精品解析：2025年广东省深圳市宝安中学中考数学三模试卷

2025年广东省深圳市宝安中学中考数学三模试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“中国七巧板”、“刘徽的割圆术”、“中国的青朱出入图”、“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C. 不是中心对称图形，故此选项不合题意； D. 是中心对称图形，故此选项符合题意； 故答案为：D． 2. 实数与在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置比较大小，即可求解． 【详解】解：根据数轴得，， ，， ，， 故选：D 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，完全平方公式，积的乘方，单项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则． 根据整式的运算法则，对选项进行分析即可． 【详解】解：∵， ∴选项不符合题意， ∵， ∴选项不符合题意， ∵， ∴选项不符合题意， ∵， ∴选项符合题意， 故选：． 4. 二十八星宿，是中国古代天文学家为观测日、月、五星运行而划分的二十八个星区，由东方青龙（角、亢、氐、房、心、尾、箕）、南方朱雀（斗、牛、女、虚、危、室、壁）、西方白虎（奎、娄、胃、昴、毕、参）、北方玄武（井、鬼、柳、星、张、翼、轸）各七宿组成．若从二十八个星宿中选择一个星宿，则选择的星宿在东方的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 根据题意，二十八星宿分为四个方位，每个方位各有七个星宿，根据概率公式计算即可． 【详解】解：总共有28个星宿，其中东方青龙有7个星宿， 选择的星宿在东方的概率为， 故选：D． 5. 将一块直角三角尺按如图方式放置，，两点分别落在直线上，若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由题意得到，根据平行线的性质得到，即可得到答案． 【详解】解：，， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义得到，得到，证明，计算即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， 平分， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，二实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，二实一十斗”，其意思为：“今有上禾7束，减去其中之实1斗，加下禾2束，则得实10斗．下禾8束，加实1斗和上禾2束，则得实10斗，问上禾、下禾1束各得实多少？”解：设上禾1束得实为x斗，下禾1束得实为y斗，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设上禾1束得“实”斗，下禾1束得“实”斗，根据题意列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设上禾1束得“实”x斗，下禾1束得“实”y斗， 根据题意得， 故答案B． 8. “十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．深圳交警在某次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为84米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为α；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为β．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（ ）米/秒 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-俯角仰角问题，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 作，根据解直角三角形求出，，继而得到，计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作， ， ，， ，， 米， ，， ， 小车过山洞的平均速度为米/秒， 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一元二次方程的一个解为，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是由一元二次方程的解求参数，解题关键是熟练掌握由一元二次方程的解求参数． 将一元二次方程的解代入后即可求出的值． 【详解】解：一元二次方程的一个解为， ， 解得． 故答案为：． 10. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形的面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的实际应用，求出大正方形的边长，小正方形的边长，根据正方形的边长介于大正方形的边长和小正方形的边长之间，进行求解即可． 【详解】解：∵大正方形的面积为8，小正方形的面积为2， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长， 由图可知：， ∴正方形的边长可能是； 故答案为：（答案不唯一）． 11. 如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧，恰好交边于点E，若扇形的面积为，，则的长度为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形面积，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键，由根据题意并结合扇形面积公式可得，然后在等腰直角中，利用勾股定理求出的长，进而即可得到的长． 详解】解：由题可得：， ∵扇形的面积为，， ∴由扇形面积公式可得：， 解得：，即， ∵四边形为矩形， ∴， 在等腰直角中，， 由勾股定理可得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 12. 如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，根据菱形的性质，得到为等边三角形，均为含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，旋转求出的长，得到为含30度角的直角三角形，求出的长，再利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，如图： ∵菱形，， ∴， ∴等边三角形， ∴ ∴， ∵反比例函数经过其对角线的交点M，， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵将线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 13. 如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），连接，以点为顶点作的边交边于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．通过作辅助线，证明得出，通过角度关系证明，然后证明进而求解的值． 【详解】解：过F点作，交于点O， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 三、解答题（共7小题，其中14题5分，15题7分，16题8分，17题8分，18题9分，19题12分，20题12分，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数的混合运算，解题关键是注意运算的顺序． 先计算正切，负整数指数幂，零指数幂，算术平方根，再计算加减． 【详解】解：原式 ． 15. 先化简，再求值：，其中x满足方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分计算括号内，除法变乘法，进行约分化简，再根据，得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 16. 覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省雷州市的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取同样数量的个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 数据分组 组别 A B C D E 其中甲种芒果组共个数据，频数分布如下（单位：） 芒果长度 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 频数 3 7 6 2 5 5 8 4 3 7 解答下列问题． （1） ，补全图2中的频率分布直方图； （2）甲品种抽取的芒果的中位数为 ； （3）从乙品种芒果测量结果的B组数据中随机抽取8个数据，具体为：，，，，，，，．张明同学依此断定乙品种芒果B组测量数据的众数为16.8，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（1），频率分布直方图见解析； （2）； （3）他的说法不正确，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，频数分布直方图，中位数，众数，解题的关键是正确理解统计图． （1）由组数据个数及其所占百分比可得选取的甲种芒果的数量，即为乙种芒果的数量，减去乙品种、、、组的频数，即可得乙品种组频数，依此补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义计算即可； （3）根据众数的定义计算即可． 【小问1详解】 解：， 乙品种组频数为， 补全图2中的频率分布直方图如下： 故答案为：． 【小问2详解】 解：甲种芒果组频数为 甲种芒果组频数为 甲种芒果组频数为 甲种芒果组频数为 ∵ ∴甲品种抽取的芒果的中位数为组中第个数据和第个数据的平均值， ∴甲品种抽取的芒果的中位数为， 故答案为：． 【小问3详解】 解：他的说法不正确， 理由：乙品种芒果组测量数据共有个，而只是乙品种芒果测量结果的组数据中随机抽取的个数据中的众数，不能依此确定乙品种芒果组测量数据的众数． 答：他的说法不正确． 17. 随着deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者，购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现130万购买的甲中型号机器人和100万购买的乙种型号的机器人数量一样． （1）求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），则有几种购买方案，购买乙种智能机器人多少套，所花资金最少？ 【答案】（1）甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元 （2）有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是万元，利用数量=总价÷单价，结合130万购买的甲中型号机器人和100万购买的乙种型号的机器人数量一样，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即甲种型号的机器人的单价），再将其代入中，即可求出乙种型号的机器人的单价； （2）设购买乙种智能机器人m套，则购买甲种智能机器人套，利用总价=单价×数量，结合总价不低于114万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，结合m，均为正整数，可得出共有5种购买方案，设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，利用总价=单价×数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设甲种型号的机器人的单价是x万元，则乙种型号的机器人的单价是万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（万元）． 答：甲种型号的机器人的单价是13万元，乙种型号的机器人的单价是10万元； 【小问2详解】 解：设购买乙种智能机器人m套，则购买甲种智能机器人套， 根据题意得：， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为1，2，3，4，5， ∴有5种购买方案． 设购买甲、乙两种型号的机器人共花费w万元，则， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最小值． 答：有5种购买方案，购买乙种智能机器人5套，所花资金最少． 18. 如图，点在外，连接并延长，与交于点、，点在上，连接，过点作的切线，交于点，______． （1）在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； （2）在完成（1）的补充条件后，解答下列问题： ①求证：与相切； ②若，，求的半径． 【答案】（1）①或②或③ （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）选择①：证明，则，由圆周角定理得到，而，那么，则，故，即可证明；选择②：同选择①证明；选择③：由，得到，由切线的性质得到，则，而，故，那么，即可证明； （2）①证明分析见（1）；②连接，证明 ，则，故，可得，则，再解即可． 【小问1详解】 解：选择①：如图， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 选择②：如图， 证明： ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 选择③：如图， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与相切； 【小问2详解】 解：①，证明见第一问； ②连接，如图： 由上可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算等知识点，解题的关键在于正确添加辅助线． 19. 如图，以点，为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点，分别为“正抛线”的左、右端点，点为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． （1）已知高为的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； （2）已知抛物线上的“正抛线”以原点为左端点，求； （3）如图，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．若所有大“正抛线”的，求小“正抛线”的高． 【答案】（1）该“正抛线”所在抛物线的表达式为或； （2）； （3）小“正抛线”的高为． 【解析】 【分析】（1）由题意得左端点，，右端点，，则或，根据顶点设抛物线解析式为或，再将点的坐标代入求出的值即可得“正抛线”所在抛物线的表达式； （2）由题意得抛物线开口向下，抛物线的顶点在第一象限，右端点在轴的正半轴，此时抛物线对称轴为，推得后代入抛物线解析式即可得的值； （3）设抛物线的左端点为，右端点为，垂足点为，顶点为，小抛物线的左端点为，右端点为，垂足点为，顶点为，设左端点，右端点，，垂足点，顶点，根据顶点设抛物线解析式，将带入后求出，再设小“正抛线”的高为，得出点坐标后，代入大“正抛线”解析式即可求出． 【小问1详解】 解：根据题意得：左端点，， 右端点， 由抛物线的对称性可得，则或， 设该“正抛线”所在抛物线的表达式为或， 将代入可得或， 该“正抛线”所在抛物线的表达式为或， 即该“正抛线”所在抛物线的表达式为或； 【小问2详解】 解：抛物线上的“正抛线”以原点为左端点， 即， 抛物线开口向下，抛物线的顶点在第一象限，右端点在轴的正半轴， 此时抛物线对称轴为， 右端点的坐标为，垂足，， ， 将其代入抛物线解析式可得：， ， 或（舍去）， 即； 【小问3详解】 解：设抛物线的左端点为，右端点为，垂足点为，顶点为， 小抛物线的左端点为，右端点为，垂足点为，顶点为， 根据题意，设左端点，右端点， ，垂足点，顶点， ， 设抛物线解析式为， 把代入可得，， 解得或（舍去）， 抛物线解析式为，， 设小“正抛线”的高为，则， ， ， 点在抛物线上， ， 解得或（舍去）， 小“正抛线”的高为． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质、二次函数的对称性、待定系数法求二次函数解析式、一元二次方程与二次函数综合，解题关键是正确理解新定义和熟练掌握二次函数的图象与性质． 20. 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）互补四边形中，若，求的度数； （2）如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； （3）如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； （4）如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）周长不变，周长为； （4）的长为或． 【解析】 【分析】（1）由定义可得，设，，，解方程后即可求出的度数； （2）在上取，连接，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，再由等量代换、等边对等角得出，根据即可证四边形是互补四边形； （3）延长使，连接、，利用“边角边”证明，由全等三角形的性质得，，可证，再利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质得，即，证明后，结合全等三角形性质、含的直角三角形特征、勾股定理得到，即可得到周长； （4）分两种情况考虑：①四边形是平行四边形；②四边形是平行四边形，结合平行四边形性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、含的直角三角形特征、勾股定理即可求出的长． 【小问1详解】 解：依题意得：， 设，，， 即， 解得， ，，， ． 【小问2详解】 解：在上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又， ， 即对角互补，四边形是互补四边形． 【小问3详解】 解：周长不变，证明如下： 延长使，连接、， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 故周长不变，周长为． 【小问4详解】 解：分两种情况： ①如下图所示，四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 同（3）得，， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 设， 作于点，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ，， ； ②如下图所示，四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形， ，， 作交于点，交于点， 设，则， 菱形的面积， 解得或（舍去）， ， ， ， 则中，，，， ，， ， 同①得：， ， 是的外角， ， ， ． 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的实际应用、全等三角形的判定与性质、等边对等角、含的直角三角形特征、勾股定理、平行四边形性质、菱形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年广东省深圳市宝安中学中考数学三模试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响．下列图形“中国七巧板”、“刘徽的割圆术”、“中国的青朱出入图”、“赵爽弦图”中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 实数与在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二十八星宿，是中国古代天文学家为观测日、月、五星运行而划分的二十八个星区，由东方青龙（角、亢、氐、房、心、尾、箕）、南方朱雀（斗、牛、女、虚、危、室、壁）、西方白虎（奎、娄、胃、昴、毕、参）、北方玄武（井、鬼、柳、星、张、翼、轸）各七宿组成．若从二十八个星宿中选择一个星宿，则选择的星宿在东方的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 将一块直角三角尺按如图方式放置，，两点分别落在直线上，若，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知，，，的角平分线交于点，交的延长线于点，若，则的长为（ ） A. 5 B. 7 C. D. 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，二实一十斗．下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，二实一十斗”，其意思为：“今有上禾7束，减去其中之实1斗，加下禾2束，则得实10斗．下禾8束，加实1斗和上禾2束，则得实10斗，问上禾、下禾1束各得实多少？”解：设上禾1束得实为x斗，下禾1束得实为y斗，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. “十次事故九次快，超速行驶害三代！”，安全行驶警钟长鸣．深圳交警在某次交通检查中，使用无人机检测小车经过某隧道的平均速度．无人机悬停在隧道的正上方，高度为84米（保持静止）．当汽车刚进入山洞时，无人机测得俯角为α；当汽车完全离开山洞时，无人机测得俯角为β．若汽车通过山洞的时间为12秒，则小车过山洞的平均速度为（ ）米/秒 A. B. C D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一元二次方程一个解为，则_______． 10. 大、中、小三个正方形摆放如图所示，若大正方形面积为8，小正方形的面积为2，则正方形的边长可能是_______． 11. 如图，在矩形中，以点A为圆心，以长为半径画弧，恰好交边于点E，若扇形的面积为，，则的长度为_______． 12. 如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为_______． 13. 如图，在中，，点在边的延长线上，点在边上（不与点重合），连接，以点为顶点作的边交边于点，若，则______． 三、解答题（共7小题，其中14题5分，15题7分，16题8分，17题8分，18题9分，19题12分，20题12分，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，其中x满足方程：． 16. 覃斗芒果是广东省的特产，因主产于广东省雷州市的覃斗镇而得名，为中国国家地理标志认证产品．为了更好地发展芒果种植，某地区积极投入资金和技术大力推广种植甲、乙两个特色品种芒果．通过一段时间的调查研究，对相同面积种植下的两个品种随机分别选取同样数量的个芒果（特殊果实样本除外）对其长度进行测量和分析，芒果长度用（单位：）表示，将测量统计的数据进行整理，并绘制形成了甲品种扇形统计图和乙品种频数分布直方图． 数据分组 组别 A B C D E 其中甲种芒果组共个数据，频数分布如下（单位：） 芒果长度 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 179 频数 3 7 6 2 5 5 8 4 3 7 解答下列问题． （1） ，补全图2中的频率分布直方图； （2）甲品种抽取的芒果的中位数为 ； （3）从乙品种芒果测量结果的B组数据中随机抽取8个数据，具体为：，，，，，，，．张明同学依此断定乙品种芒果B组测量数据的众数为16.8，请你判断一下他的说法是否正确，并说明理由． 17. 随着deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便的服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者，购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的单价比乙种型号的机器人多3万元，经过调研发现130万购买的甲中型号机器人和100万购买的乙种型号的机器人数量一样． （1）求甲乙两种型号的机器人的单价是多少万元？ （2）图书馆经过统筹安排，准备用不低于114万的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），则有几种购买方案，购买乙种智能机器人多少套，所花资金最少？ 18. 如图，点在外，连接并延长，与交于点、，点在上，连接，过点作的切线，交于点，______． （1）在①；②；③这三个条件中，选择一个合适的条件，补充在上述题干中的横线上（只要写序号）； （2）在完成（1）补充条件后，解答下列问题： ①求证：与相切； ②若，，求的半径． 19. 如图，以点，为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点，分别为“正抛线”的左、右端点，点为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． （1）已知高为的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； （2）已知抛物线上的“正抛线”以原点为左端点，求； （3）如图，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．若所有大“正抛线”的，求小“正抛线”的高． 20. 定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． （1）互补四边形中，若，求的度数； （2）如图，在四边形中，平分，，．求证：四边形是互补四边形； （3）如图，互补四边形中，，，点，分别是边，的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由； （4）如图，互补四边形中，，，，将纸片先沿直线对折，再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有一个是面积为的平行四边形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$