第八章立体几何初步单元测试-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2026年高一数学单元检测卷 第八章立体几何初步 考试范围：第八章立体几何初步；考试时间：120分钟； 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（    ） A．①是棱台 B．②不是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱 2．下列说法不正确的是（    ） A．底面是正多边形的直棱柱是正棱柱 B．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 C．棱柱的侧棱相互平行 D．正棱柱的高与侧棱长相等 3．空间中两条直线，则“”是“与相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知 为三条不同的直线， 为两个不同的平面，则以下选项正确的是（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若，则 5．将一根足够长的圆柱体木棒，沿着截面重新切割，已知底面圆的半径为，，则几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．12 B． C．24 D． 7．如图所示，三棱柱中，若、分别为，靠近点的三等分点，平面将三棱柱分成左右两部分，若三棱柱的体积为108，则右半部分的体积为（   ） A．48 B．52 C．56 D．60 8．已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 10．在正方体中，E，F，G，H，M，N分别是棱，的中点．下列说法正确的是（   ） A．直线EF、MN、CD相交于同一点 B．GN和MH是异面直线 C．若点在直线上，则平面EFH D．E，F，G，H，M，N在同一个球面上 11．如图，在四面体中，二面角的大小为，且，，则（   ） A．无论为何值， B．当与平面所成角为时， C．当时，二面角大于 D．当时，二面角的正切值为 三、填空题 12．在正三棱台中，，侧棱与平面所成角为，则该棱台的体积为___________． 13．如图某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的高为，则此组合体的体积为________；表面积为________ 14．如图，棱长为4的正方体中，点C到平面的距离为________． 四、解答题 15．如图，在封闭图形ABCD中，CD段是以直线AD上的点E为圆心，DE长为半径的四分之一圆弧，，，，求图中封闭图形ABCD绕AD所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 16．在正三棱锥中，平面，垂足为点O，过O作平面与棱，，，交于点D，E，F，G. (1)求证：E，O，F三点共线； (2)若四边形为平行四边形，求的值. 17．如图，在正四棱柱中，，，是的中点． (1)求证：平面； (2)证明：平面． 18．如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，. (1)若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积； (2)若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值 19．宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一个圆台，其尺寸如下：桶口直径为30 cm，桶底直径为24 cm，桶高为24 cm， (1)求该饭甑木桶的容积；（不计容器的厚度） (2)若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，求当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D B B D C C BD ACD ABD 1．A 【详解】图①不是由棱锥截得的，所以①不是棱台； 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台；图③是棱锥． 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 2．B 【详解】A选项：底面是正多边形的直棱柱，侧棱垂直底面，符合正棱柱定义，说法正确； B选项：正棱锥要求底面是正多边形，且顶点在底面的投影为底面中心，仅底面是正多边形不能判定为正棱锥，说法不正确； C选项：棱柱的侧棱相互平行且相等，是棱柱基本性质，说法正确； D选项：正棱柱属于直棱柱，侧棱垂直底面，高与侧棱长相等，说法正确. 3．D 【详解】空间中两条直线，若， 与可以相交也可以异面； 与相交时，不一定互相垂直，不能得到， 所以“”是“与相交”的既不充分也不必要条件. 4．B 【详解】对于 ，面面平行的判定定理要求相交，若 ，则 可能相交，故错误； 对于 ，过作平面交于，则 ，过作平面交于，则，故， 又不在平面内，又平面，所以，而，故，故，故正确； 对于C，若 ，则 或 ，故 错误； 对于，若， 如果或，则不能判断 ，故错误. 5．B 【详解】用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方， 得到一个底面圆的半径为，高为的圆柱， 所以所求几何体的体积. 6．D 【详解】由题意得，所以矩形的面积为， 由原图形面积与直观图面积的比例关系，可知原图形的面积是，故D正确. 7．C 【详解】设平面将三棱柱分成左右两部分体积为和，三棱柱的高为，底面的面积为，体积为，则， 因为、分别为，靠近点的三等分点，则， 可得，所以右半部分的体积. 8．C 【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有， 圆柱的侧面积， 故当且仅当、时，取最大， 此时圆柱的外接球半径为，则该球的体积. 9．BD 【详解】平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，所以A错误； 若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，所以平面内不存在与平行的直线，所以B正确； 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，所以C选项错误； 若直线与平面平行，根据线面平行的定义，可得直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确. 10．ACD 【详解】对A，因为分别是的中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又分别是的中点，所以，所以且， 所以共面且不平行，记其交点为，易知是平面和平面的公共点， 所以点在平面和平面交线上， 所以交于同一点，正确； 对B，易知，且，所以为平行四边形， 所以GN和MH共面，错误； 对C，分别是的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可证，平面，又是平面内的两条相交直线， 所以平面平面， 因为平面，所以平面，正确； 对D，由正方体的几何特征可知， 正方体的中心（体对角线的交点）到各棱中点的距离相等， 所以E，F，G，H，M，N在以正方体的中心为球心与各棱相切的球上，正确. 11．ABD 【详解】选项A：如下图所示，取中点，连接， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以； 选项B：如下图所示，作，垂足为，连接， 作，垂足为，作，垂足为，连接AH， 由可得，所以即为二面角的平面角， 因为平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面，平面， 所以即为与平面所成角， 因为，为等腰三角形， 所以，即； 选项C：若，则平面， 因为， 所以即为二面角的平面角， 因为，可求得， 所以， 所以二面角小于； 选项D：如下图所示，作，垂足为，作，垂足为，连接， 因为，所以平面， 因为，所以，， 因为，所以，，所以. 12． 【详解】∵ 正三棱台上底面边长，下底面边长， ∴ 上底面面积，下底面面积. 设上下底面的中心分别为，，则为正三棱台的高， 侧棱与底面所成角为. ∵ 正三角形外接圆半径， ∴下底面外接圆半径，上底面外接圆半径. 过作于点，则， 可得四边形为矩形，故. ∵ 在中，，∴ . 代入棱台体积公式，得， ∴ . 13． 【详解】已知圆柱底面半径，高，圆锥高，且圆锥底面与圆柱上底面重合，故圆锥底面半径也为。 、体积的计算，∵ 圆柱体积公式为，∴ 。 ∵ 圆锥体积公式为，∴ 。 ∴ 组合体体积。 、表面积计算，先求圆锥母线长，由勾股定理：∵ ， ∵ 圆锥侧面积公式为，∴ 。 ∵ 圆柱侧面积公式为，∴ 。 ∵ 圆柱下底面积公式为，∴ 。 ∵ 圆锥底面与圆柱上底面重合，属于内部面，不计入外露表面积， ∴ 组合体表面积。 14．/ 【详解】设点C到平面的距离为，因为， 所以， 因为正方体棱长为，所以， 所以是等边三角形，所以， 又因为，代入体积公式得. 15．表面积，体积 【详解】过点C作，垂足为F，则，，所以， ； ． 16．(1)证明见解析(2) 【详解】（1）因为平面，平面，所以平面. 同理平面，所以平面平面. 又因为平面，平面，所以.，即E，O，F三点共线. （2）若四边形为平行四边形，则. 又平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. 在正三棱锥中，平面， 则为正三角形的中心，即为重心. 连接并延长交于点Q，则. 由（1）可知，.又，则.所以. 17．【详解】（1）证明：设，连接， 在正四棱柱中，四边形为正方形， ，又是的中点， ， ，又平面，平面， 平面. （2）在正四棱柱中，平面， 又平面，，在正方形中，， 又，平面，平面， 平面. 18．(1)，(2) 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，母线为，， 圆锥的侧面积，所以，则圆锥的高， 则圆锥的体积； （2）因为平面，平面， 所以，又因为，，平面， 所以平面，则与平面所成角为，所以， 又因为，所以，取的中点，连结，， 因为，， 所以，，为二面角的平面角, 因为，，所以，， 所以二面角的平面角的正切值为. 19．(1)，(2) 【详解】（1）由圆台体积公式可知 ， 所以该饭甑木桶的容积为 （2）如图所示，设球半径为，球心距离下底面的距离为， 可得，解得， 所以该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $