2026年广东省深圳市南山区教育科学研究院附属学校教育集团南头城学校 中考数学第三次学情自测试卷

2025-2026学年度第二学期九年级第三次模拟考试 数学试卷 (总分：100分考试时长：90分钟) 一.选择题（每小题3分，共8小题，共24分） 1.下列图形中，为轴对称的图形的是() B D 2.下列互为倒数的是( A.3和 B.-2和2 C.3和- D.2码 3.深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000 这个数用科学记数法表示为() A.0.32×106 B.3.2×105 C.3.2×109 D.32×108 4.下列运算正确的是() A.a3.a2=a6 B.4ab-ab=4 C.(a+1)2=a2+1D.(-a3)2=a6 5.如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA,∠CBO=122°， ∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为() A.22° B.32° C.35 D.122° 6.如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，请通过尺规作图的痕迹判断，下列选项错误的是() A.BD=AD B.∠DAE=∠CAEC.∠DAE=15° D.AD平分∠BAC 7.某社区植树60棵，实际种植人数是原计划人数的2倍，实际平均每人种植棵数比原计划少了3 棵.若设原计划人数为x人，则下列方程正确的是() A.0-93 B.60_60-3 C.60=2x60 +3 D.60-2x60g 8.如图已知斜坡AB长60v2米，坡角（即∠BAC)为45°，BC⊥AC,现计划在斜坡中点D处挖 去部分斜坡，修建一个平行于水平线CA的休闲平台DE和一条新的斜坡BE.若修建的斜坡BE 的坡度为3：1，休闲平台DE的长是()米. A.20 B.15 C.10v2 D.20V2 D E 45 第5题图 第6题图 第8题图 九年级数学第1页共6页 二，填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 9.若x=1是关于x的一元一次方程2x+a=3的解，则a的值为 10.如图，将无人机沿着x轴向右平移3个单位，若无人机上一点P的坐标为(1,2)，则平移后 对应点P'的坐标为 y D B 2 y 0 B C 0 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，小明在矩形ABCD中裁剪出扇形EOF,=V2,O为BC中点，OE=AB=4,则扇 形EOF的面积为 12.如图，已知直角三角形ABO中，AO=1,将△ABO绕O点旋转至△A'BO的位置，且A在OB D 中点，B在反比例函数y=-图象上，则k的值为 13.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O, ∠ABC=∠D4C=90°，an∠ACB=一-，则 tan∠ACD的值为 B 三.解答题（共7小题，共61分） 第13题图 14.(5分)计算：(1+π)0+2-|-3+2sin45°. 15.(7分)先化简，再求值：（片+D◆中x=3. 九年级数学第2页共6页 16.(8分)为进一步提升学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛，现从全校八、九年级学生 中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制），对竞赛成绩进行统计分析，形成如下报告： 主题项目 校园安全知识竞赛成绩分析报告 数据收集 八年级学生成绩 九年级学生成绩 80,80,100,90,80, 90,90,100,80,80, 70,70,80,70,90, 60,70,80,60,100, 70,80,100,90,60, 60,70,90,80,90, 80,90,80,90,90 90,90,70,100,90 数据整理与分析 八年级学生成绩条形统计图 九年级学生成绩扇形统计图 人数 6 60分 6 70分 15% 100分 5 15% 15% 4 80分 90分 m% 35% 607080 90100分数 八、九年级学生成绩分析表 统计量 平均数 中位数 众数 年级 八年级 82 80 80 九年级 82 90 任务1 ①补全条形统计图： ②求“扇形统计图”中80分所在扇形圆心角的度数； ③直接写出成绩分析表中，九年级学生成绩的中位数n 任务2 该校九年级学生共1200人，请估计成绩不低于80分的人数： 任务3 根据上述统计数据，你认为哪个年级的成绩更好？请说明理由 根据所给信息，请完成以上所有任务 九年级数学第3页共6页 17.(8分)请你根据下列素材，完成有关任务 背景 某校计划到某体育用品商店购买篮球、足球和气排球，供更多学生参加 体育锻炼，增强身体素质· 素材一 买一个气排球30元，买2个篮球和一个足球价钱为190元，购买1个 篮球的价格比购买一个足球多花费20元 素材二 该校要购买篮球，足球，气排球共40个，且气排球的个数是篮球个数 的2倍 素材三 根据学生兴趣需要，篮球不多于12个，总花费不超过1800元 请完成下列任务： 任务 求出篮球和足球的单价 任务二 求购买篮球，足球，排球共花费n(元)购买篮球m(个)的函数关系 式 任务三 制定花费最少的购买方案 18.(9分)如图，A,B,C,D是⊙O上的四点，AC是直径，AB=BD,延长DC到点E,使得 BE⊥DE, (1)线段BE和AD的数量关系为 (2)求证：BE为⊙O的切线 (3)若AB=5vV6,BE=5,求⊙O的半径. 第18题图 九年级数学第4页共6页 19.(12分)中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子 单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌.在 精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C(向后翻腾三周半抱膝).如图2所示， 建立平面直角坐标系xOy.如果她从点A(3,10)起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分， 从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)近似满足函数 关系式y=a(x-h)2+k(a<0). 垂直高度y/m 0 水平距离x/m 图1 图2 (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 x/m 竖直高度 10 10 10 6.25 ylm 根据上述数据，直接写出k的值为 直接写出满足的函数关系 式： (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足以下的函数关系为 y=-5x2+40x-68,记她训练的入水点的水平距离为d1,比赛当天入水点的水平距离为d2,请通 过计算比较d1与d2的大小： (3)在(2)的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c,则 她到水面的距离y与时间t之间近似满足y=-5tP+℃，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的 时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 九年级数学第5页共6页 20.(12分)【定义】：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三 角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“半隅三角形”. 【初步感知】(1)如图1，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，若△BEF是直角三 角形，∠BEF=90°，即△BEF是矩形ABCD的半隅三角形.若BC=8,求AB的长 (小轩同学由题目中所给三个“垂直”的条件，发现△ABE∽△DEF,从而轻松解决了这个问题； 小君同学提出了不同的解决方法，她由题目中所给“中点”这个条件联想到“倍长中线”解决 了这个问题，请你参考这两个同学的方法解决这个问题.) 【深入探究】(2)如图2，△CEF是口ABCD的半隅三角形，∠CFE=90°，对角线AC交EF于 点G.若=3，FG=3,求CD的长. 【拓展延有】(3)如图3，在R1△A8C中，∠B4C=90”，一=分 以△ABC为半隅三角形的平 行四边形的一组邻边记为a,b(a>b),求-的值. E A D E G B 图1 图2 A D A D B E 图3 备用图 九年级数学第6页共6页2026年5月九年级三模数学参考答案及评分标准 选择题（每小题3分，共8小题，共24分） 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 0 A B 0 B D A A 二.填空题（每小题3分，共5小题，共15分） 9.1 10.(4,2) 11.4π 12.3. 1s日 三.解答题（共7小题，共61分） 14.解：(1+π)0+2-|-3+2sin45° =142-3+2x号 ·····3分（每算对1个给1分） =0+V2 =√2 …5分 15.解：原式=1+x-1, x-1)2 x-1(x+1)(x-1) …2分 六甜 …4分 …5分 当=3时，原式=写异景 3 ………7分 16.解：任务一：①由数据收集得到八年级80分的有7人， 故补全条形统计图，如图所示： 第1页（共8页） 八年级学生成绩条形统计图 人数 8 7--- 6 51 4----- 3 060708090100分数 …2分 ②(1-15%-15%-15%-35%)×360°=72°； “80分”所在扇形的圆心角的度数为72°； ·…·3分 ③将九年级学生成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数为80,90， 则中位数为n=80+90=85: 2 …4分 任务二：九年级学生成绩不低于80分的人数为：1200×(1-15%-15%)=840（人）： ……6分 任务三：我认为九年级成绩更好 …7分 理由：由分析表可知两个年级的平均数相同，九年级的中位数和众数高于八年级，所以九年级的成绩更 好. ……8分 17.解：(1)设一个篮球价格为x元，一个足球价格为y元， 依思意和化y00, ·…………………2分 解得配=8。 …3分 答：篮球和足球的单价分别为70元和50元. ·………·4分 (2)由题意可得：气排球个数是2个，足球个数是40-m-2m=(40-3m)个， 依题意得：n=70m+30×2+50(40-3) =70m+60+2000-150m2 =-20m+2000 ……6分 (3)自秦材三得巴51子200S1800 解得10≤m≤12， 第2页（共8页） .n=-20m+2000,-20<0, ∴.n随m的增大而减小， .当m=12时，n最小，此时2=24,40-3=4， 花费最少的购买方案为篮球12个，足球4个，气排球24个.…8分 18.(1)2BE=AD(或其它符合得等量关系)··············2分 (2)证明：连接BO并延长交AD于H点，如图， .AB=BD,OA-OD, ∴.BO垂直平分AD, ∴.∠BHD=90°， …3分 ,BE⊥DE B .∠E=909 ,AC为⊙O的直径， 10 .∠ADC=90°， D 四边形B驱DH为矩形，·5分 .∠OBE=909 ,OB是半径 ∴BE为⊙O的切线 ………6分 (3)解：，BO垂直平分AD, ∴AH=DH=2AD, ,四边形BEDH为矩形， .'.DH=BE=5, 在Rt△BDH中，，BD=AB=5V6,DH=5, BH=J562-52=5V5, …7分 设⊙O的半径为r,则OH=5V5-r,OD=r, 在Rt△ODH中，(5V5-r)2+52=r2, 解得=3v5, 第3页（共8页） 即⊙0的半径为35.…………9分 19, (1)11.25: ………1分 y=-5(x-3.5)2+11.25, ·………………。·4分 (2)对于y=-5(x-3.5)2+11.25, 当y=0时，0=-5(x-3.5)2+11.25, 解得：x1=5,x2=2(不合题意，舍去)， d=5米， …6分 对于y=-5x2+40x-68, 当y=0时，-5x2+40x-68=0, 解得：=4+2匹0-4-2—（不合题燕，合去。 5 …d2=4+2压 5 …8分 :4+2西>5 ..d<d; …9分 (3)y=-5x2+40x-68=-5(x-4)2+12, .点B坐标为(4,12)， .c=12, …10分 y=-5t+12, 当t=1.6时，y=-5×1.62+12=-0.8, …11分 -0.8<0 即她在水面上无法完成此动作， ···…··……·12分 ∴.如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，则她当天的比赛不能成 功完成此动作. 20.解：(1)设AB=x, ,四边形ABCD为矩形， AB=CD,∠A=∠D=90°， 第4页（共8页） ,E、F分别是AD、DC的中点， ∴AB=DB=4,Dn=, ,△BEF是矩形ABCD的半隅三角形， .∠BEF=90°， .∠AEB+∠DEF=90°， ,∠AEB+∠ABE=90°， ∴∠ABE=∠DEF, ∴.△ABE∽△DEF, AB DE AE DF .x>0, .x=4v2 AB的长为4v2: …4分（倍长中线方法一样） (2)延长EF,FE,分别交CB的延长线于点MCD的延长线于点N,如图， A F E D G M B C .四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD,AD∥BC, ∴.∠AFE=∠M, ,△CEF是□ABCD的半隅三角形，∠CFE=90°， ∴AE=EB,AF=FD, 在△AEF和△BEM中， (LAFE=∠M ∠AEF=∠BEM, AE-BE .∴.△AEF≌△BEM(AAS) ∴AF=BM,FE=ME, .BM-AF-FD-TAD-BC. 1 第5页（共8页） ∴A=3cM 同理：B=N,AB=CN .FE=FN=EM, .AD∥BC, GC .AG=V3,FG=3, ∴.CG=3v3,MG=9, ∴.FM=FG+GM=12, .∴.FE=FN=EM=6, ,∠CFE=90°， ∴.CP=cc2-FG=J3③)2-32=3V2, ..CN=VCF2+FN2=18+62=3v6, ∴CD=3CwN=2V6. ……8分 (3)①如图3，过点C作CG⊥AD于点G,过点B作BH⊥DF,交DF的延长线于点H,如图， H AG D B 图3 ,△ABC是☐CDFE的半隅三角形，∠BAC=90°， .BE-BF-TEF-CD-AF-AD-3DF-EC-Ta. ,EF∥CD, .∠BFH=∠D, .,∠BHF=∠CGD=90°， .△BHF∽△CGD, BH HF BF1 CG-GD-CD-2 ∴.设BH=x,HF=y,则CG=2x,GD=2y, ,∠BAC=90°， 第6页（共8页） ∴.∠GAC+∠BAH=90°， :∠GAC+∠ACG=90°， ∴.∠BAH=∠ACG, ,∠BHA=∠CGA=90°， .△BHA∽△AGC, BH HA AB AG CG AC =2, AG-BH-x,HA-2CG-4x, :.AF=HA-HF=4x-y:AD=AG+GD=x+2y, AF=AD, 1 .4-y-2+2y: 6 x=, ∴a=D-4,b=CD=VcG+GD-2两， 7, 34 V85 b-285 …10分 5 ②如图4，过点C作CG⊥AD于点G,过点B作BH⊥DF,交FD的延长线于点H,如图， G y D H E B 图4 ,△ABC是☐CDFE的半隅三角形，∠BAC=90°， ∴CB=CF=3EF=2BD=2动，AP=AD=DF-28B=2, ,EF∥CD, ∴.∠F=∠HDB, ,∠CGF=∠BHD=90°， ∴.△CGF∽△BHD, 器胎品 .设CG=x,GF=y,则BH=2x,HD=2y, 第7页（共8页） ,∠BAC=90°， ∴∠GAC+∠BAH=90°， ,∠GAC+∠ACG=90°， .∠BAH=∠ACG, .∠BHA=∠CGA=90°， .△BHA△AGC, BH HA AB AG-CG-AC ∴AG=38H=x,A=2CG=2x, ..AF=AG+GF=xty,AD=AH-HD=2x-2y, .AF=AD, .x+y=2x-2y, .x=3y, ..a=FD=8y,b=BD=VDH2 BH2 =2v10v 2=,8y=2N10 5 …12分 V85.210 综上，的值为g或29 第8页（共8页）