第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷(提升版)-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷(提升版) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 【答案】C 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故选项A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，当时，， 则在上单调递减，故选项C正确； 选项D，时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极小值，故选项D错误. 2．已知函数的极值点为0，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用极值点的导数为0求解参数，注意检验. 【详解】， 因为，所以． 当时，由得，由得， 由得， 所以的极小值点为0，故． 3．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与函数单调性的关系得到不等式，结合参数分离及均值不等式求解参数范围． 【详解】函数的定义域为，. 由函数在上单调递增，得对任意恒成立． 即恒成立， 即恒成立． 由知，所以， 当且仅当，即等号成立. 因此的最小值为． 要使恒成立，则，即． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 5．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可． 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得，解得， 故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为． 6．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的正负得出的单调性，再结合是偶函数得出的对称轴，由函数图像的对称性即可求解． 【详解】由得，当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 又是偶函数，所以的对称轴为直线， 因为，所以， 所以， 又，， 所以， 所以． 7．已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性将问题转化为与函数图象有2个不同的交点，利用导函数研究其单调性即可. 【详解】由可知，为偶函数， 又也为偶函数， 故与的图象恰好有4个不同的交点 等价于方程恰好有2个不同的正根，显然， 所以与函数图象有2个不同的交点， ， 当时，单调递增；当时，单调递减； 所以， 当时；当时， 所以，所以，故实数a的取值范围为 8．已知存在使不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题干条件，可将不等式转化为，令，，得，设，利用导数求得在上为递增函数，且在上只有一个零点，设为，得到，进而得到函数的单调性，求得取得最小值，结合题意，即可求解. 【详解】 令，， 则， 设，可得，函数在上为单调递增函数， 又由， 所以函数在上只有一个零点，设为，即，即， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 其中最小值为， 要使得存在成立，所以， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（） A．是的极小值点 B．有两个不同零点 C．若函数的对称中心为，则 D．当时， 【答案】BCD 【分析】本题可按选项逐一分析，对A，先求导，根据导数符号判断单调性，确定为极大值点，A错误；对B，因式分解得，可知零点为（二重根）和，共两个不同零点，B正确；对C，利用三次函数对称中心公式，求得对称中心为，故，C正确；对D，先确定时，再求在该区间的值域为，D正确． 【详解】，， 令，得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是极大值点，是极小值点． 对于A，是的极大值点，A错误； 对于B，， 由，得，所以有两个不同零点，B正确； 对于C，对于三次函数，对称中心为， 若函数的对称中心为，则， ， 所以，C正确； 对于D，当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以，D正确． 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在最小值又存在最大值 C．若时，，则正数t的最大值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 【答案】CD 【分析】求得，得到函数的单调区间和极值，以及时，，当时，，作出的图象，结合图象依次判断选项即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 又，作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数仅存在最小值，所以B不正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确． 11．关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 【答案】ACD 【分析】对于A，解方程即可判断；对于BCD，结合图象及导数的几何意义求解判断即可. 【详解】对于A，当时，方程为，则，即或，故A正确； 对于B，由于函数为过定点的直线， 当时，设，如图， 设与相切于点， 当时，，则，则，即， 则时，函数与有两个交点，则方程有两个根，故B错误； 对于C，由B知，当时，函数与有3个交点， 则方程有三个根，故C正确； 对于D，要使方程在区间上有三个根，则， 且，即，则，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【分析】不妨设，将不等式化成，构造函数，可得其为上的增函数，即对所有恒成立，利用判别式即可求得参数范围. 【详解】因为，且，都有， 不妨设，则可得，即， 因此可得在上单调递增， 所以对所有恒成立， 由，解得， 故实数m的取值范围为． 13．已知函数，则方程的根的个数为 ______． 【答案】3 【分析】根据函数解析式求得导函数并令，由导函数符号判断函数的单调性和函数值的符号，画出函数图象；将方程视为一元二次方程，解方程求得的值，结合函数图象即可求解． 【详解】由函数，则， 令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又当时，；当时，； 当时，；当时取得极小值，；当时，， 所以函数的大致图象如下所示； 又， 解得或， 由函数图象可知，方程的根的个数为3． 14．若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由已知不等式变形得出，令，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，即可得出，参变分离可得，构造函数，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】对任意的，恒有，则， 即， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，且， 由可得，则， 参变分离可得，构造函数，其中， ， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为 (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）根据函数的极值点求出，再结合导数与函数单调性的关系，即可求得答案； （2）结合（1）判断函数的极值点，代入解析式求值，即得答案. 【详解】（1）由，得 由题意得，即，解得， 故，定义域为， ， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 易知为极小值点，符合题意， 所以单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）知，在，上单调递增，在上单调递减，           1      + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，． 又，， 故在区间上的最大值为2，最小值为． 16．已知函数其中实数. (1)若的最小正周期为，求 在处的切线方程； (2)若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换化简得到，结合最小正周期求出；根据导数的几何意义求解即可. （2）根据题意列不等式组求解即可. 【详解】（1）. 因为的最小正周期为，所以，解得. 所以. 则，所以切点为. 又，则， 所以切线方程为，即. （2）由（1）知，，，，则， 因为在区间上恰有三个极值点，所以，且， 即，解得. 又若在区间上恰有两个零点，则，且， 即，解得. 综上，. 故的取值范围为. 17．已知函数，，为的导函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)的极小值为，无极大值； (2). 【分析】（1）求导分析函数单调区间，再根据单调性求解极值； （2）利用分离参数法可得，构造函数，结合导数求解最值，即可得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为，求导得：， 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅有极小值，无极大值，极小值为： . （2）由，代入和的表达式得： 整理得：， 由于，即，不等式变形为： 要使不等式恒成立，只需，其中， 令，则，因为 ， 所以的单调性与相反，的最大值对应的最小值， ，令，得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此在处取得最小值： 进而可得的最大值： 因此，即实数的取值范围是. 18．已知函数． (1)若，证明：当时，； (2)若对恒成立，求整数的最小值； (3)当，证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 (3)证明见解析 【分析】（1）时，，构造函数并求导，分析的单调性，进而得出，进而证明结论； （2）根据函数的性质结合对恒成立得出的范围，再根据是整数，用赋值法求出的最小值； （3）求导，构造新函数，再求导，利用导数分析函数单调性，分析函数的极值，并利用零点存在定理分析函数的零点情况． 【详解】（1）若，则，构造函数， 当时，， 在上单调递增， ，即， ，故，即， 当时，． （2）已知， 则，且， 已知对恒成立，且为整数， 则，解得， 当时，， ，不符合，故， 当时成立，此时， 当时，， 令，可得， 在上递增，在上递减， 又，， ，即， 当时，可得， ， 当时，均有对恒成立， 综上所述，整数的最小值为3． （3）由，可得， 令，可得， 当时，在上递增， 而，， 存在，使得 ， 在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 存在，使得， 在上递减，在上递增， 又当时，， 在上递增， 在上单调递减，在上单调递增， 是在上的唯一极小值点； 此时，， 存在，即上存在唯一零点，使得． 19．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，再结合直线的垂直关系求解即可； （2）根据题意，将问题转化为在上恒成立，再构造函数，研究函数最小值即可求得答案； （3）设，结合题意得，即可将问题转化为证明：对任意，，再构造函数证明即可. 【详解】（1）解：因为，所以. 所以.   因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. 所以. （2）解：. 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 设，则. 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 又.                                  所以的最小值为， 所以的取值范围为. （3）证明：由（2）可知当时，函数有两个不同的极值点， 不妨设.      所以是方程的两个解. 即，. 所以. 设，则. 所以，即，所以.   所以. 所以. 所以要证，只需证：对任意，， 设，则， 令，则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为，所以. 所以在上单调递增.   所以. 所以，即成立. 所以. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元函数的导数及其应用单元测试卷(提升版) （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（   ） A．在区间上单调递减 B．在处取得极大值 C．在区间上单调递减 D．在处取得极小值 2．已知函数的极值点为0，则（    ） A．0 B． C． D． 3．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 6．设上的可导函数满足，且是偶函数．若，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，.若与的图象恰好有4个不同的交点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知存在使不等式成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则（） A．是的极小值点 B．有两个不同零点 C．若函数的对称中心为，则 D．当时， 10．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数既存在最小值又存在最大值 C．若时，，则正数t的最大值为2 D．当时，方程有且只有两个实根 11．关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程有两个根 B．当方程有两个根时， C．当时，方程有三个根 D．当方程在区间上有三个根时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若，且，都有，则实数的取值范围为____________． 13．已知函数，则方程的根的个数为 ______． 14．若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数在处取得极值． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间的最大值与最小值． 16．已知函数其中实数. (1)若的最小正周期为，求 在处的切线方程； (2)若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 17．已知函数，，为的导函数. (1)当时，求的极值； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 18．已知函数． (1)若，证明：当时，； (2)若对恒成立，求整数的最小值； (3)当，证明：在上存在唯一极小值点和唯一零点． 19．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若有两个不同的极值点，求证：. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $