精品解析：上海市彭浦中学2026届高三数学冲刺试卷01

上海市彭浦中学2026届高三数学冲刺试卷01 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】首先解绝对值不等式与分式不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，即，等价于，解得或， 所以， 所以. 故答案为： 2. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 【答案】 【解析】 【分析】本题利用导数的几何意义表示出切线的斜率，由斜率存在的两直线垂直时，斜率乘积为，建立等量关系，从而求出实数. 【详解】解：由题可得，所以函数在处的切线斜率为. 已知直线的斜率为，切线与该直线垂直，所以，解得. 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由得到①，再利用等差数列的性质可得②，②—①即可得到答案. 【详解】设等差数列的公差为，由等差数列前n项和公式得，， 即，又，所以， 解得. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 4. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】展开式的通项公式为， 由，得， 即常数项为． 故答案为： 5. 已知函数，则不等式的解集为____ 【答案】（1，＋∞） 【解析】 【分析】由已知条件得出函数为奇函数，并且在R时单调递增，由此可得出关于x 不等式，解之可得不等式的解集. 【详解】因为，所以函数为奇函数， 又，当时，，所以函数在时单调递增； 当时，，所以函数在时单调递增， 所以函数在R时单调递增. 所以不等式化为，所以，解得， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解不等式，属于中档题. 6. 已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A，B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为___________. 【答案】750 【解析】 【分析】首先把分配情况分为三类，①A组3女1男，B组1女3男；②A组3女1男，B组2女2男；③A组4女0男，B组1女3男.然后再计算每一类的分配方法数. 【详解】分三类： 第一类：A组3女1男，B组1女3男，此时分配方法有：； 第二类：A组3女1男，B组2女2男，此时分配方法有：； 第三类：A组4女0男，B组1女3男，此时分配方法有：， 所以分配方法共有. 故答案为：750. 7. 已知数列满足：（为正整数），则______. 【答案】 【解析】 【详解】当时，， ， 当时，， 两式相减得，可得， 代入，得 故时不满足此式， 所以 8. 已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，，记.由题可知，，点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部，所以可以转化为，结合图象，由其几何意义可得. 【详解】设，，对应的点为，取. 则由，得，即. 由，得，即， 所以复数对应的点在以为圆心，2为半径的圆上或圆的内部. 所以. 所以的最小值是，当且仅当四点共线，且是线段与圆的交点时，取得最小值. 故答案为：. 9. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，均为圆的切点，所以，过作于点，则，，则球的半径，利用球的体积与圆台的体积公式即可得解. 【详解】过作于点，如图：    则，. 由题意得，均为圆的切点， 由切线的性质可知 所以. 则，所以,所以球的半径， 所以，， 所以. 故答案为：. 10. 在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 11. 如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据双曲线定义确定轨迹，求出总费用的表达式结合图象得到当三点共线时取最小值，进而求解即可. 【详解】由题意知，所以满足双曲线定义，则，因此是双曲线右支，方程为. 总费用的表达式为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图， 延长交过点的竖直方向直线于点，易知. 在中，，所以， .因为，， 所以， 所以最小费用为万元. 12. 已知数列满足，n是正整数，，若是公比为q等比数列，且，，n是正整数，则q的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件得到，由得到，分别讨论和两种情况，在当时，由得到；分别讨论，，进行求解即可 【详解】，是公比为q等比数列，，， ， 当时，这三个数正负交替出现，不满足； 当时，，； 当时，，，，此不等式对所有的成立； 当时，，，， ，， ，， ，， 对于不等式，令，得到，解得， ，，，成立， ； 当时， ，，， ，， ，， ，， ，， ， 时，不等式恒成立. 综上，的取值范围为. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】说明了的发生与否与的发生与否无关， 即与相互独立，其等价于与相互独立， 而由事件独立性定义可知：当时，与相互独立，故为充要条件. 14. 设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求得，结合函数在区间恰有三个最值点、两个零点，得出不等式，即可求解. 【详解】由函数，其中，可得， 因为函数在区间恰有三个最值点、两个零点， 由图象如图， 由图可知，，解得，所以的取值范围为. 15. 圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ） A. 64 B. 128 C. 144 D. 256 【答案】D 【解析】 【详解】如图，依题意，，，设此时的圆柱的半径为， 则，，所以， 所以该圆柱体积为，， ，令，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以，当，取得最大值，此时. 16. 设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点 ，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若 是 关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若 (a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（   ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】A 【解析】 【分析】命题①可构造不含原点的点集作为反例．命题②中，利用中点落在单位圆盘内得到两个坐标均有界，再令图象上的点横坐标趋于正无穷，可推出． 【详解】对于命题①，构造点集 显然． 下证仍是关于点集的“拟像函数”． 任取图象上一点． 当时，取，因为所以点在的图象上． 此时的中点为，且，所以． 当时，，取，则在的图象上，且的中点为． 因此是关于点集的“拟像函数”，但，所以命题①是假命题． 对于命题②，设是关于点集的“拟像函数”． 当时，点在的图象上． 由定义，存在图象上一点，使得的中点在中． 于是 所以 由可得，因此当趋于正无穷时，趋于． 将不等式 两边同时除以，得 令趋于正无穷，得，所以．故命题②是真命题． 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知函数，其中. （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得方程，然后通过的范围解方程即可； （2）代入，然后利用三角公式化简，再将方程有解问题转化为函数值域问题，利用正弦函数的性质求值域即可. 【小问1详解】 由已知， 又，所以， 所以或， 所以或， 即在上的解为或； 【小问2详解】 由已知 ， 则在时有解，即在时有解， 因为，所以， 所以， 所以. 18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【小问1详解】 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. 【小问2详解】 由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 19. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的50%分位数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差S分别作为，的近似值），已知样本的平均数约为80.5，标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，，. 【答案】（1）80； （2）16； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的概念求解即可； （2）根据正态分布的对称性求解，然后根据二项分布的期望公式求解期望即可； （3）根据分层抽样、条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知：，故此次知识竞赛成绩的50%分位数为80分； 【小问2详解】 由题意可知，因为， 即，故， 由题意知，抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数X服从二项分布， 即，故X的数学期望. 所以抽取的100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数的数学期望为16人； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，分数在和的频率分别为0.35和0.15， 按照分层抽样，抽取10份，其中分数在，应抽取份， 分数在应抽取， 记事件A：抽测的3份试卷来自于不同区间； 事件B：取出的试卷有2份来自区间，则，， 故. 所以抽测3份试卷有2份来自区间的概率为. 20. 已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． （1）若点的坐标为，求的面积； （2）求的取值范围； （3）如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是， 【解析】 【分析】（1）由点在椭圆上，求得，再由面积公式即可求解； （2）设，得到，结合模长公式，通过配方即可求解； （3）设切线方程为,则,即.设两切线的斜率分别为,则是上述方程的两根,根据韦达定理可得:,结合已知即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知，又， 则的面积为． 【小问2详解】 设，则， 又，则， ∴ ， 则当时，取到最大值，当时，取到最小值2， 则的取值范围为． 【小问3详解】 设 过点切线方程为，则，即， 设两切线的斜率为， 则是上述方程的两根，∴， 由，得：， ∴， 同理可得：， ∴， 于是直线方程为， 令，得， 故直线过定点． 21. 已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. （1）若，是函数关于的“数列”，求的值； （2）若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； （3）若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 由，得， 于是曲线在点处的切线方程为， 令，则， 由题意得到， 所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程，再根据“数列”的定义即可得解； （2）由题意可得，再根据结合等比数列的定义化简即可得出结论； （3）由题意可得，设特征函数为，利用蛛网模型分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，进而可得出结论. 【小问1详解】 由，得， 因为，则， 所以曲线在点的切线方程为， 令，则， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 所以曲线在点处的切线方程为， 令，则， 设特征函数为，则， 情况1：当时，则， 此时，所以函数在定义域内为增函数， 令，解得，又因，故此时方程无解， 当时，，所以不能成周期数列； 当时，，所以不能成周期数列； 故当时，不存在，使得函数关于的“数列”为周期数列； 情况2：当时，， 令，得或， 令，得或或， 所以函数在上单调递增， 在上单调递减， 而，所以函数为奇函数， ，， 令，方程无解， 令，解得 当时，，， 所以数列是周期为的周期数列； 当时，，且与符号正负交替， 假设存在周期数列，则等价于存在，使得， 若为偶数，中每一个括号内的式子都是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 若为奇数，中， 每一个括号内的式子都与是同号的， 所以不可能为，所以数列不可能为周期数列； 当时，， 可得得到起初是正负交替，但是以后会一直为正或负，所以不能成周期数列， 故当时，有满足条件，使得数列成周期为的周期数列， 此时， 综上所述，存在满足题意. 【点睛】方法点睛：等比数列的两种判定方法： （1）定义法：（常数）数列为等比数列； （2）等差中项法：数列为等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市彭浦中学2026届高三数学冲刺试卷01 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合，，则______． 2. 若曲线在处的切线与直线垂直，则实数_____. 3. 记为等差数列的前n项和，若，，则的公差为________． 4. 二项式的展开式中的常数项为______． 5. 已知函数，则不等式的解集为____ 6. 已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A，B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为___________. 7. 已知数列满足：（为正整数），则______. 8. 已知复数满足，若复数（是虚数单位），记，则的最小值是___________． 9. 如图，四边形是直角梯形，其中，，，是的中点，以为直径的半圆与相切于点.与梯形以为旋转轴旋转一周，可以分别得到一个球和一个圆台，则该球的体积与圆台的体积之比为______. 10. 在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 11. 如图，相距；在的方向，相距，河流沿岸（曲线）上任意一点到的距离比它到的距离远，现要在曲线上选一处建一座码头，向三地转运货物．经测算，从到两地修建公路费用都是万元/km，从到修建公路的费用为万元/km.选择合适的点，可使修建的三条公路总费用最低，则总费用最低是_____万元（精确到，且）． 12. 已知数列满足，n是正整数，，若是公比为q等比数列，且，，n是正整数，则q的取值范围是__________. 二. 选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 已知为随机事件，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设函数，在区间恰有三个最值点，两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ） A. 64 B. 128 C. 144 D. 256 16. 设定义在R上的函数与的图像分别为；对于平面直角坐标系中的点 ，若对于上的任意一点P、总存在上的一点Q，使得的中点在集合S中，就称是关于点集S的"拟像函数".现有以下两个命题： ①若 是 关于点集S的"拟像函数"，则原点； ②设，若 (a，b是常数)是的"拟像函数"，则. 则关于这两个命题的真假性的判断，正确的是（   ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知函数，其中. （1）求在上的解； （2）已知，若关于的方程在时有解，求实数m的取值范围. 18. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 19. 为深入学习党的二十大精神，激励青年学生积极奋发向上.某学校团委组织学生参加了“青春心向党，奋进新时代”为主题的知识竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成绩（卷面共100分）频率分布直方图如图所示. （1）用样本估计总体，试估计此次知识竞赛成绩的50%分位数； （2）将此次竞赛成绩近似看作服从正态分布（用样本平均数和标准差S分别作为，的近似值），已知样本的平均数约为80.5，标准差.现从该校参与知识竞赛的所有学生中任取100人，记这100人中知识竞赛成绩超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望； （3）从得分区间和的试卷中用分层抽样的方法抽取10份试卷，再从这10份样本中随机抽测3份试卷，若已知抽测的3份试卷来自于不同区间，求抽测3份试卷有2份来自区间的概率. 参考数据：若，则，，. 20. 已知分别为椭圆的左右焦点，分别为上下顶点，为上的点． （1）若点的坐标为，求的面积； （2）求的取值范围； （3）如图，过点作圆的两条切线分别与椭圆相交于点（不同于点），当变化时，试问直线是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 21. 已知函数及其导函数的定义域均为.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点.依此类推，称得到的数列为函数关于的“数列”. （1）若，是函数关于的“数列”，求的值； （2）若，是函数关于的“数列”，记，证明：是等比数列，并求出其公比； （3）若，则对任意给定的非零实数，是否存在，使得函数关于的“数列”为周期数列？若存在，求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $