tan A+tan B+tanC=tan (A+B)(1-tan Atan B)+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+tan C=tan Atan B tanC>0, 所以A,B,C都是锐角，所以ABC是锐角三角形，故选项A正确： 选项B:由acosA=bcosB及正弦定理可得sin AcosA=sin Bcos B,即sin2A=sin2B, 所以2A=2B或2A+2B=元，所以A=B或A+B= 2’ 所以ABC是等腰三角形或直角三角形，故选项B错误： 选项C:由bcosC+c cosB=b及正弦定理可得sin BcosC+sin Ccos B=sinB,即 sin(B+C)=sin A=sin B, 因为A,B,C是ABC的内角，所以A=B,所以ABC是等腰三角形，故选项C正确： 选项D:金1BC是锐角三角形，所以A+B>行，即0<B<A< 2 2’ 则sinA>sim匹-B=cosB,故选项D正确； 2 故选：ACD 12.720 【分析】根据所给的总体与样本容量，计算出抽样比，求出女生被抽取的人数，根据女生被 抽取的人数以及抽样比，可求得女生总人数 【详解】设抽取的女生人数为x人 因为对全校男女学生共1600名进行健康调查，用分层抽样法抽取一个容量为200的样本， 所以每个个休被扣到的概幸是端。。 根据抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，因为女生比男生少抽了20人，且共抽200人， 所以x+(x+20)=200,x=90,即女生要抽取90人， 因此女生共有90÷1-720， 8 故答案为：720. 13.3元 【分析】由题意将四面体补成正方体，则正方体的外接球同时也是该四面体的外接球，求出 正方体的对角线，可得外接通球的直径，从而可求出球的表面积 高一数学答案第6页共11页 【详解】由题意，以PAPB、PC为过同一顶点的三条棱作正方体， 则正方体的外接球同时也是该四面体的外接球： 因为正方体的对角线的长为√P+1?+12=√3， 所以球的半径为5 所以该四面体P-ABC的外接球的表面积为4R=4杯×5y-3x. 故答案为：3π C头 B 14. 【分析】由向量垂直、数量积的运算、夹角的运算计算即可； 【详解】设向量ā与的夹角为8， 因为同=25=2，且(a+b)16,则(a+为=a为+i2=a为+1=0， 可得ab=-1, 1 所以cos8= 丽 2 又6[0，列，所以a=2 故答案为： 2π 15.(1)中位数约为36.43，众数为40： (2)有99%的把握认为中老年比青少年”更加关注国际教育信息化大会 【分析】(1)根据频率分布直方图可知样本的众数为40，设样本的中位数为x,则 (x-35)×0.035=0.5-0.45,求得x的值，即可得到数据的中位数： (2)依题意可知，可得抽取的青少年”共有45人，中老年共有55人，完成2×2的列联表， 求得的值，作出预测. 高一数学答案第7页共11页 【详解】(1)根据频率分布直方图可知样本的众数为40，因为(0.015+0.030)×10=0.45， 设样木的中位数为x,则x-35)x0.035=05-045,所以x=3593643,即样木的中位数约为 36.43. （2)依题意可知，抽取的青少年共有100×(0.015+0.030)×10=45人，中老年共有100-45=55 人 完成的2×2列联表如下： 关注 不关注 合计 青少年 15 30 45 中老年 35 20 55 合计 50 50 100 结合列联表的数据得K= n(ad-bc)月 100×(30×35-20x152 ≈9.091， (a+b)(c+d)(a+c)b+d) 50x50x55×45 因为P(K2>6.635)=0.01,9.091>6.635, 所以有99%的把握认为中老年比青少年”更加关注国际教育信息化大会” 16.(1)V万 (② 【分析】(1)利用向量模长的坐标表示和数量积公式求出ā.五，再根据数量积运算律求解即可： (2)利用平面向量数量积的运算律和计算公式求解即可. 【详解】(1)因为a为单位向量，五=(1，w5), 所以网=1，=P+(5=2, 又因为平面向量a、6的夹角为60，所以ā.6=cos6心=k2x号1， 所以a+-Va+b=2+2五五+6=42x+4=万. (2)因为a+2=2万，4=2，=-5， 所以a+2=+4a.6+463=1+4a.万+46=28，解得ai=3, 所以a5=6a3,解得a5-, 高一数学答案第8页共11页 又因为a,be[0,,所以ab= 6 17.(048 (2)a=25 【分析】(1)根据正弦定理边角互化，即可化简得4=5，进而可求解， 3 (2)根据面积公式可得b=4v5,进而利用余弦定理求解， 【详解】（1)由题意知，m.i=√3 asinC-ccos4=0, 由正弦定理得√3sin4sinC-sinCcos4=0, 因为0<C<π，所以sinC≠0， 则V3sinA-cosA=0,即4= 3, 又0<A<元，所以A= 6 (2)因为e4BC的面积为S=csin4=bc=5,解得bc=43, 所以b2+c2=2√3bc=24, 由余弦定理得d=b2+c2-√bc=12,所以a=25 18.(1)证明见解析： ②西：m 61 【分析】(I)利用线面垂直的性质定理可得PD⊥AC,结合AC L BD利用线面垂直的判定定理 可得证； (2)(i)根据线面角的定义可得∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，可得BD=PD=1, 由此求得AC=√5，即可得菱形ABCD的面积，再利用棱锥的体积公式计算即可；()利用线 面垂直的性质定理可得PDL DC,PD⊥DB,则PC=√5，PB=√5，根据定义可得∠PBC即为异 面直线PB与AD所成角（或补角），再利用余弦定理计算即可. 【详解】(I):四边形ABCD是菱形，AC⊥BD, 又：PDL平面ABCD,ACc平面ABCD,.PD⊥AC, 又PDOBD=D,PD,BDC平面PBD, .AC⊥平面PBD (2)(i):PD⊥平面ABCD,·∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°， 高一数学答案第9页共11页 PD=1,..BD=PD=1,AB=AD=2, 菱形4cD的面积为-号4cxn-w店-四， 2 故四棱雏-ABCD的体积7-PD=西 6 (ii)PD⊥平面ABCD,DC,DBC平面ABCD,PD⊥DC,PD⊥DB, 所以PC=VPD+DC2=√5，PB=VPD+BD=5, 因为ADIIBC,所以∠PBC即为异面直线PB与AD所成角（或补角）， 又BC=2,所以在△PBC中，由余弦定理PC2=PB2+BC2-2PB.PC cos∠PBC, 即5=3+4-2x5x2cos∠PaC,解得cs∠PBC=5, 6 所以∠PBC为锐角，即∠PBC为直线PB与AD所成角， 所以直线P与AD所成角的余弦值。 19.对称中心为石ke2 2②)/01-5 2 【分析】(1)借助三角恒等变换公式将原函数化为正弦型函数后，利用正弦型函数周期可得ω， 再借助正弦型函数对称性可得对称中心： (2)得到y=8(x)后，结合换元法可得8(x)的单调性，即可得实数a的取值范围. 【详解】)f-m2x+0-o2a}血a+升1， 由的最小正周期为2，符无2，故@子，所以)=mx别 (6 +1, 令x+名-机，得x=名故函数y=了)的对称中心为mkeZ: (②)g)x经12x中 3 令1=2-0=m-,由，得引 40在[行哥递减，在[受周选增，所以=小0， 又1所以o)-a有肉个时，a 3 高一数学答案第10页共11页 立IT并丝T熊嵩易索谁一里