广东深圳市南二外等校2025-2026 学年第二学期九年级测试 数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级测试数学试卷 本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟。 第一部分选择题 一、单选题（共8小题，每小题3分，满分24分） 1.-2026的绝对值是() 1 A.2026 B.-2026 C. 2026 D.-2026 2.如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是() A. B 、正面 C D 3.如图，转盘分为灰、白两种扇形。山山进行多次重复转盘试验后，记录到指针指向灰色区域的频率稳定在0.4左 右，由此估算白色扇形区域的圆心角度数是(). A.226° B.2169 C.206° D.144° 4.下列计算正确的是() A.(2a）)3=6a B.√a+√b=√a+b 白 c.(a-b)}2=a2-b D.a2.a=a 5.下列命题，是真命题的是() A.过一点有且只有一条直线与己知直线平行 B.相等的角是对顶角 C.同一平面内，垂直于同一直线的两条直线相互平行 D.两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 6.关于x的分式方程1+4-2 x-22-x =1的解为正数，则a的取值范围是() A.a>5且a≠3B.a<5且a≠3 C.a>5且a≠2 D.a<5且a≠2 7.如图，已知△ABC(AC>AB),用尺规作图的方法在BC边上确定一点P,连接AP,能判断△ABP一定是等腰 三角形的图形有() ① ④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元.例如，单笔消费金额为208元时，立减20元.甲在 该商场单笔购买2件A商品，立减了20元：乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元.若B商 品的单价是整数元，则它的最小值是() A.1元 B.99元 C.101元 D.199元 试卷第1页，共6页 第二部分非选择题 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 2 9.代数式x-2 中x的取值范围是· 10.若最简二次根式m2-3与V5m+3是同类二次根式，则m= 11.小明想知道学校旗杆的高，他在某一时刻测得直立的标杆高1米时影长0.9米，此时他测旗杆影长时，因为旗杆 靠近建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，他测得落在地面上的影长BC为27米，又测得墙上影高CD 为1.2米，旗杆AB的高度为米. D 12.如图，经过原点0的直线与反比例函数)=受(>0)的图象交于A,D两点（点A在第一象限），点B,C,E 在反比例函数y=(b<O)的图象上，AB∥y轴，AE∥CD∥x轴，五边形ABCDE的面积为56，四边形ABCD的面 积为32，则2的值为 0 y B D C 13.如图，四边形ABCD是平行四边形，AD沿着过点A的直线AE翻折口ABCD,使得点D的对应点G落在CB延长 线上，折痕与BD相交于点F,连接FG,若FG⊥AB,且GB:BE=I:3,求tan∠EFB= D F E H A B 试卷第2页，共6页 三.解答题（共7小题，满分61分） 14.(5分)1s-a--2os45+9: 15.(6分)先化简，再求值： -司”，并队1,2.3三个数中透一个合适的数代入求位 16.(9分)各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽 取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下. (一)收集与整理 农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：64,74,78,82,84,86,86,92,96,98： 城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：62,70,79,83,85,87,87,90,97,100. (二)描述与分析 城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下： 统计量 平均数 中位数 众数 方差 农村 84 a 86 城区 84 86 b 118.6 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出表格中a、b、c的值，a= ，b= ,C= (三)迁移与应用 (2)若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参加艺术展演，请用列表法或画树状图的方 法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率： (3)请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化 建议. 试卷第3页，共6页 17.(8分)“激情全运会，活力大湾区."第十五届全国运动会于2025年11月9日在 广州开幕.本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原 型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传 递团结拼搏与团圆和美的愿景，全运会纪念品深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B 吉祥物 吉祥物 型号纪念品的单价多20元，用1000元购买A型号纪念品的数量是用400元购买B型 喜洋洋 乐融融 号纪念品数量的2倍， (1)求A,B两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买A,B两种型号的纪念品共70个，要求购进A型号纪念品的数量不少于B型号纪念品数量的1.5倍，且 所花费用不超过6480元，请求出所有满足条件的购买方案. 18.(10分)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AB为直径，BC=CD,过点C作CE⊥AB于点E,CH⊥AD交AD 的延长线于点H,连接BD交CE于点G. (1)求证：CH是⊙O的切线： (2)若点D为AH的中点，求证：AD=BE: B若co∠DB4=手CG=10,求BD的长 OE 19.(11分)综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青 蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合。 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60℃m,起跳点与落地点 的距离为160cm. 青蛙的运动路线 仿青蛙机器人 试卷第4页，共6页 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N,对称轴为直线1，仿青蛙机器人在水平地 面上的起跳点为O,落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系. y/cm A A M O x/cm B C 图1 图2 (1)请直接写出顶点N的坐标： 并求该抛物线的函数表达式： 问题解决：己知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变， (2)如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q,点P的坐标为(0,75)，点Q在x轴的正半 轴上.求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长； (3)实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3℃m,才能安 全通过.如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD,其中∠ABC=∠BCD=90°， AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍 物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物。请直接写出该平 台的高度： (平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内)， 试卷第5页，共6页 20.(12分)问题情境： 矩形ABCD中，AB=3,BC=4,∠BAC的平分线交BC于点E.将△ABE绕点E顺时针旋转，得到△FGE点A, B的对应点分别为点F,G(点G与点B不重合). 深入探究： D D G B E B E 图1 图2 图3 (1)如图1，当点F在边AD上时，求证：∠AEF=2∠BAE: (2)如图2，当点G在线段AE上时，连接AF,CF, ①求证：AC⊥EF: ②求四边形AECF的面积： (3)当点G在矩形ABCD的对角线上时，连接DF,直接写出DF的长. 试卷第6页，共6页 三模九年级数学评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B D B B A 题号 9 10 11 12 13 答案 x>2 6 4.2 -3 √105 3 14.解：8-（红-1）°-2cos45 =35-1-2x5+2 2 4分 =3√2-1-√2+2 =1+2√2 5分 15.解： 1-1） a2-6a+9 a-2 a2-4 a2-4 a2-6a+9 1分 =a-3x(a+2(a-2) a-2 (a-3 3分 =a+2 a-3 4分 当a=1时，原式=1+2。-3 1-32 6分 除法转换乘法1分，通分1分，因式分解1分，结果1分，代值2分 16.解：1)0=84+86=85,6=87，c=952 2 3分 (2)农村学校95分以上学生有2人，分别记为A,4,城区学校95分以上学生有2人， 分别记为B,B2,画树状图如下： 开始 5分 A2 B B2 A B B2 A A2 B2 A A2 B 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学 生的结果有2种， 6分 21 ∴P(所选两名学生恰好都是城区学生)= 126 7分 (3)例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质 均衡发展： 从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议加强农村学校艺术教学： 从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平： 从方差看，城区学校艺术成绩的方差大于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动 较大，建议减小两极分化 必须要用平均数、中位数、众数、方差中的其中一个数据，建议言之有理即可9分 17.解：设B型号纪念品的单价为x元，则A型号纪念品的单价为(x+20)元， 依题意，得1000-40×2， x+20x 2分 解得x=80, 经检验，x=80是原分式方程的解， 3分 x+20=100, 答：A型号纪念品的单价为100元，B型号纪念品的单价为80元：…4分 (2)解：设购买A型号纪念品m个，则B型号纪念品(70-m)个， m≥1.5(70-m) 依题意，得 100m+80(70-m)≤6480 6分 解得：42≤m≤44， 7分 ,m为整数， .m可取42,43,44， 故共有三种购买方案： 方案1：购买42个A型号纪念品，28个B型号纪念品： 方案2：购买43个A型号纪念品，27个B型号纪念品： 方案3：购买44个A型号纪念品，26个B型号纪念品. 8分 18.【详解】(1)证明：如图，连接OC,OD, B BC=CD, ∠B0C=∠C0D=∠B0D,l分 又：∠BAH=∠BOD, ∴.∠BAH=∠BOC, .AH‖0C，2分 :AH⊥CH ∴.OC⊥CH, ,OC是⊙0的半径， ∴.CH是⊙O的切线： 3分 (2)证明：如图，连接AC, BC=CD, .BC=CD, ∴.∠BAC=∠CAH, 4分 又，CE⊥AB,CH⊥AH, ∴.CE=CH, .BC=CD, .Rt△CEB≌RtACHD(HL),5分 ∴BE=DH, ,点D为AH的中点， ∴.AD=DH, .AD=BE;6分 (3)解：如图，延长CE交⊙O于点F, B ,AB是⊙O的直径，CF⊥AB, ∴BF=BC=CD, ∴.∠BCE=∠CBD, 7分 ∴.GB=GC=10, 在Rt△GEB中，coS∠DBA= BE4 BG 5' ∴BE=8,GE=6, ∴.CE=CG+GE=10+6=16, 8分 ,∠EAC=∠CAD=∠CBD=∠BCE,∠AEC=∠CEB=90°， ∴.△AEC∽ACEB 瓷脚 1681 ∴.AE=32, 9分 六AB=AE+BE=32+8=40，在R△MDB中，c0s∠DBA=BD=4 AB 51 80号4B=×40=2. 5 10分 19.解：(1)顶点坐标为(80,60)，1分 设抛物线的函数解析式为：y=a(x-80+60,2分 图象过原点， a(0-80+60=0,3分 3 解：a=- 320 ∴y=- 3 (x-80)2+60:4分 320 (2),抛物线的形状不变，点(0,75)， 5分 故第二次的函数图象可以看作由(1)的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为： 3 y=- (x-80)2+60+75=- 3 320 x-80)2+135,6分 320 当y=0时， 320x-802+135=0, 7分 解得：x=200,x2=-40(舍去)： 故起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长为200cm: 8分 (3)该平台的高度为6cm.(没有单位扣1分) 11分 20.(1)证明：，△ABE绕点E旋转得到△FGE, ∴△ABE≌△FGE, ..AE=EF, ∴.∠EAF=∠AFE, .∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=180°-2∠EAF,1分 在矩形ABCD中，∠BAD=90°， ∴.∠BAE+∠EAF=90°， ∴.∠EAF=90°-∠BAE, .∠AEF=180°-2∠EAF=180°-2(90°-∠BAE)=2∠BAE:3分 (2)①证明：如图，设AC交EF于点O, ⊙ E 四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=4, ∴.∠B=90°， AC=VAB2 BC2 =5, ,△ABE≌△FGE, ∴.∠AEB=∠AEO,EF=AE, ,AE平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠OAE, 在△ABE和△AOE中， (ZAEB=∠AEO AE=AE ∠BAE=∠OAE ∴.△ABE≌△AOE(ASA), ∴.OE=BE,∠AOE=∠B=90°， AC⊥EF: 6分 ②解：AC⊥EF ∴.∠EOC=∠B=90°， 在△EOC和△ABC中， LE0C=∠B=90° N∠ECO=∠ACB .△EOC∽△ABC, OE EC BC-BE BC-OE 一，即 0E4-0E = AC AC 3 51 :0E=是 ∴BE=是 在直角三角形ABE中，由勾股定理得：EF=AE=VAB2+BE=多V5, ∴四边形AECF的面积为： S△AEF+SACEF -70A.EF+70C.EF =2(0A+0O)·EF =2Ac~EF=2×5x5 9分 (3)解：DF的长为号V5或V而 .理由如下： 12分 点G在矩形ABCD的对角线上时，分两种情况讨论： 如图，若点G在对角线BD上时，过点F作FM⊥BD于M,过点E作EN⊥BD于N, G E 在矩形ABCD中，AB=3,BC=4, ∴.AD=BC=4,CD=AB=3,∠BCD=90°， 由勾股定理得：BD=V32+4=5, 由(I)②得：BE=EG=是 :BN=GN=)BG(等腰三角形的三线合一)， 在R△BCD中，C0sLCBD=S-号 在R△BEN中，BN=BE:cosCBD=号， ∴GN=gBG=号，EN=VBE-BN=品， 由旋转的性质得：FG=AB=3,∠EGF=∠ABE=90°， ∴.∠NGE+∠FGM=90°， ,FM⊥BD,EN⊥BD, ∴.∠ENG=∠GMF=90°， ∴.∠NGE+∠GEN=90°， ∴.∠FGM=∠GEN, 在△FGM和△GEN中， (LFGM=∠GEN l∠GMF=∠ENG=90' ∴.△FGM∽△GEN, FM GM FG GN=EN=GE ..GM=FG-EN GE GE DM=BD-BG-GM=5-号-号=专 由勾股定理得：DF=VFM+DM=专而： 如图，若点G在对角线AC上时，过点D作DH⊥AC于H. D H E ,AE平分∠BAC, ∴点E到AC的距离等于BE的长度， 由旋转的性质得：BE=GE,GF=AB=3,∠EGF=∠ABC=90°， ∴.GE⊥AC, ∠AGE=90°， ∴.∠AGE+∠EGF=180°， ∴点A,G,C,F在同一条直线上， 在Rt△ABE和Rt△AGE中， (AE=AE BE =GE .Rt△ABE≌Rt△AGE(HL), ..AG=AB=3, .AF=AG+GF=6, 在矩形ABCD中，AB=3,BC=4, ∴.AD=BC=4,CD=AB=3,∠ADC=90°， 由勾股定理得：AC=√32+4=5， SAACD=TAD CD=TAC.DH. DH=402=号 AC 由勾股定理得：AH=VAD-D严=5 HF=AF-AH=6-总=号 由勾股定理得：DF=VHF2+D严=V85: 综上所述，DF的长为号V5欧V而，