精品解析：河北唐山市遵化市高级中学2025-2026学年第二学期学业水平测试高一数学试题

2025-2026学年度第二学期学业水平测试 高 一 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意，所以， 故向量对应的复数为，其模为. 2. 若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A. 平行于轴且大小为10cm B. 平行于轴且大小为5cm C. 与轴成且大小为10cm D. 与轴成且大小为5cm 【答案】A 【解析】 【详解】圆柱中平行于z轴（或在z轴上）的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致， 所以圆柱的高应画成平行于轴且大小为10cm. 3. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为，则圆锥的表面积为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长，求得圆锥的母线长，从而可得侧面积，再求出底面圆的面积，从而可得圆锥的表面积. 【详解】由扇形的弧长等于底面周长可得： ，解得：， 扇形面积，底面面积， 圆锥的表面积为. 故选：D. 4. 在四边形中，若，且，则这个四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形 【答案】D 【解析】 【详解】由可知四边形的对边平行且不相等，由可知四边形的对角线相等，故该四边形是等腰梯形，应选答案D． 5. 已知物体放在一个倾角为的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力的大小之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设物体所受重力大小为，斜面倾角. ∵ 物体处于静止状态，即平衡状态，沿斜面方向合力为0， ∴ 静摩擦力大小等于重力沿斜面向下的分力，即. 代入，可得. ∴ 重力与摩擦力的大小之比为. 6. 碌碡（liùzhóu）是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】碌碡的高就是木柄所绕圆盘的半径，由此可建立等量关系得出结论． 【详解】由题意可设圆柱形碌碡的高为，其底面圆的直径为，则有，所以， 故选：B． 7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可. 【详解】由题意, 即， 所以 故选：A. 8. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答. 【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则，， ，因， 于是得，解得， 所以的值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 B. 如果直线，满足，，则 C. 如果直线，和平面满足，，，那么 D. 如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则 【答案】CD 【解析】 【详解】对选项A：∵ 若直线平面，则与内直线的位置关系为平行或异面，并非和内所有直线都平行，∴ A错误. 对选项B：∵ 若，，则的位置关系可能为平行、相交或异面，∴ B错误. 对选项C：∵ ，由线面平行的性质可知，存在直线，满足， 又，故，结合，，根据线面平行的判定定理，可得，∴ C正确. 对选项D：过分别作平面的垂线，垂足分别为， 由在同侧，且到的距离相等，得且， ∴ 四边形为平行四边形，故， 又，，故，∴ D正确. 10. 设，是复数，则下列命题中的真命题有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由得到，故，从而得到结论；对于B，根据共轭复数的定义求解；对于C，设，，，，，，根据复数的模的定义得解；对于D，根据复数的模的定义求解． 【详解】对于A，若，则，，所以为真； 对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真； 对于C，设，，，，，， 若，则，，， 所以为真； 对于D，若，， 则为真，而，，所以为假． 故选：ABC. 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦定理可判断A；利用正弦定理和正弦的和差公式可判断B；利用特殊值可判断C错误；设，在两边同乘向量，根据数量积定义即可判断D. 【详解】对A，由余弦定理知，， ， 上述三个等式相加得，A正确； 对B，因为， 所以，B正确； 对C，当时，式子左边，右边， 由得， 此时，只有当时，等式才成立，由于角的任意性，所以等式不一定恒成立，C错误； 对D，设，则， 则， 因为，所以， 即， 整理得，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为______. 【答案】8π 【解析】 【分析】先求出截面圆半径，再求球半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】因为与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，所以该截面圆的半径为1， 因此球的半径为，故该球的表面积S=4πR2=8π 故答案为：8π 【点睛】本题考查球表面积公式以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】由题知与其共轭复数均为方程的根，进而由韦达定理即可得答案. 【详解】∵实系数一元二次方程的一个虚根为， ∴其共轭复数也是方程的根. 由根与系数的关系知，， ∴ ，. 故答案为： 【点睛】本题考查方程复数根的特点的应用，熟练掌握实系数方程的虚根成对原理（需明确两根为共轭复数）和根与系数的关系是解题的关键，属于基础题. 14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填. 考点：正弦定理及运用． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，， （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由向量平行的坐标表示可构造方程求得，由此得到； （2）由向量垂直的坐标表示可构造方程求得，由向量夹角公式可计算求得结果. 【详解】（1），由可得：，解得：， ；3 （2），由可得：，解得：， . 16. 已知复数. （1）求z的共轭复数； （2）若，求实数a，b的值. 【答案】（1）（2），. 【解析】 【分析】（1）根据复数的四则运算法则化简计算z，即可求出； （2）根据复数相等的条件计算即可求值. 【详解】（1） ∴ （2），即， ∴， 解得，. 【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，共轭复数的概念，复数相等，属于中档题. 17. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出三棱柱的体积，得到的内切圆的半径，进而去除圆柱的体积，相减即可答案； （2）将三棱柱补形为长方体得到外接球半径，求出外接球的表面积. 【小问1详解】 因为底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为3cm，4cm， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm， 所以. 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积. 所以剩下的几何体的体积. 【小问2详解】 由（1）直三棱柱可补形为棱长分别为3cm，4cm，2cm的长方体， 它的外接球的球半径满足，即. 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且. （1）求角； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直得数量积为0，由数量积坐标表示及正弦定理可得角； （2）根据余弦定理，及，，，配方可求解出，再利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 由正弦定理得，是三角形内角，， ∴，，是三角形内角，∴； 【小问2详解】 由余弦定理得：， 又，，， 所以，解得， 则的面积. 19. 如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点． （1）当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积； （2）当P在线段上移动时，求的最小值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，即可求出的面积，再由等体积法求解即可； （2）根据平面展开图可确定的最小值即长，由三角形余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由已知可得， 由余弦定理有，得到． 在中，有， ． 【小问2详解】 将绕旋转到与同一平面（如图所示）， 连接交于点，此时取得最小值，最小值即长． 在中，，，， 故，故，即， 又易知，故， 由余弦定理得，所以， （或者在中由勾股定理得） 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期学业水平测试 高 一 数 学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数的模为（ ） A. B. C. D. 2. 若把一个高为10cm的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（    ）． A. 平行于轴且大小为10cm B. 平行于轴且大小为5cm C. 与轴成且大小为10cm D. 与轴成且大小为5cm 3. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图为扇形，扇形圆心角为，则圆锥的表面积为（ ） A. π B. 2π C. 3π D. 4π 4. 在四边形中，若，且，则这个四边形是 A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 等腰梯形 5. 已知物体放在一个倾角为的斜面上处于静止状态，则它所受到的重力和摩擦力的大小之比为（ ） A. B. C. D. 6. 碌碡（liùzhóu）是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人推动木柄绕圆盘转动1周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的高与其底面圆的直径之比约为（ ） A. B. C. D. 7. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的命题是（ ） A. 如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行 B. 如果直线，满足，，则 C. 如果直线，和平面满足，，，那么 D. 如果平面的同侧有两点，到平面的距离相等，则 10. 设，是复数，则下列命题中的真命题有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为______. 13. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则___________. 14. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 ________ m. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，， （1）若，求的值； （2）若，求向量与的夹角的余弦值. 16. 已知复数. （1）求z的共轭复数； （2）若，求实数a，b的值. 17. 如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为2cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm. （1）以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； （2）求该三棱柱的外接球的表面积. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且，且. （1）求角； （2）若，，求的面积. 19. 如图，直三棱柱中，，，，P为线段上的动点． （1）当P为线段上的中点时，求三棱锥的体积； （2）当P在线段上移动时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $