山东德州市2025-2026学年高三下学期5月模拟数学试题

高三数学模拟题参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．A 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．D 8．B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．AB 10．ABD 11．ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．2 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）由可知 等式左右同时除以， 可得，2分 即，3分 则数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以，5分 则数列的通项公式．7分 （2）10分 则数列的前项和为．13分 16．解：（1）由题知，各组中点值分别为：325，375，425，475，525，575．1分 ，3分 根据要求，，4分 由题知， 所以，，，，5分 因此 ．7分 （2）已知月度餐费，总学生人数为10000人． 方案一：每人补助100元，总补助为万元；8分 方案二：按月度餐费区间赠送不同金额，设每位学生获得钱数为，则，，，9分 ，10分 ，11分 ，12分 元，13分 所以方案二的总补助为万元， 因为129.519万元-100万元=29.519万元 且，14分 所以方案二比方案一支出高29．519个百分点，小于50个百分点，学校能顺利实施方案二．15分 17．（1）方法一：，， 则 即．3分 又， 所以平面 又平面 所以平面⊥平面．6分 方法二：设 在与中， 因为，，， 所以 则 因为 所以 则在中， 即⊥．3分 又， 所以平面 又平面 所以平面⊥平面．6分 （2）因为平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面 在中，因为，分别是，的中点 所以 则平面 因为，是的中点 所以是等腰三角形，且==1，7分 分别以，，方向作轴、轴、轴正方向，建立如图空间直角坐标系． ，，，，，8分 因为平面，平面 所以，又， 则平面 又 所以是平面的一个法向量．9分 设是平面的一个法向量， ，10分 所以，令，则，，则．12分 设平面与平面的夹角为． 则，14分 所以平面与平面的夹角的余弦值为．15分 18．解：（1）因为圆的一条直径与抛物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边， 而抛物线的通径与轴垂直， 所以圆的这条直径与轴垂直，1分 且圆的直径的右端点就是抛物线通径的下端点， 因为圆的圆心为，半径为， 所以该圆与轴垂直的直径的右端点为，2分 即抛物线经过点，则，即， 故抛物线方程．3分 （利用通径长等于圆的直径得出，相应得分） （2）设，， 由题意知，，显然直线的斜率不为， 设直线的方程为．5分 所以，， 由，得， 所以，．，6分 ，7分 ， 所以．8分 （利用抛物线定义，几何法证出，相应得分） （3）过点斜率为的直线， 由得， 可得，9分 设，由得， 即，解得， 所以．10分 所以直线方程为， 解方程组，得，结合 所以，13分 直线：， 整理得， 因此直线过定点．15分 又，所以， 所以点到直线的最大距离为．17分 9．解：（1）由，则，，1分 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，2分 所以，无极小值，4分 （2），此时， 法一：分离参数法，从而，6分 令，则， 所以；， 所以在单调递减，在单调递增，8分 因此，故的取值范围为；9分 法二：必要性探路，， 令，，6分 下证：，时，恒成立， 由一次函数在上递减， 则，8分 在和上恒成立，且时， 所以恒成立，故的取值范围为；9分 （3）在区间上有3个零点，理由如下： 由于，所以是函数的一个零点，10分 ， ①当时，此时恒成立，又恒成立， 从而恒成立，所以在区间上没有零点；12分 ②当时，此时，， ， 由于恒成立，所以，即在上单调递减， 从而存在使得， 即在区间上递增，区间上递减，从而， 又，所以在有唯一零点， 即在上有唯一零点，14分 ③当时，此时，，所以 从而， 由于，，，所以， ， 又，从而在上恒成立， 所以在区间上单调递减， 因为，， 因此在区间上有唯一零点，16分 综上所述，函数在区间上有3个零点．17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1—2页，第II卷3—4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第I卷 选择题（共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集，集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则的虚部为 A． B． C． D． 3．已知点是所在平面内一点，且，记，，则 A． B． C． D． 4．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，三角形面积为，则的周长为 A． B． C． D． 5．若（，为有理数），则 A． B． C． D． 6．圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，剩下几何体的表面积是 A． B． C． D． 7．设为坐标原点，，为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，，则 A． B． C． D． 8．对于正整数，函数定义如下：对于实数，使得方程有四个不同实数解的所有正整数的和为 A．26 B．27 C．28 D．29 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的图象关于点对称，则 A． B．在上单调递减 C．在区间上的最小值为 D．若，，则 10．数学有8道单选题，若某学生5道题完全掌握，2道题有思路，1道题没有思路．完全掌握的题目能选出正确答案；有思路的题目，每道做对的概率为；没有思路的题目，猜对的概率为，则 A．答对8道题的概率为 B．至少答对7道题的概率为 C．答对题目个数的数学期望为 D．随机选一道题作答且做对，则该题是有思路的概率为 11．在直四棱柱中，底面为菱形，，，侧棱，为底面对角线的交点，点是侧面内的动点（含边界），且满足平面，则 A．动点的轨迹是一条线段，且长度为 B．过，，三点的平面截该直四棱柱所得截面可能为平行四边形 C．直线与平面所成角的正切值的取值范围为 D．三棱柱的外接球球心与动点距离的最小值为 第II卷非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线与直线垂直，则__________． 13．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为__________． 14．设，，，函数，从有序实数对中随机抽取一个，则函数恰有三个零点的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16．（本小题满分15分） 某学校为了解本校学生的就餐情况，月末对学生的月度餐费进行了统计与分析，并从中随机抽查了200名学生当月的食堂就餐费用，将他们的餐费分成以下6组：，，，，统计结果如下表所示． 组别 频数 20 30 50 60 20 20 已知学生的月度餐费（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本标准差，并已求得．且该校现有在读学生1万人．（，近似替代时按四舍五入保留到整数位） （1）试估计该校学生月度餐费在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （2）该校拟实施“爱心餐补”为梦想护航，计划免费赠送给在餐厅就餐的学生若干就餐补助，具体赠送方案如下： 方案1：每人每月人均赠送100元就餐补助； 方案2：月度餐费不高于378元的学生每月赠送220元的餐补，月度餐费在（378，内的学生每月赠送120元的餐补，月度餐费高于518元的学生每月赠送80元的餐补． 如果方案二比方案一支出不高于50个百分点，学校将会选择更科学有效的方案二，问：学校能顺利实施方案二吗？ 参考数据：， 17．（本小题满分15分） 如图，四棱锥中，底面满足，，，，分别是，的中点，且，． （1）证明：平面平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 18．（本小题满分17分） 已知圆的一条直径与抛物线的通径（过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦）恰好构成一个正方形的一组邻边． （1）求抛物线的标准方程； （2）抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，过，分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为、，证明：； （3）点在上，过且斜率为2的直线与直线交于点，且．设直线与的另一个交点为，焦点到直线的距离是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，请说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知函数． （1）求的极值； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）当时，讨论在区间上零点的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $