精品解析：上海市静安区彭浦中学2026届高三数学冲刺试卷02

上海市彭浦中学2026届高三数学冲刺试卷02 2026.5.25 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的运算法则求出A与B的交集即可. 【详解】由题意得，因为，，所以， 故答案为. 2. 直线的一个法向量为__________. 【答案】（答案不唯一，） 【解析】 【分析】根据直线斜率，先写出一个方向向量，进而根据向量垂直的坐标关系求出它的一个法向量. 【详解】直线的斜率， 所以该直线的一个方向向量为，其法向量可以为. 故答案为：. 3. 已知，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用诱导公式计算可得. 【详解】解：因为，所以 故答案为：. 4. 已知，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，得出，即可计算出的值. 【详解】由题意，， ∴， ， ∴. 5. 记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由得到①，再利用等差数列的性质可得②，②—①即可得到答案. 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式得，， 即，又，所以， 解得. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 6. 已知随机变量，其密度函数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态曲线的密度函数对应计算可得； 【详解】因为随机变量，其密度函数为， 所以，. 故答案为： 7. 已知二项式的展开式中所有项的系数和为，则此展开式中含项的系数是________ 【答案】 【解析】 【分析】令可得，可得的值，求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于，求得的值即可求解. 【详解】令可得，解得：， 展开式的通项为：， 令可得， 所以展开式中含项为， 所以此展开式中含项的系数是， 故答案为：. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的面积为. 故答案为：3 9. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以 ，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 10. 已知函数在上恰有5个零点，则实数a的最大值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦的二倍角公式可得或，进而可得的零点情况，结合区间即可确定a的最大值. 【详解】由得，令，解得或， 当,,当，或， 所以当，的零点按从小到大排列有：， 故在上恰有5个零点，则这5个零点为， 故， 故a的最大值为， 故答案为： 11. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】首先分析出，再得到，最后利用基本不等式即可得到答案. 【详解】时，有，所以， 令， 的零点是，在上，在上， 的零点是，在上，在上， 若不等式对任意的恒成立，则，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：4. 12. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】采用化曲为直的方法，将曲面展成与平面共面的扇形，再有两点之间线段最短求出飞行路径的最短值，适当采取建系的方法可以大幅度减少计算量. 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系 则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A. B. C. 最小 D. 最小 【答案】D 【解析】 【分析】由最小二乘法的定义判断即可. 【详解】根据最小二乘法的求解可知：回归方程是为了使得每个数据与估计值之间的差的平方和最小， 即残差平方和最小. 故选：D 14. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，出场次序共有24种， 其中符合题意的出场次序共有8种， 故所求概率； 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲最后出场，乙排第二位或第三位出场，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲最后出场共种方法，同理乙最后出场共种方法，于是共种出场顺序符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，所求概率为. 故选：C 15. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】作出图形找到二面角的平面角，证明即可. 【详解】 过点作，又顶点在底面内的射影，平面， 则，平面，所以平面， 所以，则分别为在底面上的射影， 则即为侧面与底面所成的二面角，即为侧面与底面所成的二面角， ， 故， 则，即为定值， 同理可得为定值. 故选：B． 16. 若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】通过“衍生数列”的定义判断（1）；通过举反例判断（2）. 【详解】对于（1）：由题意，若存在无穷数列满足要求，则数列包含三项， 不妨令，符合题意，但若只取出， 这两项不是数列的连续两项，不合题意， 故数列不是某个数列的“衍生数列”，（1）为假命题； 对于（2）：定义，， 当数列按照集合的元素特征进行排序， 例如时， 满足各项均为0或1，任意n个0和1的组合均为集合的元素，即在数列中均有对应， 可知是自身的“衍生数列”，但是数列从某一项起不是常数列，（2）为假命题. 综上，（1）（2）均为假命题. 故选：B 【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算甲款机器人单次送餐成功的频率，利用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法概率和互斥事件加法概率公式求解即可； （3）由，利用二项分布的方差公式求解，即可求解. 【小问1详解】 设甲款机器人单次送餐成功的概率为，则； 【小问2详解】 设乙款机器人单次送餐成功的概率为，设丙款机器人单次送餐成功的概率为， 所以， 所以恰好成功两次的概率为 ； 【小问3详解】 由题意有， 所以， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，， 求证：平面平面PAD； 若，求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设运用空间向量的数量积公式求解． 试题解析： （1）∵为的中点，，， ∴，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵底面为直角梯形，，，∴． 又，∴平面．∵平面，∴平面平面．…………6分 （2）∵，平面底面，平面底面， ∴底面， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 即， ∴，，，∴， ，， 设平面的法向量，则， 取，得，平面的法向量． 设二面角的平面角为，则， ∴， ∴二面角的大小为．………………12分 考点：空间线面的位置关系及向量的数量积公式等有关知识的综合运用． 19. 设函数，其中为实数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）当的定义域为时，求的单调减区间． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由已知，，，则，可解得实数的取值范围； （2）求出，对实数的取值范围进行讨论，利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的单调递减区间. 【小问1详解】 解：由题意可知，，，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 解：由题意可知，，. 因为时，. ①当时，即当时，由可得， 此时函数的单调递减区间为； ②当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 此时函数无单调递减区间； ③当时，即当时，由可得， 此时函数的单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为. 20. 已知椭圆的左､右焦点分别为. （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； （2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； （3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）存在，，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由题意知，即可知离心率； （2）分，和三种讨论即可； （3）设直线，联立椭圆方程得到韦达定理式，计算，将韦达定理式整体代入，再计算，得到方程即可. 【小问1详解】 由题意得即，所以离心率. 【小问2详解】 由题意得椭圆 ①当时，由对称性得. ②当时，，故，设， 由得， 两式作差得， 代入椭圆方程，得（负舍），故 ③当时，根据椭圆对称性可知. 【小问3详解】 由题意得椭圆. 设直线， 由得. 设，则， ， ， 由，得. 【点睛】关键点睛：对于第三问，我们通常选择设线法，设直线，从而将其与椭圆方程联立得到两根之和与之积式，然后再计算出的值，再将韦达定理式整体代入，当然本题也可引入，设直线. 21. 设定义域为的函数，对于，定义 （1）设，求； （2）设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，．若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 【答案】（1）； （2）存在，； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义求解即可； （2）由题意可得，令，当时，利用导数确定函数的单调性及极值，再根据定义求解即可；当时，可得是函数的极小值点，再根据定义求解即可； （3）根据充要条件的定义证明即可. 【小问1详解】 由题设， 由化简得， 解得， 故． 【小问2详解】 因为， 代入定义得：， 构造函数， 故， 令， 当时，， 所以存在，；所以当、时，， 进一步，列表可得： 0 0 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点， 故当时，是一段闭区间， 因此， 特别地，当时，，，， 故仍是一段闭区间， 故； 当时，， 故当且仅当时，． 同理，是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的，且； 【小问3详解】 证明：假设，若， 则，因此矛盾， 故， ①先证充分性： 引理：对任意，当满足时，， 已知，． 假设， 设，任取，，则， 因为函数是严格增函数， 所以，即， 所以， 由此， 因此考虑构造， 当， 则， 而， 所以函数是严格减函数，，故矛盾， 即， 下面证明函数在上为严格增函数： 任取，若，， 联立上式可得． 而，，又因为是严格减函数， 则．由于，， 所以，故． 同理，可证函数在上为严格增函数，且， 故函数在上为严格增函数，因此充分性得证． ②再证必要性： 因为函数是上的严格增函数且， 当时，； 当时，， 因此， 因此必要性得证． 综上，函数是上的严格增函数”当且仅当“. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市彭浦中学2026届高三数学冲刺试卷02 2026.5.25 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，，则__________. 2. 直线的一个法向量为__________. 3. 已知，则_____________. 4. 已知，则_________． 5. 记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为________． 6. 已知随机变量，其密度函数为，则__________. 7. 已知二项式的展开式中所有项的系数和为，则此展开式中含项的系数是________ 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 9. 已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为________． 10. 已知函数在上恰有5个零点，则实数a的最大值为_________． 11. 若不等式对任意的恒成立，则的最小值为_____________． 12. 如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A. B. C. 最小 D. 最小 14. 某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加，每人出场一次，出场次序由随机抽签确定，则丙不是第一个出场，且甲或乙最后出场的概率是（ ） A. B. C. D. 15. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，顶点在底面内的射影在正方形的内部（不在边上），且，为常数，设侧面与底面所成的二面角依次为,则下列各式为常数的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ②④ C. ②③ D. ③④ 16. 若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. （1）估计甲款机器人单次送餐成功的概率； （2）若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； （3）若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，，， 求证：平面平面PAD； 若，求二面角的大小． 19. 设函数，其中为实数． （1）若的定义域为，求的取值范围； （2）当的定义域为时，求的单调减区间． 20. 已知椭圆的左､右焦点分别为. （1）以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率； （2）已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标； （3）已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由. 21. 设定义域为的函数，对于，定义 （1）设，求； （2）设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，．若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $