命题大赛：内蒙古赤峰市高一数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版必修第二册第八章

**基本信息** 本卷聚焦人教A2019版必修二第八章立体几何，以基础巩固与能力提升为梯度，融合古代数学文化（如“鳖臑”）与空间几何应用，适配高一年级单元复习，强化空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正四棱柱定义、斜二测画法、正方体表面最短距离|基础概念辨析，突出空间几何直观| |多选题|3/18|线面关系、正四棱台截面、四面体性质|多选项设计，考查逻辑推理严谨性| |填空题|3/15|圆柱异面直线成角、圆台体积、正六棱锥内切球|空间计算与几何性质结合| |解答题|6/77|斜二测画法还原、四棱锥证明与体积、正方体作图与线线角、折叠问题体积与存在性探究|综合应用古代数学文化（如“鳖臑”），分层设计折叠与存在性问题，提升空间想象与数学表达能力|

内蒙古赤峰市高一年级数学2025-2026学年度下学期阶段测试 人教A2019版·必修二第八章 答案与解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B C D D A C AC ACD 题号 11 答案 BD 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．D 【分析】根据正四棱柱的定义及举反例判断即可. 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 2．C 【详解】斜二测画法中，轴与轴的夹角为，即， 已知，，则， 又因在轴上，则在中，. 3．B 【分析】将正方体的表面沿不同棱展开，使点和点落在同一平面内，然后利用勾股定理分别计算两种展开情况下的距离，最后比较大小，得出最短距离即可. 【详解】绘制题目示意图，如图所示： 绘制展开图： 情况一：如下展开： 求得. 情况二：如下展开： 求得， 情况三：如下图所示将侧面展开： 则， 对比可知沿正方体表面从点到点的最短距离为, 故选：B. 4．C 【分析】利用八面体的结构特征，求出每个面的面积即可求得表面积. 【详解】由八面体的每一个面都是正三角形，且四边形ABCD是边长为的正方形， 因此每个面的面积为（）， 所以这个八面体的表面积（）. 故选：C 5．D 【分析】利用空间中直线与直线的位置关系依次判断选项即可. 【详解】选项 A：若直线与平面相交，则内的直线与可能相交，也可能异面（不经过交点的直线与异面），并非所有直线都与相交，故A错误； 选项 B：同理，内经过与交点的直线与相交，并非所有直线都与异面，故B错误； 选项 C：当直线与平面垂直时，在平面内所有直线与垂直，故C错误； 选项 D：若内存在直线与平行，根据线面平行的判定定理，可推出，与 “直线与平面相交” 矛盾，因此内不存在与平行的直线，故 D 正确； 6．D 【分析】根据已知证明即可判断A，利用平面的基本性质证明共点判断B，应用异面直线的定义判断C、D. 【详解】由分别为和的中点，则， 而，故为平行四边形， 所以，则，故四点共面，A对， 由A知与共面，且，，所以与必交于一点， 若，即，而平面，则平面， 由，平面，则平面， 由平面平面，故， 综上，三线共点，B对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，C对， 由平面，平面，平面，，则与是异面直线，D错. 7．A 【详解】 延长交的延长线于点，连接交于点， 延长交的延长线于点，连接交于点，连接， 如图所示，可得正方体的截面图形为五边形． 由与相似得， 所以，与相似得，所以． 由勾股定理得，， ，，， 所以截面图形的周长为． 8．C 【详解】设，则，，，要使三棱锥恰好是一个“鳖臑”， 则有，，由，，可得二面角的平面角 为，在中，． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．AC 【详解】对于A，当时，满足，，而，A错误； 对于B，由，，，，得，B正确； 对于C，，，若相交，则m与n为平行直线或相交直线或异面直线， 若平行，则m与n为平行直线或异面直线，C错误； 对于D，由A，B，C是平面内不共线的三点，，，得， 若，则与矛盾，因此，D正确. 10．ACD 【分析】把正四棱台还原成正四棱锥，再结合棱台、棱锥的结构特征逐项判断. 【详解】依题意，正四棱台的侧棱延长交于点， 直线分别与棱交于点，连接，平面即为平面， 对于CD，直线平面平面，直线与直线、直线都相交，CD正确； 对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， 则，，因此截面是梯形，A正确； 在等腰中，在线段上（除端点外），则，而， 于是，即，梯形不是等腰梯形，B错误. 故选：ACD 11．BD 【分析】将四面体补成长方体，结合题意可得，.对于A：利用割补法求体积；对于B：结合长方体的结构特征求外接球半径和表面积；对于C：利用等体积法求内切球半径和点到面距离，进而分析判断；对于D：根据线面夹角分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，即可得结果. 【详解】将四面体补成长方体，可知底面为正方形， 因为，，则，. 对于选项A：四面体的体积为，故A错误； 对于选项B：可知四面体的外接球即为长方体的外接球， 则外接球半径， 所以四面体的外接球的表面积为，故B正确； 对于选项C：设四面体的内切球半径为， 因为的面积，则， 设点到平面的距离为， 则，可得，即， 若平面平面，且平面与四面体的内切球相切， 则平面与棱的交点为各棱中点， 所以平面将该四面体分成体积比为的两部分，故C错误； 对于选项D：设点在平面内的投影为， 因为点到平面的距离等于点到平面的距离，则， 又因为直线与平面所成角的正切值为，则， 所以点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，其长度为，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．/ 【分析】作出异面直线与所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值. 【详解】连接，由题设及图易知是圆柱的母线， 所以为矩形，设，则是的中点， 设是的中点，连接，则， 则是异面直线与所成角或其补角. 由于，， 所以，由于， 而是圆柱底面圆的直径，则， 所以，则， ，而， 在三角形中，由余弦定理得. 故答案为： 13． 【分析】作出圆台的轴截面，根据平面几何知识求出圆台的高和上下底面半径，根据圆台体积公式即可求解. 【详解】圆台的轴截面如图，由，可知.    分别过点作，所以，所以，所以，所以圆台的体积为. 故答案为： 【点睛】此题考查求圆台的体积，关键在于根据圆台的轴截面准确求出高和底面半径，依据公式准确计算. 14． 【分析】先求正六棱锥的高，再计算斜高进而求出表面积，接着求出棱锥体积，最后根据内切球的性质求出内切球半径代入球的表面积公式即可. 【详解】正六棱锥底面是正六边形，底面外接圆半径等于底面边长，即底面中心到底面顶点距离为2， 设顶点为，为棱锥的高，由侧棱长， 由勾股定理得， 底面正六边形的边心距（中心到边的距离）， 斜高（侧面等腰三角形的高） . 底面积：，侧面积：. 总表面积， 棱锥体积， 由棱锥内切球性质得 . 内切球表面积. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）(1)图形见解析.(2) 【分析】（1）根据斜二测画法画出四边形即可； （2）根据题意先求四边形的面积及的长，再由棱锥的体积公式计算即可. 【详解】（1）因为与轴重合，则与轴重合，且,（1分） 与轴平行，则与轴平行，且,（2分） 与轴重合，则与轴重合，且,（4分） 连接，即可得四边形.如图所示.（7分） （2）由（1）得，四边形的面积为,（9分） ,（11分） 所以四棱锥的体积为.（13分） 16．（本小题15分）(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】(1)根据线面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，进行证明； (2)根据中位线和平行四边形中的平行性质，利用线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行，通过线线平行，证明线面平行； (3)根据面面平行的判定定理，找动直线与面内直线平行时的位置，进行证明判断即可． 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，；（3分） （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG；（4分） 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且；（5分） 又因为，，所以，且；（6分） 所以为平行四边形；所以；（7分） 又因为平面，平面， 所以平面；（8分） （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF；（9分） 因为E，F，为PD，AD中点，所以；（10分） 又因为平面，平面， 所以平面；（12分） 又因为平面，且，平面； 所以平面平面；（14分） 在上存在点使得平面平面．（15分） 17．（本小题15分）(1)图形解析，过程见解析；(2)；(3)证明见详解. 【分析】（1）取棱的中点，在正方体上底面内过点作直线，使得，由平行线的传递性，得解； （2）取棱的中点，易得直线与所成角，即与所成角，在中，由余弦定理求解； （3）先证明，，由此设直线与交于点，根据平面的性质可证. 【详解】（1）如图，取棱的中点，连接，在正方体上底面内过点作直线，使得，（1分） 连接，因为是的中点，是的中点， 所以，，又，， 所以，，（3分） 所以四边形为平行四边形，故， 所以.（5分）    （2）取棱的中点，连接，（6分） 又是的中点，所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，（7分） 所以直线与所成角，即为或其补角，（8分） 在中，，， 所以，（9跟） 所以直线与所成角的余弦值为 .（10分） （3）因为是的中点，是的中点，所以，，（11分） 又在正方体中，易得，， 所以，，（12分） 记直线与交于点，因为平面，所以平面， 同理，平面， 所以平面平面，（14分） 所以直线三条直线交于一点.（15分） 18．（本小题17分）(1)；(2)存在， 【分析】（1）作出辅助线，得到线面垂直，面面垂直，求出棱锥的高，进而求出五棱锥的体积； （2）由线段之间的关系得到时，，从而得到线面平行，求出答案 【详解】（1）连接，设，连接．（1分） 因为四边形是正方形，， 所以是的中点，且，，（2分） 从而有，，又，平面， 所以平面，且平面． 从而平面平面．（3分） 过点作垂直于且与相交于点， 则平面．（4分） 因为正方形的边长为6，， 故，，（5分） 所以， 所以，则，（7分） 所以五棱锥的体积．（8分） （2）线段上存在点，使得平面，此时．（9分） 证明如下： 连接，，，，且易知过点． 当时，又，所以．（11分） 又平面，平面，所以平面．（12分） 又，平面，平面， 所以平面．（14分） 又，平面，所以平面平面，（16分） 因为平面，所以平面．（17分） 19．（本小题17分）(1)证明见解析；(2)①② 【分析】（1）先证明平面，平面，再利用面面平行的判定定理证明平面平面； （2）①在平面内过点作，交于点，连接．先证明是二面角的平面角，再计算，由即得所求； ②延长至点，使，则，在平面中，过点作于，证得平面，点在四边形内，根据可求的最小值． 【详解】（1）在翻折过程中，，平面，平面， 所以平面．（1分） 又因为，平面，平面，所以平面，（3分） 又平面，平面，， 所以平面平面．（5分） （2）①如图，在平面内过点作，交于点，连接． 因为点是点在平面上的射影，所以平面，（7分） 因为平面，所以， 又，，所以平面， 因为平面，所以，（8分） 所以是二面角的平面角， 则翻折前、、三点共线，且， 所以，，（10分） 所以．（11分） 延长至点，使，则， 在平面中，过点作于，（12分） 由①知平面，即平面， 又平面，所以平面平面，（13分） 又平面平面，，平面， 所以平面， 所以（当且仅当点与点重合，且点为线段与平面交点时取“”），（14分） 因为， 所以，所以，所以点在线段上， 所以点在四边形内，（15分） 此时 ，（16分） 综上，最小值即为，长为， 所以的最小值为．（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 棱柱的结构特征和分类 0.85 2 单选题 5 斜二测画法中有关量的计算 0.89 3 单选题 5 棱柱的展开图及最短距离问题 0.85 4 单选题 5 求组合多面体的表面积 0.85 5 单选题 5 线面关系有关命题的判断 0.74 6 单选题 5 空间中的点（线）共面问题；空间中的线共点问题；平行公理；异面直线的判定 0.7 7 单选题 5 由平面的基本性质作截面图形；判断正方体的截面形状 0.53 8 单选题 5 求二面角 0.42 9 多选题 6 线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断；异面直线的概念及辨析 0.75 10 多选题 6 面面平行证明线线平行；棱锥的结构特征和分类；棱台的结构特征和分类 0.65 11 多选题 6 立体几何中的轨迹问题；锥体体积的有关计算；球的表面积的有关计算；多面体与球体内切外接问题 0.32 12 填空题 5 求异面直线所成的角；余弦定理解三角形 0.65 13 填空题 5 圆台的结构特征辨析；台体体积的有关计算 0.65 14 填空题 5 球的表面积的有关计算；正棱锥及其有关计算；多面体与球体内切外接问题 0.42 15 解答题 13 锥体体积的有关计算；由直观图还原几何图形 0.85 16 解答题 15 线面平行的性质；证明线面平行；证明面面平行 0.75 17 解答题 15 空间中的线共点问题；平行公理；求异面直线所成的角 0.67 18 解答题 17 由线面平行求线段长度；证明线面平行；面面垂直证线面垂直；余弦定理解三角形；锥体体积的有关计算 0.52 19 解答题 17 证明面面垂直；求二面角；证明面面平行；面面垂直证线面垂直 0.32 Sheet2 Sheet3 $ 内蒙古赤峰市高一年级数学2025-2026学年度下学期阶段测试 （人教A2019版·必修二第八章） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．下列命题正确的是（    ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 2．如图，用斜二测画法画出的水平放置的直观图为，且，则（   ） A．8 B．4 C．6 D．3 3．已知正方体的棱长为4，点为的中点，则沿正方体表面从点到点的最短距离为（   ） A．4 B． C． D．8 4．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是（　　） A．225 cm2 B．1000 cm2 C．1800 cm2 D．900＋2000 cm2 5．若直线l与平面相交，则下列说法中正确的是（   ） A．α内的所有直线与l都相交 B．α内的所有直线与l都是异面直线 C．α内不存在与l垂直的直线 D．α内不存在与l平行的直线 6．在长方体中，分别为和的中点，则下列说法错误的是（   ） A．四点共面 B．三线共点 C．与是异面直线 D．与是相交直线 7．一平面与正方体表面的交线围成的封闭图形称为正方体的“截面图形”．在棱长为1的正方体中，为的中点，为的中点，过三点的截面图形的周长为（   ） A． B． C． D． 8．我国古代数学专著《九章算术》中将四个面均为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”.如图1，在中，，，CD是AB边上的高，将沿直线CD折起，使点B到点P的位置，如图2，此时三棱锥恰好是一个“鳖臑”，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．设A，B，C是三个不同的点，m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列结论错误的是（   ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则m与n为异面直线 D．若A，B，C是平面内不共线的三点，，，则 10．如图，有一块正四棱台的木料，木工师傅想经过木料表面内（不含边界）一点与棱把木料锯成两块，为此需要先在面内作出交线，下列关于交线与截面形状的说法正确的是（    ） A．截面形状是梯形 B．截面形状可能为等腰梯形 C．直线与直线相交 D．直线与直线相交 11．已知四面体中，，则下列说法正确的是（    ） A．四面体的体积为 B．四面体的外接球的表面积为 C．若平面平面，且平面与四面体的内切球相切，则平面将该四面体分成体积比为的两部分 D．若为平面内一动点，且直线与平面所成角的正切值为，则点轨迹的长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为______. 13．若一个圆台的轴截面是腰长为的等腰梯形，下底边长为，对角线长为，则这个圆台的体积为______. 14．已知正六棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则其内切球的表面积为________． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分）如图，梯形是水平放置的四边形的斜二测画法的直观图，已知，，． (1)在下面给定的表格中画出四边形（不需写作图过程）﹔ (2)若四棱锥的高等于的长，求四棱锥的体积． 16．（本小题15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 17．（本小题15分）如图，一块棱长为2正方体形木料的上底面内有一点M，F是的中点.    (1)过点作出一条直线，使得，并写出作图过程； (2)求直线与所成角的余弦值； (3)若点是的中点，证明：直线三条直线交于一点. 18．（本小题17分）如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 19．（本小题17分）如图，在矩形中，，，点，分别在线段，上，且．将四边形沿折起，，分别到达，位置． (1)求证：平面平面； (2)若折到某位置时，点在平面上的射影恰好落在线段上． ①求二面角的余弦值； ②设点，分别是四边形，内的动点，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $