精品解析：上海市静安区风华中学2026届高三下学期5月数学冲刺试卷02

上海市风华中学2026届高三数学冲刺试卷02 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，，则______. 2. 不等式解集为_________ ． 3. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 4. 记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为________． 5. 二项式的展开式中的常数项为______． 6. 已知为奇函数，则_____________． 7. 一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 8. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 9. 已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A，B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为___________. 10. 在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 11. 如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 12. 已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 14. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（ ） A. B. C. D. 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知函数，其中. （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 18. 如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 19. 国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： （1）请估计这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出2人作为代表发言，求至少有一个人的年龄是在中的概率． 20. 法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为. （1）求椭圆的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点）； （3）设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值. 21. 已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. （1）若，是函数关于的“数列”，求的值； （2）若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； （3）若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市风华中学2026届高三数学冲刺试卷02 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数单调性及交集概念求出答案. 【详解】因为在R上单调递增，且， 故. 故答案为： 2. 不等式解集为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】通过对绝对值|2x﹣1|的讨论，分类讨论求解不等式，再把两种情况取并集即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 3. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数. 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. 4. 记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由得到①，再利用等差数列的性质可得②，②—①即可得到答案. 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式得，， 即，又，所以， 解得. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 5. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 由，得， 即常数项为． 故答案为： 6. 已知为奇函数，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，解得， 当，，不为奇函数，不合题意舍去． 当时，，即，为奇函数，符合题意， 所以． 7. 一个圆柱的体积为100，若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，得到的新圆柱的体积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得新圆柱的高和底面半径，由圆柱的体积公式计算即可得解． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为，则， 若将其高扩大为原来的3倍，底面半径缩小为原来的，则得到的新圆柱的高为，底面半径为， 所以得到的新圆柱的体积为. 8. 已知数据的平均数为，数据的平均数为，其中正数满足，则样本数据的平均数的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】求出样本数据的平均数的表达式，再利用“1”的妙用结合基本不等式即可求得答案. 【详解】因为数据的平均数为，数据的平均数为， 所以， 所以样本数据的平均数为， 又正数满足， 故， 当且仅当，即时等号成立， 故样本数据的平均数的最小值为5． 9. 已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A，B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为___________. 【答案】750 【解析】 【分析】首先把分配情况分为三类，①A组3女1男，B组1女3男；②A组3女1男，B组2女2男；③A组4女0男，B组1女3男.然后再计算每一类的分配方法数. 【详解】分三类： 第一类：A组3女1男，B组1女3男，此时分配方法有：； 第二类：A组3女1男，B组2女2男，此时分配方法有：； 第三类：A组4女0男，B组1女3男，此时分配方法有：， 所以分配方法共有. 故答案为：750. 10. 在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 11. 如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据双曲线定义确定轨迹，求出总费用的表达式结合图象得到当三点共线时取最小值，进而求解即可. 【详解】由题意知，所以满足双曲线定义，则，因此是双曲线右支，方程为. 总费用的表达式为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图， 延长交过点的竖直方向直线于点，易知. 在中，，所以， .因为，， 所以， 所以最小费用为万元. 12. 已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，记.由题可知，，点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部，所以可以转化为，结合图象，由其几何意义可得. 【详解】设，，对应的点为，取. 则由，得，即. 由，得，即， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部. 所以. 所以的最小值是，当且仅当四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值. 故答案为：. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则； B. 若，则； C. 若，则； D. 若，则. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造且，导数研究其单调性得到大小关系判断B，应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 14. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】说明了的发生与否与的发生与否无关， 即与相互独立，其等价于与相互独立， 而由事件独立性定义可知：当时，与相互独立，故为充要条件. 15. 如图是根据原卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长的中位数散点图，下列可近似刻画身高随年龄变化规律的函数模型是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象是否是线性增长，指数函数的图象与性质，对数函数的性质判断ACD，再由选项B中函数的性质判断后可得． 【详解】对于A，由散点图知身高随时间变化不是线性增长，故A错误； 对于C，指数函数模型中随增长越来越快，与图象不符合，故C错误； 对于D，对数函数模型在时没有意义，故D错误； 对于B：在定义域上单调递增，且增长速度越来越慢， 符合散点图中随增长越来越慢，且在时有意义，故B正确． 故选：B． 16. 在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题： ①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点； ②单位圆的“对应曲线”是它自身； ③直线的“对应曲线”一定是直线. 其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据对应点的定义对三个命题逐一判断. 【详解】对于①：设不是原点，则，记， 则，其中，计算的对应点： . ，即，不是，所以①错误； 对于②：单位圆上的点满足，因此对应点为. 对，有，说明仍在单位圆上； 反之，单位圆上任意点，则点在单位圆上. 因此单位圆的对应曲线就是单位圆本身，所以②正确； 对于③：取直线（平行于轴的直线），设其上点，对应点为. 令，消去：. 整理得，即，这是圆，不是直线，所以③错误. 所以正确命题的个数只有②一个. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知函数，其中. （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； 【小问2详解】 由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. 18. 如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）因为平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以； （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证； （2）分别取的中点。连接，根据面面垂直的性质可得平面，再以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，分别取的中点，连接， 则， 因为是正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 因为平面， 所以即为平面的一条法向量， 则， 所以二面角的余弦值为． 19. 国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： （1）请估计这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出2人作为代表发言，求至少有一个人的年龄是在中的概率． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式代入计算即可； （2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，利用古典概型的概率公式代入计算，结合对立事件概率求法运算求解． 【小问1详解】 由频率分布直方图可知各组频率依次为， 所以这200位作者年龄的样本平均数 ， 样本方差 . 【小问2详解】 因为在与的频率之比为， 可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人， 所以至少有一个人的年龄是在中的概率. 20. 法国著名数学家加斯帕尔蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆过点.且短轴的一个端点到焦点的距离为. （1）求椭圆的蒙日圆的方程； （2）若斜率为1的直线与椭圆相切，且与椭圆的蒙日圆相交于，两点，求的面积为坐标原点）； （3）设为椭圆的蒙日圆上的任意一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，求面积的最小值. 【答案】（1）； （2）2； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出，进而求出椭圆的蒙日圆的方程. （2）由（1）求出椭圆的方程，结合相切求出直线的方程，借助点到直线距离及圆的弦长公式求出三角形面积. （3）设，，，求出切线的方程，进而求出直线的方程，与椭圆方程联立求出三角形面积的函数关系，利用导数求出最小值. 【小问1详解】 由椭圆短轴的一个端点到焦点的距离为，得， 由椭圆过点，得，解得，于是， 所以椭圆的蒙日圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为， 由消去并整理得，， 由，得，即， 则坐标原点到直线的距离，， 所以的面积. 【小问3详解】 由（1）知，椭圆的方程为，椭圆的蒙日圆方程为， 设，则，设，，则， 当切线的斜率存在时，设的方程为， 由消去y得， ，整理得， 即，则，解得， 于是，即， 当切线的斜率不存在时，，的方程为或，满足上式， 因此切线的方程为，同理切线的方程为， 将代入切线，的方程，有，， 从而直线的方程为，当时， 由消去并整理得：， 显然， ， 则， 又点到直线的距离， 于是的面积， 设，则， 令，求导得，即函数在上单调递增，， 当，即时，由对称性不妨令，直线， 由，解得，，， 所以面积的最小值为. 【点睛】圆的弦长的常用求法：①几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则； ②代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：. 21. 已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. （1）若，是函数关于的“数列”，求的值； （2）若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； （3）若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 由，得， 于是曲线在点处的切线方程为， 令，则， 由题意得到， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再根据“数列”的定义即可得解； （2）由题意可得，再根据结合等比数列的定义化简即可得出结论； （3）由题意可得，设特征函数为，利用蛛网模型分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，进而可得出结论. 【小问1详解】 由，得， 因为，则， 所以曲线在点的切线方程为， 令，则， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则， 设特征函数为，则， 情况1：当时，则， 此时，所以函数在定义域内为增函数， 令，解得，又因，故此时方程无解， 当时，，所以不能成周期数列； 当时，，所以不能成周期数列； 故当时，不存在，使得函数关于的“数列”为周期数列； 情况2：当时，， 令，得或， 令，得或或， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以函数为奇函数， ，， 令，方程无解， 令，解得 当时，，， 所以数列是周期为的周期数列； 当时，，且与符号正负交替， 假设存在周期数列，则等价于存在，使得， 若为偶数，中每一个括号内的式子都是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 若为奇数，中， 每一个括号内的式子都与是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 当时，， 可得得到起初是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列， 故当时，有满足条件，使得数列成周期为的周期数列， 此时， 综上所述，存在满足题意. 【点睛】方法点睛：等比数列的两种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等比数列； （2）等差中项法：数列为等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $