精品解析：安徽安庆市岳西县天堂初级中学2025-2026学年八年级数学第二学期期中卷

2025－2026学年度八年级数学第二学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：1 被开方数不含分母；2 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐个验证选项即可得出答案. 【详解】根据最简二次根式的定义逐个分析： A， 的被开方数含分母，不符合题意； B，，被开方数含能开得尽方的因数，不符合题意； C ， ，被开方数含能开得尽方的因式m2，不符合题意； D ， 的被开方数不含分母，且不存在能开得尽方的因式，满足最简二次根式的定义，符合题意． 2. 将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 原方程为 ， 将方程移项整理为一般形式得 ， 其中二次项为 ，一次项为 ，常数项为 ，符合题意 ∴ 二次项系数为 ，一次项系数为． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减，根据二次根式的加减运算法则逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的加减运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算正确，符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、和不是同类二次根式，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、勾股定理的逆定理．根据三角形内角和定理可得A、D选项；根据勾股定理逆定理可判断出B、C选项． 【详解】解：A. ，且，，故为直角三角形，故该选项不符合题意； B. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； C. ，故为直角三角形，故该选项不符合题意； D. ，，故不能判定是直角三角形，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、无理数的估算等知识点，掌握二次根式的混合运算法则成为解题的关键． 先根据二次根式的混合运算法则化简，然后再运用“夹逼法”估算即可． 【详解】解： ； ∵， ∴， ∴，即4到5之间． 故选B． 6. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由是关于的一元二次方程的两个实数根，可得，，即，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ； 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的含义，根与系数的关系，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积，再将代数式变形为只含两根之和与两根之积的形式是关键． 7. 关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将方程变形为，对照已知方程及其根得出或，求解即可． 【详解】解：∵关于的方程的根是， ∴关于的方程，即满足或， 解得：． 8. 如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质可得，由勾股定理即可求出的长度，最后用面积法求得的长． 【详解】解：∵，，，平分交于点， ∴且点是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，由是等腰直角三角形可得，即，故取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长，根据，，可得，即可得答案． 【详解】解：以A为顶点，为一边，在下方作，过B作于D，交于P，如图： 由作图可知：是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴取最小值即是取最小值，此时B、P、D共线，且，的最小值即是的长， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴的最小值是． 故选：A． 【点睛】本题考查三角形中的最小路径，解题的关键是作辅助线，把的最小值转化为求的最小值． 10. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义，判别式与根的个数的关系，根与系数的关系逐一进行判断即可． 【详解】解：①若，则1为方程的一个根，∴，故①正确； ②若方程两根为和2，则：，∴，②正确； ③若方程有两个不相等的实数根，则：， 当时，，满足题意， 但此时方程无实数解，故③错误； ④若，则， 即方程有两个不相等的实数根，④正确； 正确的为：①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程解的定义，根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握相关知识点是解题的关键． 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数；分式有意义的条件：分母不等于零是解题的关键．根据二次根式与分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，则， 故答案为：1． 13. 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为__________． 【答案】或3 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给新定义的运算法则，以及解一元二次方程的方法和步骤．根据题目所给新定义，列出方程求解即可． 【详解】解：， ， ∴，即， 解得：， 故答案为：或3． 14. 有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 【答案】 ①. ； ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 三、解答题：（本题共9小题，15－18每题8分，19－20题每题10分，21－22题每题12分，23题14分，共90分．） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式运算以及零指数幂运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式运算法则和零指数幂运算法则求解即可． 【详解】解： ． 16. 用合适的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， 移项得； 配方，得，即； 开平方，得， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解： ， ， ， ， 则或， 解得，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及求根公式，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． （）利用一元二次方程根的判别式判断即可得解； （）先求解一元二次方程，再根据方程两个根都是负根判断的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程， ∴，，， ∴， ∵不论为何值， ∴方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程中，， ∴， ∴，， ∵方程的两个根都是负根， ∴， ∴． 18. 观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）___________． （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知，探索发现变化规律，写出答案，并验证即可； （2）根据发现规律，写出第n个式子即可； （3）根据规律计算即可． 本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是找出规律． 【小问1详解】 解：① ； ② ； ③ ， 故． 故答案为： ． 【小问2详解】 解：∵①； ②； ③． ………… ∴按照上面各等式反映的规律，第个等式（为正整数）为 ． 【小问3详解】 解：． 19. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 【答案】（1）不是 （2）-6或-8 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系． （1）解该一元二次方程，得出，，再根据“差1方程”的定义判断即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，，根据 “差1方程”的定义可得，即可求出或，再结合“差1方程”的定义检验即可. 【小问1详解】 解：此方程不是“差1方程”，理由如下： ， 解得：，， ∵， ∴方程不是“差1方程”； 【小问2详解】 解：∵设方程两根为，， 由根与系数的关系，得，， ∵方程 是“差1方程”， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴, ∴或； 当时，方程，解得：，，此时， 当时，方程，解得：，，此时， 综上所述：当或时，关于x的一元二次方程是“差1方程”. 20. 在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 【答案】114 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定，然后再求面积即可． 【详解】解： ，即， 在中，， 又在中，， 是直角三角形，且， 的面积为：，的面积为：， 四边形的面积为． 21. 在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： 示例：比较与的大小 如图①，在正方形网格中作△OPQ，使，，， ∵在中，， ∴． （1）参考示例的方法，在图②中构造图形，比较与，并说明理由； （2）如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是上任意一点，若满足取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出的值为________；若连接，直接写出的度数为________． 【答案】（1），理由见解析 （2）， 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、轴对称的作图和性质． （1）根据勾股定理和三角形的三边关系进行解答即可； （2）根据轴对称的性质作图，利用勾股定理和逆定理证明是等腰直角三角形，得到，根据轴对称的性质即可得到即可． 【小问1详解】 解：结论：． 理由：如图②所示构造，使得，， ∵在中，， ∴； 【小问2详解】 如图，点M即为所求， 如图，连接，作点C关于的对称点，连接交于点M， ∵， ∵关于轴对称， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：，． 22. 某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少． （1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①____________ ②____________ （2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； （3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】（1）填表见解析 （2） （3）每件售价应定为52元 【解析】 【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可； （2）设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为，根据四月份人数和六月份的人数列出方程求解即可； （3）设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件，根据商家想要达到日利润432元，列出方程求解即可． 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵该景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少了，且该景区4月份的游客人数为万人， ∴该景区5月份的游客人数为万人， ∴6月份的游客人数为万人． ∴五月的人数为万人，六月的人数为万人； 填表如下： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a 【小问2详解】 解：设该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该风景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率为； 【小问3详解】 解：设每件的售价定为元，则每件的销售利润为元，每天可卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， ∵为尽快销售完该款商品 ∴． 答：每件售价应定为52元． 23. （1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明点，，在同一条直线上后，再证明为等边三角形，利用等边三角形的性质即可得证； （2）把沿着翻折，得到，连接．由折叠可得 ，，，．先证明为等边三角形得．再由，得．利用勾股定理即可得解； （3）由折叠性质得，， ，．进而根据角平分线得．，从而得．证是等边三角形得．在中，根据勾股定理得，从而由，，即可得解． 【详解】(1)证明∶把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上． 又∵，， ∴为等边三角形． ∴． (2)解：如图所示，把沿着翻折，得到，连接． 由折叠可得 ，，，． ∵，， ∴． ∴． 又∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． (3)．理由如下： 如图，把沿边翻折得到，连接，，则，， ，． ∵平分，， ∴． ∴． 又∵ ，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． 在中，， 又∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等边三角形的判定及性质，角平分线的有关计算，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度八年级数学第二学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式后，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，为的三边长，在下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. 5. 估计的值在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 6. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 关于的方程的根是（均为常数，），则关于的方程的根是（） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，平分交于点，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，P为AC边上的一个动点（不与A、C重合），则的最小值是（ ） A. B. 3 C. 1 D. 10. 已知一元二次方程中，下列说法：①若，则； ②若方程两根为和2，则； ③若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；④若，则方程有两个不相等的实根．其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____________． 12. 若与最简二次根式是同类二次根式，则______． 13. 对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如，则方程的解为__________． 14. 有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为______； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为______． 三、解答题：（本题共9小题，15－18每题8分，19－20题每题10分，21－22题每题12分，23题14分，共90分．） 15. 计算： 16. 用合适的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围． 18. 观察下列各式： ， ， ． 请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1）___________． （2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式． （3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）． 19. 定义：已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则称这个方程为“差1方程”．比如，一元二次方程的两根为，，因为，所以一元二次方程为“差1方程”． 请阅读以上材料，回答下列问题： （1）判断：一元二次方程 “差1方程”（填“是”或“不是”）； （2）若关于x的一元二次方程是“差1方程”，求k的值． 20. 在四边形中，，，，，，求这个四边形的面积． 21. 在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，请在给定网格中按下列要求画图并回答问题： 示例：比较与的大小 如图①，在正方形网格中作△OPQ，使，，， ∵在中，， ∴． （1）参考示例的方法，在图②中构造图形，比较与，并说明理由； （2）如图③，点A、B、C、D均在格点上，点M是上任意一点，若满足取最小值，在图③中画出点M（保留作图痕迹），直接写出的值为________；若连接，直接写出的度数为________． 22. 某景区5月份的游客人数比4月份增加，6月份的游客人数比5月份减少． （1）设该景区4月份的游客人数为a万人，请用含a的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4月 5月 6月 游客人数/万人 a ①____________ ②____________ （2）求该景区5月份、6月份游客人数的月平均增长率； （3）景区特色商品营销店推出一款成本价为40元的文化衫，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件文化衫售价每降低1元，日销售量增加2件．若商家想要达到日利润432元，为尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 23. （1）【问题呈现】在学习等边三角形的知识时，老师提出了这样一个问题： 如图①，在中，，，那么和有何数量关系？ 请证明你的猜想． 在老师提出问题后，同学们都进行了积极的探索并试着进行证明．下面是小曼同学的部分解答． 猜想：． 证明：把沿着翻折，得到． ∴，，． ∴，即点，，在同一条直线上．（请补全小曼后面的证明过程） （2）【拓展变式】把（）中条件改为“如图②，在中，，”，则 ． （3）【能力迁移】通过以上问题的解决，我们发现：翻折可以探索一些图形的性质．请利用翻折解决下面的问题． 如图③，是内一点，且平分，若，，探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $