7.3 定义、命题、定理 课件2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“定义、命题、定理”核心内容，通过刘徽《九章算术》中正负定义的情境引入，关联数轴、方程的解等已有知识，搭建从具体实例到抽象概念的学习支架，帮助学生理解数学对象定义的本质。 其亮点在于以实例辨析命题真假，引导学生举反例培养推理意识，将命题改写为“如果…那么…”形式强化模型意识，证明过程强调依据培养逻辑思维。分层练习设计助力学生巩固，教师可利用此资料提升教学效率，促进学生数学思维与表达能力发展。

第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 情境引入 中国古代数学家刘徽在《九章算术》中对正负数给出了清晰的定义："今两算得失相反，要令正负以名之."意思是当两种数量具有相反的意义时，就分别用正数和负数来命名它们. 在之前的学习中，对于一些新的数学对象，都用清晰、准确的描述，如： (1) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴； (2) 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫作方程的解； (3) 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 这样的描述称为数学对象的定义. 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断. 如：根据方程解的定义，可以判断x=3是方程2x+21=27的解. 再来看一些对某件事情或对象作出判断的陈述语句. 例如： (1) 等式两边加同一个数，结果仍相等； (2) 等角的补角相等； (3) 两个锐角的和是钝角； (4) 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (5) 如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除； (6) 线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等. 如上，对一件事情或对象作出明确判断的语句，叫作命题. 并非所有的语句都是命题. 通常情形下，以下几种情形的语句就不是命题： (1) (祈使句) 请把门关上. (2) (感叹句) 这儿的风景太美了！ (3) (疑问句) 你喜欢数学吗？ 知识点剖析 知识点剖析 再来看刚才这些命题，并判断各个语句的对错： (1) 等式两边加同一个数，结果仍相等； (2) 等角的补角相等； (3) 两个锐角的和是钝角； (4) 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (5) 如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除； (6) 线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等. 有些语句是对的，数学上也叫作真. 如(1)、(2)和(6)； 有些语句是错的，数学上也叫作假. 如(3)、(4)和(5). 被判断为真的命题，叫作真命题，如(1)、(2)和(6)都是真命题； 被判断为假的命题，叫作假命题，如(3)、(4)和(5)都是假命题. 请再举出一些真命题的例子. 再来看刚才这些命题： (1) 等式两边加同一个数，结果仍相等； (2) 等角的补角相等； (3) 两个锐角的和是钝角； (4) 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (5) 如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除； (6) 线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等. 知识点剖析 有的命题是"如果...，那么...."的形式，如(5)，有的命题则不是. 尝试把上面的其它几个命题改写成"如果...，那么...."的形式： (1) 如果一个等式两边加上同一个数，那么所得结果仍相等； (2) 如果两个角相等，那么它们的补角也相等； (3) 如果两个角是锐角，那么它们的和是钝角； (4) 如果两条直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补； (6) 如果一个点在线段的垂直平分线上，那么这个点到线段两个端点的距离相等. 知识点剖析 数学中的命题常可以写成"如果…，那么…"的形式，"如果"后的部分叫作命题的题设， "那么"后的部分叫作命题的结论. 说一说：前面6个命题的题设和结论分别是什么？ 命题 题设 结论 题设 结论成立 真命题 题设 结论不成立 假命题 说一说下列命题的题设和结论，并判断命题的真假. (1) 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形的周长相等； (2) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； (3) 如果一个数的平方等于 9，那么这个数是 3. 小试牛刀 1. 指出下列各命题的条件和结论，并判断命题是真命题还是假命题. (1) 如果两个数互为相反数，那么这两个数的绝对值相等； (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角. 2. 指出下列命题的条件和结论，并判断命题的真假. (1) 垂直于同一直线的两条直线互相垂直. (2) 过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 3. 判断下列命题的真假. (1) 同旁内角互补 (2) 一个角的补角大于这个角 (3) 相等的两个角是对顶角 (4) 两点之间线段最短 (5) 两点可以确定一条直线 (6) 同角的余角相等 (7) 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直 真命题——需要推理论证(证明) 假命题——举反例说明 知识点剖析 判断命题的真假有两种可能的结果：真和假. 反例指具备命题的条件，但和命题的结论不一样的例子. 例如："相等的角是对顶角"是一个假命题. 举反例如下： 如右图，OC平分∠AOB，有∠AOC=∠BOC 但是，∠AOC与∠BOC不是对顶角. 小试牛刀 1. 举反例说明下列命题是假命题. (1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等； (2)若ab = 0，则 a + b = 0. 2. 已知：平面内三条不同的直线 a，b，c. ①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b. 请你用①②③④所给出的其中两个作为条件，另外一个作为结论(用如果···那么···的形式，如:如果a⊥c，b丄c，那么a∥b)写出命题. (1)写出一个真命题，并证明它的正确性； (2)写出一个假命题，并举反例. 判断下列命题的真假 (1) 在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条； (2) 如果两个角互补，那么它们是邻补角； (3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b； (4) 经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； (5) 两点确定一条直线. 知识点剖析 有些真命题是基本事实，如"经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行""两点确定一条直线"等. 还有一些命题，如"对顶角相等""内错角相等，两直线平行"，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理. 定义、基本事实和定理都可以作为继续推理的依据. 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 知识点剖析 如图，已知直线a⊥b，b∥c，求证：a⊥c. 证明： ∵ a⊥b ( ) ∴ ∠1=90° ( ) ∵ b∥c ( ) ∴ ∠1=∠2 ( ) ∴ ∠2=90° ( ) ∴ a⊥c ( ) 填空，将下面的证明过程补充完整. 证明的每一步都要有根据. 根据可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 小试牛刀 1. 请把下面证明过程补充完整. 如图，已知AD⊥BC于点D，点E在BA的延长线上， EG⊥BC于点 G，交AC于点F，∠E =∠1. 求证：AD平分∠BAC. 证明：∵AD⊥BC，EG⊥BC， ∴∠ADC = ∠EGC = 90°( ). ∴ AD∥EG ( ). ∴∠1=∠2( )， ∠E =∠3( ). ∵∠E =∠ (已知)，∴∠2 =∠3( ). ∴AD 平分∠BAC ( ). 小试牛刀 2. 如图，给出下列论断： (1) AB∥DC，(2) AD∥BC，(3) ∠A +∠ABC=180°，(4) ∠ABC +∠C=180°， 以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题.想一想，若连接 BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗? 3. 如图，现有以下 3 个论断： ① AB∥CD；② ∠B=∠C；③ ∠E=∠F. 请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题. (1) 你构造的是哪几个命题? (2) 请选择其中一个真命题加以证明. 小试牛刀 4. 如图，点D在AB上，直线DG交AF于点E. 请从 ①DG∥AC， ②AF平分∠BAC， ③∠DAE=∠DEA 中选两个作为题设，余下一个作为结论，构造一个真命题，并予以证明. 题设：_______，结论：_______. (均填写序号) $