陕西省洛南中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

陕西省洛南中学 2025—2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．若，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知向量，的夹角为，，，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 4．若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，是不同的直线，，是不重合的平面，若，，，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，测量河对岸的塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与．现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ） A． B． C． D． 7．正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在圆柱中，底面圆的半径为2，高为，为底面圆的直径，为上更靠近的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．在中，内角，，所对应的边分别为，，，若，，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知直线，及平面，．下列命题中正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．（课后训练原题）若是所在平面内一点，则下列说法中正确的是（ ） A．若，则是边的中点 B．若，则是边的中点 C．若，则点是的重心 D．若，且，则的面积是面积的 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知为虚数单位，若，则的虚部为_____． 13．设、为单位向量，若，则_____． 14．（课本原题）如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题： （1）有水的部分始终呈棱柱形; （2）没有水的部分始终呈棱柱形； （3）水面所在四边形的面积为定值； （4）棱始终与水面所在平面平行； （5）当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题的序号是___________。 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（13分）在中，，，为边上一点，且． （1）求； （2）若，求． 16．（15分）已知向量，，． （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值． 17．（15分）（学程案原题）如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点． （1）求证:平面； （2）求三棱锥的体积． 18．（17分）在中，内角、、所对的边分别为、、，且满足． （1）求角； （2）若，边上的中线长为，求的面积． 19．（17分）如图一，四边形是边长为2的菱形，，，，，分别为，的中点，将沿边折起，使，连接，如图二．注意：请在答题纸上留下必要作图痕迹； （1）证明:； （2）求直线和所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $