第五章 一元函数的导数及其应用单元测试-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章一元函数的导数及其应用专项训练题 一、单选题 1．已知函数的导函数为，且，则（    ） A．2 B．1 C．4 D．8 2．已知函数，若函数有3个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．当时，设函数存在导数，且满足，若，则（    ） A． B． C．0 D． 4．设函数的导函数为，且，则的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 5．设函数是定义在上的偶函数，为其导函数，当时，，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．设函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 7．若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 8．若函数存在极大值和极小值，则极小值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B．有两个零点 C．在点处切线的斜率为 D．在单调递增 10．下列选项中的式子求导正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则下列结论正确的有（　　） A． B． C．函数仅有1个零点 D．函数在区间上单调递减 三、填空题 12．已知函数，若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ． 13．函数的极大值为 ． 14．已知函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 四、解答题 15．求下列函数的导数． (1)； (2)； (3)； (4)． 16．已知函数（是自然对数的底数） (1)求函数在上的单调增区间； (2)若为的导函数，函数，求在上的最大值. 17．已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若没有极值点，求a的取值范围． 18．已知函数，. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求的值； (2)讨论的单调性. 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，求的极值点与极值. (3)若不等式恒成立，求a的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】由导数的定义即可求解. 【详解】由， 可得：， 即， 所以， 故选：C 2．B 【分析】将问题转化为函数与图象的交点个数问题，利用导数求出点的直线与相切的直线的斜率，结合图象，即可得答案. 【详解】因为， 令， 将函数的零点转化为函数与图象的交点个数问题， 因为，过定点， 作出函数的图象，如图所示： 当时，函数与图象至多有2个交点，不符合题意； 当时，与必有一个交点， 所以与必有2个交点， 设过点的直线与相切于点， 因为， 所以切线的斜率为， 即有， 解得， 所以切线的斜率为， 所以. 故选：B. 3．D 【分析】根据得是常数，再由得，即可得函数解析式，进而求函数值. 【详解】由，即，即， 所以是常数， 当时，，即所以， 当时，，得. 故选：D. 4．A 【分析】由求，解不等式求单调区间. 【详解】定义域为，， 所以，解得， 所以，， 由解得， 所以的单调递减区间为. 故选：A. 5．D 【分析】根据题意，可得是上的奇函数，且，再数形结合解不等式即可． 【详解】当时，， 令，， 则在单调递增， 又是定义在上的偶函数，且， 是上的奇函数，则， 故函数的图像可以为： 的解集为． 故选：D． 6．A 【分析】求出，利用导数的公式求出，从而求出，利用点斜式得到在点处的切线方程. 【详解】， ， ， ， 曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 7．B 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 8．B 【分析】求出函数极小值点的范围，再利用导数求极小值的值域即可得解, 【详解】由题意，，其中，因为有极大值和极小值， 所以方程有两个不等正根，令，则由，得， 由为增函数可知，当时，，在单调递减, 当时，，在上单调递增，故，即， 设极小值点为，设取值范围的集合为, 又，即， 记，易知与单调性相反，在单调递增，在 时单调递减，且，满足， 所以，即，所求函数极小值为， ，即， 令，则，当时，，故在时单调递减，所以，即， 所以值域为，即极小值的取值范围是. 故选：B 9．ACD 【分析】根据奇函数的定义、零点的求解、导函数和函数的单调性进行逐一判断即可. 【详解】对于A： 函数的定义域为，关于原点对称， 而，所以函数为奇函数，A正确； 对于B： 令，则，则或， 所以，所以函数只有一个零点，B错误； 对于C： 当时，，对函数求导得 ，那么， 所以函数在点处切线的斜率为，C正确； 对于D： 当时，，所以函数在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 10．BCD 【分析】分别利用求导公式和运算法则逐一计算四个选项，即可得正确选项． 【详解】选项A∶，故选项A错误； 选项B∶，故选项B正确； 选项C∶，故选项C正确； 选项D∶，故选项D正确． 故选：BCD 11．ABD 【分析】由可判断AB，求导确定函数单调性和极值，可判断CD. 【详解】， 由题意可得：， 解得， 即， 则， 令，得 当时，，当，， 即在单调递增，在单调递减， 且极大值， 且，， 所以在，各有一个零点，故C错误， 由C可知：， 因为在单调递增，所以函数在区间上单调递减，D正确， 故选：ABD 12． 【分析】假设切点坐标，利用导数几何意义可写出切线方程，代入原点坐标化简可得，根据切线条数可知，由此可得的取值范围. 【详解】设过坐标原点的切线与相切于点， ，， 在点处的切线方程为：， ，， ，且过坐标原点的切线有两条，，解得：或， 即的取值范围为. 故答案为：. 13． 【分析】利用导数分析函数的单调性，可求函数的极大值. 【详解】的定义域为，． 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为． 故答案为： 14． 【分析】由题意，可得在上恒成立，问题转化为在上恒成立，推理即得a的取值范围． 【详解】因函数在上单调递增，则在上恒成立， 即在上恒成立， 则，且在上恒成立，也即在上恒成立， 故又当时，不是增函数，故， 即a的取值范围是. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) (4) 【分析】根据导数的运算、复合函数的导数等知识求解即可． 【详解】（1）对求导可得： （2）对求导可得： （3）对求导可得： （4）对求导可得： 16．(1) (2) 【分析】（1）求导，令，求得增区间； （2）对函数求导，判断单调性求出最值. 【详解】（1）由题可得，， 令，即，因为，所以， 即，所以， 又，则，所以，即. 所以函数的单调递增区间是. （2）由题，，则， 由，， ， 因为，所以，，所以，仅在和时，， 所以函数在上单调递增， 故， 所以函数在上的最大值为. 17．(1)单调递减区间是和，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求出导数，分别求出和的解，即可得到单调区间； （2）分类讨论的范围，从而得到的单调性，即可求解. 【详解】（1）若，则， 函数定义域为， ． 当时，； 当时，； 当时，， 故的单调递减区间是和，单调递增区间是． （2）， 函数，当，即时，恒成立， 则有，单调递减，此时没有极值点，符合题意． 当时，方程有两个实数根，，不妨设， 则，． 当时，，此时在区间，上单调递减， 在区间上单调递增，所以是的极小值点，是的极大值点，不符合题意； 同理可知，当时，在区间上单调递增，上单调递减，是的极大值点，不符合题意． 综上，a的取值范围是． 18．(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义得，再结合条件得，即可求解； （2）由，分和两种情况，利用导数与函数的单调性间的关系，即可求解. 【详解】（1）因为，则， 又曲线在处的切线与直线垂直，则，解得. （2）易知，又， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，令，得到（舍）或， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 19．(1) (2)极小值点为，极小值为1，无极大值点 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）根据导数与单调性、极值之间的关系求解即可. （3）通过构造函数，结合导数与单调性之间的关系，将不等式问题转化为最值问题，进一步求解即可. 【详解】（1）当时，，定义域为. ，，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）令，定义域为. 当时，. . 令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，此时. 所以的极小值点为，极小值为1，无极大值点. （3），定义域为，， 等价于. 令，则上述不等式等价于. 因为，所以单调递增， 所以上述不等式又等价于，即. 令，定义域为，则. 又在上，，单调递增；在上，，单调递减； 所以，所以，即. 故a的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $