精品解析：内蒙古赤峰市松山区2025-2026学年第二学期高一年级期中学业质量检测数学试题

赤峰市松山区2025-2026学年第二学期期中学业质量检测 高一数学试题 2026.05 （人教A版必修一第五章，人教A版必修二第六章第七章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑线字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置. 1. 已知复数 ，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，故的虚部为2026. 2. （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，利用两角差的正切公式计算可得. 【详解】 . 故选：D 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及余弦定理的推论即可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理的推理得， 又因为, 所以. 故选：C. 4. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 所以，且， 所以. 5. 已知向量，，满足，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算法则，对平方后求解即可. 【详解】因为，，且， 所以， 所以. 6. 是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ） A. 内心 B. 重心 C. 外心 D. 垂心 【答案】A 【解析】 【分析】根据单位向量的和向量终点在的角平分线上，再由向量的数乘及加法可得点的轨迹. 【详解】因为是与，同方向的单位向量的和向量， 所以向量所在的直线平分， 所以向量终点在的角平分线上， 则的轨迹一定通过的内心. 7. 在中，点在边上，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的平行四边形法则和三角形法则计算即可. 【详解】因为为的中点，且， 所以. 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可. 【详解】由题意知：或 ∴或 ∴或 ∵在上单调递减，∴ ∴ ①当时，取知 此时，当时， 满足在上单调递减，∴符合 取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合 当时，，舍去，当时，也舍去 ②当时，取知 此时，当时， ，此时在上单调递增，舍去 当时，，舍去，当时，也舍去 综上：或2，. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算以及复数的几何意义求解即可. 【详解】已知复数，，则 . ，， 在复平面内对应的点. 10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论． 【详解】由图知，则， ，所以，则， 即 因为，所以，，即， 因为，得，所以 所以 对于选项A：当时，，故A对 对于选项B： 的单调递增区间为， 解得， 当时，故在上单调递增，在上单调递减，故B错 对于选项C：，故C错 对于选项D：， 所以是偶函数，故D对， 故选：AD． 11. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 为钝角三角形 B. 若为的重心，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 在中， 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用数量积定义判断为锐角，即可判断A；根据重心性质及向量线性运算判断B；根据正弦定理及余弦定理判断C；根据两角和的正弦公式和正弦定理判断D. 【详解】在中，，则， 又因为，故为锐角，无法判断为钝角三角形，故A错误； 如图，设为的中点，点为的重心， 则，即，所以，故B正确； 由及正弦定理，得， 由余弦定理，得， 所以是钝角三角形，故C正确； ， 根据正弦定理得，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式） 【答案】 【解析】 【分析】判断出三角形有两解时分析A的范围，通过正弦定理及正弦函数的性质推出a的范围即可． 【详解】根据正弦定理，，则.​ 有两解，则角有两个不同的取值. 因为 ，所以存在两个不同的对应同一个， 因此 ，即 ， 因此的取值范围是 . 13. 《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 【答案】36 【解析】 【分析】在中，应用正弦定理求得，根据且计算即可求解CD. 【详解】由题设，在中， ， 由正弦定理得， ， 则m， 在中，由， 则, 所以m. 14. 正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________ 【答案】 【解析】 【分析】过C作交延长线于E点，则，结合图象，当位于点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 如图，过作交延长线（或反向延长线）于点， 则， 因为个正六边形的边长均为，如图，当位于点时，取得最大值， 此时，，， 则此时，即. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）求； （2）若向量与垂直，求实数的值； （3）设满足且，求的坐标. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及向量的模计算得解； （2）根据向量垂直的坐标表示即可； （3）根据向量共线设，再由模长公式求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，， 所以， 又与垂直，所以， 即，解得. 【小问3详解】 因为， 所以设， 所以， 解得或， 当时，；当时，. 所以的坐标为或. 16. 已知复数，，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可； （2）利用复数的几何意义和投影向量的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 由已知可得， 因为为纯虚数，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 17. 已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 【答案】（1） （2）最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）分析易得要使函数唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）根据正弦函数的性质求解即可； 【小问1详解】 ①，由，得 ； ②，由是的对称中心，得 ， 则，； ③，由， 因为可以由函数平移得到， 则，. 由上述可知，要使函数唯一确定，则必须要选③. 选①③，由上述可知，，， ， 则 ，即， 所以或，， 则或，， 又，则，即. 选②③，由上述可知，，，，， 则，，即，， 又，则，即. 【小问2详解】 由，得， 则，则， 所以函数在上的最大值为2，最小值为. 18. 如图，在四边形，，，，. （1）若，，求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理证得为等腰直角三角形，再由余弦定理求即可； （2）设，在与中利用正弦定理结合 可得 ，展开化简即可得其正切值. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 即， 解得，所以， 则为等腰直角三角形，所以， 则． 在中，由余弦定理得 ， 所以． 【小问2详解】 设，则由题意可知，． 在中，由正弦定理得，即， 即， 在中，由正弦定理得，即，即， 又，所以 ， 所以，解得，所以． 19. 已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）化简所给等式，根据，即可得解； （2）利用正弦定理，三角恒等变换，求出的范围，再由面积公式可得解； （3）令，由正弦定理及（2）可得的取值范围，再由对勾函数的单调性求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 即，所以， 即，因为是锐角，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，解得, 由正弦定理可得， 因为， 所以, 由，可知，所以, 所以，所以. 【小问3详解】 由，可设， 则， 由正弦定理，， 由（2）知，，， 由对勾函数的单调性知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 当时，，当时，， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赤峰市松山区2025-2026学年第二学期期中学业质量检测 高一数学试题 2026.05 （人教A版必修一第五章，人教A版必修二第六章第七章） 本试卷共8页，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.答选择题时，选出每小题答案后用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑线字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目固定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置. 1. 已知复数 ，则的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. （ ）． A. B. C. D. 3. 在中，角、、的对边分别为、、，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，满足，，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 是所在平面内一点，动点满足，则的轨迹一定通过的（ ） A. 内心 B. 重心 C. 外心 D. 垂心 7. 在中，点在边上，且，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数 ，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第一象限 10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 11. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 为钝角三角形 B. 若为的重心，则 C. 若，则为钝角三角形 D. 在中， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在中，角，，对应的边分别为，，，已知， ，若有两解，则的取值范围是_______________（写成区间的形式） 13. 《中国建筑史》（梁思成著）载：“大雄殿之左侧白塔凌空，高十三级，甚峻拔”.该塔位于莲溪县赤城镇白塔街，坐西向东，为四方形楼格式砖石塔，塔身白色，共十三层，自宋代始建以来至今已余年，充分体现了中国传统建筑技术水平.某数学兴趣小组为了测得塔高，如下图，在点测得塔底位于北偏东方向上的点处，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为____________（结果精确到整数，参考数据：） 14. 正六边形在中国传统文化中象征着“六合”与“六顺”，这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒，古建筑的窗户，古井口等.已知个边长均为的正六边形的摆放位置如图所示，为正六边形的顶点，是这个正六边形内部（包括边界）的动点，则的最大值为______________ 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知向量，. （1）求； （2）若向量与垂直，求实数的值； （3）设满足且，求的坐标. 16. 已知复数，，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 17. 已知函数（其中，，）.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定. （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：是的对称中心； 条件③：可以由函数平移得到. 18. 如图，在四边形，，，，. （1）若，，求； （2）求的值. 19. 已知锐角三角形的内角，，对应的边分别为，，，且满足. （1）求角； （2）若，求面积的取值范围； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $