精品解析：山东省德州市2025届高三下学期三模数学试题

高三数学试题 2025.5 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1－2页，第Ⅱ卷2－4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的性质，以及不等式的解集，求得和，结合集合交集的概念与运算，即可求解. 【详解】由，则满足，可得，所以， 又由不等式，解得，所以， 则. 故选：A. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算求得，然后利用共轭复数的概念及乘方运算求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用差角的正弦公式化简求出，再利用二倍角公式及齐次式法求解. 【详解】由得，， 整理得，即， 所以. 故选：D 4. 平面向量满足，且，则向量的夹角为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积公式及运算律计算求解. 【详解】平面向量满足，且， 所以，即得，， 设向量的夹角为，则， 则向量的夹角为. 故选：B. 5. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A. 2 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到、的方程组并求解，再由等差数列通项公式计算可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 所以. 故选：C 6. 已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设顶点在底面的射影点为，延长交于点，则为的中点，连接，根据题意求出、的长，可求出的长，再利用锥体的体积公式可求得该正三棱锥的体积. 【详解】如图，在正三棱锥中，设顶点在底面的射影点为，则为正的中心， 延长交于点，则为的中点，连接， 因为正的边长为，为的中点，则， 因为，则， 则， ， 由题意可知，正三棱锥的侧面积为，则， 即，即，故， 因为为正的中心，则， 因为平面，平面，则， 所以， 因此，该三棱锥的体积为. 故选：D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，根据双曲线的定义以及渐近线的斜率计算，结合同角三角函数的关系式以及余弦定理，建立齐次方程，利用离心率的定义，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 易知， ，则， 在中，，， 整理可得，解得，所以. 故选：B. 8. 已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，把转化成，再结合函数的奇偶性，把不等式转化成，再结合的单调性，得到，分离参数，根据二次函数的性质，可求实数的取值范围. 【详解】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为，画出频率分布直方图，已知随机抽取的成绩不低于80分的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ） A. 学生成绩众数估计为75分 B. 学生成绩的平均数大于中位数 C. 此次成绩在的学生人数为120人 D. 学生成绩的第45百分位数为70 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图估计出众数可判断A，求出平均数与中位数可判断B；由题中条件求出学生总人数，计算成绩在的频率及学生人数可判断C；计算第45百分位数可判断D. 【详解】由频率分布直方图得，成绩在的频率最高， 所以学生成绩众数估计为分，故A正确； 学生成绩的平均数为， ∵， ， ∴学生成绩的中位数在内，设中位数为， 由，得到， ∵，∴学生成绩的平均数小于中位数，故B错误； ∵成绩不低于80分的频率为， 又随机抽取的成绩不低于80分的有300人，∴学生总人数为， ∵成绩在的频率为， ∴此次成绩在的学生人数为人，故C正确； ∵， ∴学生成绩的第45百分位数为70，故D正确， 故选：ACD. 10. 在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，且，点，，分别为棱的中点，则（ ） A. B. 异面直线和所成的角为 C. 平面与平面所成角的正弦值为 D. 过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形为五边形 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，利用空间向量的系列公式计算即可判断A，B，C；对于D，作出截面即得. 【详解】 如图，因平面，底面是边长为1的正方形， 故可以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 对于A，， 则，因， 则，即A正确； 对于B，因点是的中点，故且， 则，设和所成的角为， 则， 因，故，故B错误； 对于C， 由于平面，平面的法向量可取为， 点为棱的中点，则，，。 设平面法向量，则，则，解得 设直线与平面所成角为，则，则，故C正确； 对于D，如图，延长与直线交于点，延长与直线交于点， 连接与交于点，连接与交于点，连接， 则平面截四棱锥的截面为五边形.即D正确. 故选：ACD. 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（ ） A. B. 若为上一点，则最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 存在直线，使得，两点关于对称 【答案】AC 【解析】 【分析】根据焦半径公式求得判断A，设，利用二次函数性质求得最小值为4，进而利用圆的性质求得最小值为判断B，求出直线的方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径判断C，设，与抛物线方程联立，利用韦达定理求出中点坐标，代入求出，与判断D. 【详解】因为当运动到点时，，所以，故A正确； 抛物线，其焦点， 圆的圆心，半径为， 设，则， 即最小值为4， 所以最小值为，故B错误； 若，由B选项可知，则， 故直线的方程为， 因为圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相切，故C正确； 假设存在直线使得，两点关于对称， 设， 由，消得到，即， 则，解得， 又，， 则，解得，与矛盾，不符合题意，故D错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知变量与线性相关，由样本点求得的回归直线方程为，若点在回归直线上，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，利用样本中心在回归直线上，得到，结合，即可求解. 【详解】由点在回归直线上，且，可得，解得， 所以回归直线方程为， 又由样本中心在回归直线上，可得， 所以. 故答案为：. 13. 已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合对称性可设，结合导数的几何义求得，即可得结果． 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称， 设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或(舍去)， 可得，代入可得，所以． 故答案为：． 14. 在数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为．如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列．若数列满足，则______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则______． 【答案】 ①. 27 ②. 【解析】 【分析】利用递推式求出的前四项，利用一阶差数列定义即可求解；结合二阶等比数列定义，运用等比数列通项公式、等比数列求和公式及累加法可求得结果. 【详解】因为，所以，所以； 设数列为原数列的一阶差数列，为原数列的二阶差数列. 则由题意可知. 又为等比数列，故公比，所以，即. 当时，， 将代入得，符合， 所以，.所以， 当时，， 将代入得，符合， 所以， 故答案：27；. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，求的边的最大值． 【答案】（1） （2）4． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用和角的正弦化简求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值. 【小问1详解】 由，得， 即，又，则， 于是，又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，由余弦定理，得， 而，则， 因此，解得， 当且仅当时取等号，则， 所以的边的最大值为4. 16. 随着信息技术的迅猛发展，智能化家居让人们的生活越来越幸福，智能门锁就是其中之一．智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6年的为优质品．现用，两种不同品牌的智能门锁做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以试验结果中各组的频率作为相应的概率． （1）现从大量的，两种品牌的智能门锁中各随机抽取2件产品，求其中至少有3件是优质品的概率； （2）通过多年统计发现，品牌智能门锁每件产品的利润（单位：元）与其使用时间（单位：年）的关系如下表： 使用时间（单位：年） 每件产品的利润（单位：元） －200 200 400 若从大量品牌智能门锁中随机抽取两件，其利润之和记为（单位：元），求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，360 【解析】 【分析】（1）先根据直方图得到抽取一件和一件型轮胎为优质品的概率，再根据互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式可得结果； （2）据题意知，的可能取值为-400，0，200，400，600，800.根据概率公式求出的各个取值的概率，再写出分布列，根据数学期望公式求出数学期望即可. 【小问1详解】 由直方图可知，从品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率， 从品牌智能门锁中随机抽取一件产品为优质品的概率， 所以从两种品牌智能门锁中各随机抽取2件产品，其中至少有3件是优质品的概率 ． 【小问2详解】 由题意外，的可能取值为． 所以，， ，， ，， 那么的分布列为 －400 0 200 400 600 800 则数学期望 . 17. 建筑学中常用体形系数表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即，为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积），为建筑物所包围的体积．某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于，的点，且． （1）若，求圆台形建筑的高； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，证明线面垂直，从而得到轴截面的几何性质，根据所给边长，利用勾股定理求出圆台的高. （2）利用体形系数求出圆台的高，建立空间直角坐标系，利用向量方法求线面夹角的正弦值. 【小问1详解】 如图所示，连接，因为，所以， 由圆台的性质可知平面， 因为平面，所以， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为且，所以四边形为平行四边形， 又，所以平行四边形为菱形， 则，则，即. 【小问2详解】 由设圆台的高为，则母线长为， ， 故，解得， 如图所示，以所在的直线分别为，，轴，建立空同直角坐标系 如图所示，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令x=1，得平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点和（不同于，），证明：点在以为直径的圆外； （3）在（2）的条件下，求四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）6 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解方程组即可求得椭圆C的方程； （2）分别将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出两点坐标，由数量积可得为锐角，得出证明； （3）由（2）可写出四边形的面积为，再利用基本不等式以及函数单调性即可得出面积的最大值为6. 【小问1详解】 依题意，得，解得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由（1）知，显然点不在轴上， 设， 直线斜率分别， 直线的方程为的方程为， 由，消去得，显然， 于是，解得，则， 即点坐标为， 由，消去得，显然， 于是，解得，则， 即点坐标为， 因此， ， 则， 则有为锐角，所以点在以为直径的圆外． 【小问3详解】 由（2）知，， 则 不妨设，此时， 当且仅当时，等号成立， 易知函数在上单调递增，所以， 此时， 由对称性可知，当点的坐标为或时， 四边形面积最大，最大值为6． 19. 已知，且直线与曲线相切． （1）求； （2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若的最小值为，证明：方程有唯一的实数根．（其中是自然对数的底数）． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设切点，利用导数的几何意义列出方程组求解出函数； （2）将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，通过求导判断函数单调性进而求出最值.先对求导，根据导数单调性和零点存在定理找到零点，确定单调性得出最小值范围. （3）先对求导，根据导数单调性和零点存在定理找到零点，确定单调性得出最小值范围.接着要证有唯一解，转化为证有唯一解，设，同样求导，由导数单调性和零点存在定理找到零点.再通过函数单调性得出，最后算出最小值为，说明有唯一零点，即方程有唯一解. 【小问1详解】 设直线与曲线的切点为， ，所以． 所以即 【小问2详解】 由得 则在上恒成立． 所以 令 所以 法一：利用得出从而在上是增函数． 法二：，则是增函数． 所以 所以在上是增函数． 所以，所以． 【小问3详解】 因为 所以，即在上单调递增． 又 由零点存在定理，时，有，即 因此 所以在上递减，在上递增 所以 所以 要证方程有唯一的实数解，只要证方程有唯一的实数解． 设 则所以在上递增． 所以由零点存在定理，时，使，即 所以 又因为 设，则所以在上递增． 所以且，而在上递减，上递增． 所以 即函数有唯一零点，故方程有唯一实数解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 2025.5 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1－2页，第Ⅱ卷2－4页，共150分，测试时间120分钟． 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上． 第Ⅰ卷选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 2 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 平面向量满足，且，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等差数列的前项和，，则（ ） A 2 B. 8 C. 16 D. 32 6. 已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的倍，则此正三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且与渐近线平行的直线与相交于点（在第一象限），若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 某高中学校对一次高二联考物理成绩进行统计分析，记录了学生的分数，其中分组的区间为，画出频率分布直方图，已知随机抽取的成绩不低于80分的有300人，若从样本中随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是（ ） A. 学生成绩众数估计为75分 B. 学生成绩平均数大于中位数 C. 此次成绩在的学生人数为120人 D. 学生成绩的第45百分位数为70 10. 在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，平面，且，点，，分别为棱的中点，则（ ） A. B. 异面直线和所成的角为 C. 平面与平面所成角的正弦值为 D. 过点，，的平面截四棱锥所得的截面图形为五边形 11. 已知圆，抛物线的焦点为，为上一动点，当运动到点时，，直线与相交于，两点，则（ ） A. B. 若为上一点，则最小值为1 C. 若，则直线与圆相切 D. 存在直线，使得，两点关于对称 第Ⅱ卷非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知变量与线性相关，由样本点求得的回归直线方程为，若点在回归直线上，且，则______． 13. 已知曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则______． 14. 在数列中，从第二项起，每一项与其前一项差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为．如果一个数列的阶差数列是等比数列，则称数列为阶等比数列．若数列满足，则______；若数列为二阶等比数列，其前5项分别为1，1，，则______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知． （1）求； （2）若，求的边的最大值． 16. 随着信息技术的迅猛发展，智能化家居让人们的生活越来越幸福，智能门锁就是其中之一．智能门锁的质量是根据其正常使用的时间来衡量，使用时间越长，表明质量越好，且使用时间大于或等于6年的为优质品．现用，两种不同品牌的智能门锁做试验，各随机抽取部分产品作为样本，得到试验结果的频率分布直方图如图所示，以试验结果中各组的频率作为相应的概率． （1）现从大量的，两种品牌的智能门锁中各随机抽取2件产品，求其中至少有3件是优质品的概率； （2）通过多年统计发现，品牌智能门锁每件产品利润（单位：元）与其使用时间（单位：年）的关系如下表： 使用时间（单位：年） 每件产品的利润（单位：元） －200 200 400 若从大量的品牌智能门锁中随机抽取两件，其利润之和记为（单位：元），求的分布列及数学期望． 17. 建筑学中常用体形系数表示建筑物与室外大气接触的外表面积与其所包围的体积的比值，即，为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积），为建筑物所包围的体积．某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于，的点，且． （1）若，求圆台形建筑的高； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的左右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点和（不同于，），证明：点在以为直径的圆外； （3）在（2）的条件下，求四边形面积的最大值． 19. 已知，且直线与曲线相切． （1）求； （2）若对，不等式恒成立，求实数取值范围； （3）若的最小值为，证明：方程有唯一的实数根．（其中是自然对数的底数）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $