专题01 三角函数与三角恒等变换全章18大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

专题01 三角函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01扇形的弧长与扇形面积公式 题型02利用三角函数的定义求值 题型03三角函数的符号判断 题型04 sina、cosa、tana知一求二 题型05正余弦齐次式的应用 题型05 sina·cosa、sina±cosa关系应用 题型06利用诱导公式化简求值 题型08求三角函数的定义域 题型09求三角函数的值域 题型10三角函数的奇偶性及应用 题型11三角函数的周期性及应用 题型12三角函数的对称性及应用 题型13三角函数的单调性及应用 题型14根据三角函数的性质求ω的取值范围 题型15三角恒等变换给角求值与给值求值 题型16三角恒等变换给值求角 题型17根据三角函数的图象求解析式 题型18三角函数图像变换问题 题型19三角函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与弧度制 1、能准确区分正角、负角、零角，熟练判断象限角与终边相同的角； 2、能熟练完成角度与弧度的互化，规范书写弧度制； 3、能依据定义求解扇形弧长、面积相关问题。 基础必考小题，多为选择、填空基础题；命题侧重公式直接应用与角度弧度换算； 易错点：终边相同角的集合书写不规范、扇形面积公式混淆、角度弧度混用计算失误 三角函数的定义 1、能根据终边上点的坐标，准确求解正弦、余弦、正切值； 2、能判断任意象限角的三角函数符号； 3、能利用三角函数定义化简简单三角式 高频基础考点，小题必考，偶尔融入解答题第一步；命题侧重定义理解与符号判断； 易错点：记错各象限三角函数符号、忽略终边在坐标轴上的特殊情况 同角三角函数的基本关系 1、能熟练运用平方关系、商数关系化简三角代数式； 2、能已知一个三角函数值，准确求解同角其余三角函数值； 3、能结合角的范围判断函数值正负，规避多解错误 高频重难点，小题、解答题均会考查；是三角化简求值的基础工具； 易错点：利用平方关系开方时忽略角的范围、公式混用、化简不彻底 三角函数的诱导公式 1、能熟记所有诱导公式，掌握“奇变偶不变，符号看象限”核心法则； 2、能快速完成任意角三角函数的化简、求值； 3、能利用诱导公式处理三角恒等变形 期末核心必考考点，贯穿所有三角题型；命题侧重公式灵活应用，不单独考公式默写； 易错点：记错奇偶性、符号判断错误、复杂角度诱导变形出错，是期末最易丢分的基础模块 三角函数的图象与性质 1、能画出、、的图象，理解图象的对称性、变换规律； 2、能熟练求三种函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间； 3、能利用函数性质解决简单的不等式、参数求解问题 期末重点难点，小题高频考查性质辨析，解答题常考最值、单调区间； 命题趋势：图像与性质综合考查、结合定义域限制求参数范围； 易错点：正切函数定义域遗忘、单调区间书写不规范、忽略周期性导致漏解/多解 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1、能由图象求A、ω、φ的参数值； 2、能分析y=Asin(ωx+φ)的周期、值域、单调性、对称轴与对称中心； 3、能进行图象的平移、伸缩变换 期末压轴小题、解答题高频考点，属于中高档题型；命题趋势：图像变换与解析式求解结合、多参数综合考查； 易错点：平移变换混淆左右、伸缩变换改变周期出错、φ的取值范围判断失误 三角函数的简单应用 1. 能将实际周期问题转化为三角函数模型；2. 能利用三角函数模型求解最值、周期、实际取值问题 低频解答题考点，部分期末试卷压轴应用题型；命题贴近生活周期场景（潮汐、波动、旋转等）； 易错点：建模错误、忽略实际问题的定义域限制 知识点01 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制、弧长公式及扇形面积公式 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点02 三角函数的概念 1、三角函数的定义 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 2、同角三角函数基本关系 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （3）商数关系：＝tan α. （3）基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． ②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ③sin α＝tan αcos α. 知识点03 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 知识点04 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点05 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2、二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3、辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 知识点06 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 题型一 扇形的弧长与面积公式 解｜题｜技｜巧 1、设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 2、解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点： （1）熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要灵活运用公式求解或列方程（组）； （2）最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。 【典例1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高一上·湖南娄底·期末）为美化校园环境，我校计划在教学楼之间修建一个周长为16米的扇形景观区域． (1)若要使该景观区域的面积不小于，求半径的取值范围？ (2)请问怎样设计能使该扇形区域面积最大，最大面积为多少？并求此时扇形圆心角的弧度的大小？ 【变式1-3】（25-26高一上·山东聊城·期末）某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. (1)求关于的函数解析式； (2)记弧，的长度分别为，求的最小值. 题型二 利用三角函数的定义求值 解｜题｜技｜巧 1、设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 2、解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点： （1）熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要灵活运用公式求解或列方程（组）； （2）最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。 【典例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·四川泸州·期末）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三 三角函数的符号判断 解｜题｜技｜巧 三角函数的符号如下图： 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 【典例3】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 【变式3-1】（24-25高一下·四川达州·期末）是角为第三象限角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】（24-25高一上·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第______象限． 题型四 sina、cosa、tana知一求二 解｜题｜技｜巧 1、核心依据：同角三角函数的基本关系，即sin²α+cos²α=1（恒成立，无定义域限制）和tanα=sinα/cosα（定义域限制：α≠π/2+kπ，k∈Z，即cosα≠0）。 2、解题步骤： 第一步，由已知的一个三角函数值，结合sin²α+cos²α=1，求出另一个三角函数值； 第二步，根据角α所在的象限，判断所求三角函数值的符号（开方时需确定正负，避免漏解）； 第三步，若需要求tanα，可利用tanα=sinα/cosα，代入已求出的sinα和cosα的值计算，注意此时需确保cosα≠0（若cosα=0，tanα 不存在）。 【典例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知为第一象限角.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高一上·广东江门·期末）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型五 正余弦齐次式的应用 解｜题｜技｜巧 化切求值的方法技巧： （1）对分式齐次式，因为，一般可在分子和分母中同时除以，使所求代数式化为关于的代数式，从而得解； （2）对整式（一般是指关于）齐次式，把分母看为“1”，用替换“1”，从而把问题转化为分式齐次式，在分子和分母中同时除以，即可得到关于的代数式，从而得解。 【典例5】（24-25高一下·安徽淮北·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，且终边过点，则______． 【变式5-1】（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知，则______． 【变式5-2】（24-25高一下·云南保山·期末）已知角的终边落在上，则______． 【变式5-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 题型六 sina±cosa、sina·cosa关系应用 解｜题｜技｜巧 ，，三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：。求解过程中需注意三角函数值的符号。 【典例6】（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为_________． 【变式6-1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知，则______． 【变式6-2】（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（25-26高一上·广东深圳·期末）（多选）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型七 利用诱导公式化简求值 解｜题｜技｜巧 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【典例7】（25-26高一上·重庆·期末）（    ） A．1 B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，则___________ 【变式7-3】（25-26高一上·河南·期末）若，则______． 题型八 求三角函数的定义域 解｜题｜技｜巧 正切函数的定义域为 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例8】（25-26高一上·广东湛江·期末）函数的定义域为______． 【变式8-1】（25-26高一上·山西运城·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高一下·安徽淮北·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（25-26高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型九 求三角函数的值域 解｜题｜技｜巧 正（余）弦函数的值域或最值求法 （1）直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； （2）化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； （3）换元法： 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 【典例9】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）定义运算为：，则函数的值域为__________. 【变式9-2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）写出函数取得最大值时的的取值集合：__________. 【变式9-3】（25-26高一上·广东广州·期末）已知，则的最小值为________． 题型十 三角函数的奇偶性及应用 解｜题｜技｜巧 与三角函数奇偶性相关的结论： 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例10】（24-25高一上·贵州铜仁·期末）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数在的最大值和最小值分别为，则___________． 题型十一 三角函数的周期性及应用 解｜题｜技｜巧 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解。 【典例11】（24-25高一下·北京·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（25-26高一上·四川德阳·期末）已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D．4 【变式11-2】（25-26高一上·云南昭通·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（25-26高一上·湖北·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 题型十二 三角函数的对称性及应用 解｜题｜技｜巧 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 【典例12】（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）函数的对称轴为_______________. 【变式12-2】（25-26高一上·江苏无锡·期末）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【变式12-3】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 题型十三 三角函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 1、求三角函数的单调区间： （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知三角函数的单调性求参数 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例13】（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25高一下·天津红桥·期末）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高一下·山东德州·月考）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25高一下·湖北孝感·期末）（多选）下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 题型十四 根据三角函数的性质求ω的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 【典例14】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 【变式14-1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（25-26高一上·广东汕头·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【变式14-3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（    ） A． B．2 C．5 D． 题型十五 三角恒等变换给角求值与给值求值 解｜题｜技｜巧 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． 【典例15】（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26高一上·山东淄博·期末）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【变式15-3】（25-26高一上·天津·期末）已知为第一象限角，，，则_____. 题型十六 三角恒等变换给值求角 解｜题｜技｜巧 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【典例16】（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则______________． 【变式16-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式16-3】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十七 根据三角函数的图象求解析式 解｜题｜技｜巧 给出的图象的一部分，确定，，的方法： （1）第一零点法：如果从图象可直接确定和，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得）； （2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，，。这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式； （3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，在根据图象平移规律确定相关的参数。 【典例17】（25-26高一上·天津南开·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 【变式17-1】（25-26高一上·广东潮州·期末）设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【变式17-2】（24-25高一下·北京西城·期末）函数（，）的部分图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式17-3】（24-25高一下·湖北襄阳·期末）如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（    ） A．1 B． C． D． 题型十八 三角函数图像变换问题 解｜题｜技｜巧 1、振幅变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数（其中且）的图象，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、从到的两种变换途径 【典例18】（24-25高一下·安徽淮北·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式18-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【变式18-2】（24-25高一下·河南南阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【变式18-3】（25-26高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型十九 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 运用三角函数模型解决问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 【典例19】（24-25高一下·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为______． 【变式19-1】（24-25高一下·安徽淮北·期末）某手工制作活动，需要在半径为，圆心角为的扇形纸片的内部裁剪出一个平行四边形，如图所示，则这个平行四边形的面积最大值为______． 【变式19-2】（24-25高一下·江西·阶段检测）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（    ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【变式19-3】（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（    ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）＝（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（    ） A．75 B．150 C．200 D．400 3．（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·宁夏银川·期末）函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（欧萱）已知，则（    ） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 3．（25-26高一上·湖北荆州·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．在上单调递减 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01扇形的弧长与扇形面积公式 题型02利用三角函数的定义求值 题型03三角函数的符号判断 题型04 sina、cosa、tana知一求二 题型05正余弦齐次式的应用 题型05 sina·cosa、sina±cosa关系应用 题型06利用诱导公式化简求值 题型08求三角函数的定义域 题型09求三角函数的值域 题型10三角函数的奇偶性及应用 题型11三角函数的周期性及应用 题型12三角函数的对称性及应用 题型13三角函数的单调性及应用 题型14根据三角函数的性质求ω的取值范围 题型15三角恒等变换给角求值与给值求值 题型16三角恒等变换给值求角 题型17根据三角函数的图象求解析式 题型18三角函数图像变换问题 题型19三角函数的实际应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 任意角与弧度制 1、能准确区分正角、负角、零角，熟练判断象限角与终边相同的角； 2、能熟练完成角度与弧度的互化，规范书写弧度制； 3、能依据定义求解扇形弧长、面积相关问题。 基础必考小题，多为选择、填空基础题；命题侧重公式直接应用与角度弧度换算； 易错点：终边相同角的集合书写不规范、扇形面积公式混淆、角度弧度混用计算失误 三角函数的定义 1、能根据终边上点的坐标，准确求解正弦、余弦、正切值； 2、能判断任意象限角的三角函数符号； 3、能利用三角函数定义化简简单三角式 高频基础考点，小题必考，偶尔融入解答题第一步；命题侧重定义理解与符号判断； 易错点：记错各象限三角函数符号、忽略终边在坐标轴上的特殊情况 同角三角函数的基本关系 1、能熟练运用平方关系、商数关系化简三角代数式； 2、能已知一个三角函数值，准确求解同角其余三角函数值； 3、能结合角的范围判断函数值正负，规避多解错误 高频重难点，小题、解答题均会考查；是三角化简求值的基础工具； 易错点：利用平方关系开方时忽略角的范围、公式混用、化简不彻底 三角函数的诱导公式 1、能熟记所有诱导公式，掌握“奇变偶不变，符号看象限”核心法则； 2、能快速完成任意角三角函数的化简、求值； 3、能利用诱导公式处理三角恒等变形 期末核心必考考点，贯穿所有三角题型；命题侧重公式灵活应用，不单独考公式默写； 易错点：记错奇偶性、符号判断错误、复杂角度诱导变形出错，是期末最易丢分的基础模块 三角函数的图象与性质 1、能画出、、的图象，理解图象的对称性、变换规律； 2、能熟练求三种函数的定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间； 3、能利用函数性质解决简单的不等式、参数求解问题 期末重点难点，小题高频考查性质辨析，解答题常考最值、单调区间； 命题趋势：图像与性质综合考查、结合定义域限制求参数范围； 易错点：正切函数定义域遗忘、单调区间书写不规范、忽略周期性导致漏解/多解 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1、能由图象求A、ω、φ的参数值； 2、能分析y=Asin(ωx+φ)的周期、值域、单调性、对称轴与对称中心； 3、能进行图象的平移、伸缩变换 期末压轴小题、解答题高频考点，属于中高档题型；命题趋势：图像变换与解析式求解结合、多参数综合考查； 易错点：平移变换混淆左右、伸缩变换改变周期出错、φ的取值范围判断失误 三角函数的简单应用 1. 能将实际周期问题转化为三角函数模型；2. 能利用三角函数模型求解最值、周期、实际取值问题 低频解答题考点，部分期末试卷压轴应用题型；命题贴近生活周期场景（潮汐、波动、旋转等）； 易错点：建模错误、忽略实际问题的定义域限制 知识点01 任意角与弧度制 1、角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}． 2、弧度制、弧长公式及扇形面积公式 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 知识点02 三角函数的概念 1、三角函数的定义 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 叫做α的正弦，记作sin α 叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 2、同角三角函数基本关系 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1. （3）商数关系：＝tan α. （3）基本关系式的几种变形 ①sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)． ②(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. ③sin α＝tan αcos α. 知识点03 三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 “奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是指π/2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化。 知识点04 三角函数的图象与性质 1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)． (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)． 2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点05 三角恒等变换 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β) T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) 【注意】在公式T(α±β)中α，β，α±β都不等于kπ＋(k∈Z)，即保证tan α，tan β，tan(α±β)都有意义． 2、二倍角公式 S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2 C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝ 3、辅助角公式 一般地，函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)可以化为f(α)＝sin(α＋φ) 或f(α)＝cos(α－φ) . 知识点06 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ) 振幅 周期 频率 相位 初相 (A>0，ω>0) A T＝ f＝＝ ωx＋φ 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0) ωx＋φ 0 π 2π x － － － y＝Asin(ωx＋φ) 0 0 －A 0 3、三角函数的图象变换 由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法 题型一 扇形的弧长与面积公式 解｜题｜技｜巧 1、设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 2、解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点： （1）熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要灵活运用公式求解或列方程（组）； （2）最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。 【典例1】（24-25高一下·辽宁葫芦岛·期末）扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为.故选：D 【变式1-1】（25-26高一下·湖南长沙·期末）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，因为圆心角，弧CD的长为， 代入弧长公式可得，解得．所以． 由扇形面积公式可得，， ， 所以此扇面的面积．故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·湖南娄底·期末）为美化校园环境，我校计划在教学楼之间修建一个周长为16米的扇形景观区域． (1)若要使该景观区域的面积不小于，求半径的取值范围？ (2)请问怎样设计能使该扇形区域面积最大，最大面积为多少？并求此时扇形圆心角的弧度的大小？ 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）设该扇形的弧长为，， ， ∴半径的取值范围在. （2）， ， 当且仅当时取得最大值， 所以当半径为，扇形的弧长为时，最大面积为，且圆心角. 【变式1-3】（25-26高一上·山东聊城·期末）某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. (1)求关于的函数解析式； (2)记弧，的长度分别为，求的最小值. 【答案】(1)且；(2). 【解析】（1）由题意，则， 所以且； （2）由 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值. 题型二 利用三角函数的定义求值 解｜题｜技｜巧 1、设扇形的半径为，弧长为，或°为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： 类别/度量单位 角度制 弧度制 扇形的弧长 扇形的面积 2、解决弧长与扇形面积最值问题需要注意两点： （1）熟练掌握弧长公式与扇形面积公式；当涉及到扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算时，要灵活运用公式求解或列方程（组）； （2）最值问题时常常结合函数的单调性或者基本不等式进行求解。 【典例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意有， 所以.故选：A. 【变式2-1】（24-25高一下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，.故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·四川泸州·期末）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A．-6 B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，其中，为坐标原点， 则，所以.故选：D. 【变式2-3】（24-25高一上·贵州毕节·期末）（多选）已知角的终边经过点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意角的终边经过点，且，可知， 解得，故A正确，B错误； 所以角的终边经过点，所以，故C正确，D错误.故选：AC. 题型三 三角函数的符号判断 解｜题｜技｜巧 三角函数的符号如下图： 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正． 【典例3】（24-25高一下·江西宜春·期末）已知，则可能为（    ） A．第一或二象限角 B．第二或三象限角 C．第一或三象限角 D．第三或四象限角 【答案】A 【解析】因为，所以或， 所以可能为第一象限角或第二象限角．故选：A． 【变式3-1】（24-25高一下·四川达州·期末）是角为第三象限角的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】可得或，即为第三象限角或第二象限角， 所以是角为第三象限角的必要不充分条件.故选：B. 【变式3-2】（24-25高一上·安徽宿州·期末）点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，，即为第二象限角，为第四象限角， 所以，，所以点在平面直角坐标系中位于第三象限.故选：C. 【变式3-3】（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知是第四象限的角，则点在第______象限． 【答案】二 【解析】因为是第四象限的角，所以， 故点在第二象限. 题型四 sina、cosa、tana知一求二 解｜题｜技｜巧 1、核心依据：同角三角函数的基本关系，即sin²α+cos²α=1（恒成立，无定义域限制）和tanα=sinα/cosα（定义域限制：α≠π/2+kπ，k∈Z，即cosα≠0）。 2、解题步骤： 第一步，由已知的一个三角函数值，结合sin²α+cos²α=1，求出另一个三角函数值； 第二步，根据角α所在的象限，判断所求三角函数值的符号（开方时需确定正负，避免漏解）； 第三步，若需要求tanα，可利用tanα=sinα/cosα，代入已求出的sinα和cosα的值计算，注意此时需确保cosα≠0（若cosα=0，tanα 不存在）。 【典例4】（24-25高一下·湖南邵阳·期末）已知为第一象限角.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 又因为为第一象限角，所以.故选：D. 【变式4-1】（24-25高一下·江西南昌·期末）已知α为锐角，若，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】已知知α为锐角，则， 则.故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以角在第二象限，则， 由  ①   ② 联立解得：，故选：D. 【变式4-3】（25-26高一上·广东江门·期末）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 所以，化简得， 解得或，又是第三象限角， 所以，进而得到. 所以.故选：D. 题型五 正余弦齐次式的应用 解｜题｜技｜巧 化切求值的方法技巧： （1）对分式齐次式，因为，一般可在分子和分母中同时除以，使所求代数式化为关于的代数式，从而得解； （2）对整式（一般是指关于）齐次式，把分母看为“1”，用替换“1”，从而把问题转化为分式齐次式，在分子和分母中同时除以，即可得到关于的代数式，从而得解。 【典例5】（24-25高一下·安徽淮北·期末）已知角的始边与轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，且终边过点，则______． 【答案】 【解析】根据角的终边过点，利用三角函数的定义式，可以求得， 所以有． 【变式5-1】（24-25高一下·湖北恩施·期末）已知，则______． 【答案】1 【解析】因为， 所以． 所以， 因为， 所以. 【变式5-2】（24-25高一下·云南保山·期末）已知角的终边落在上，则______． 【答案】 【解析】角的终边落在上， ， ． 【变式5-3】（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 可得.故选：A. 题型六 sina±cosa、sina·cosa关系应用 解｜题｜技｜巧 ，，三个式子中，已知其中一个，可求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：。求解过程中需注意三角函数值的符号。 【典例6】（24-25高一下·上海·期末）若，且，则的值为_________． 【答案】 【解析】，得， 则， 且，则，所以. 【变式6-1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知，则______． 【答案】 【解析】由，得， 解得，所以， 又因为，且，所以，，所以， 则， 【变式6-2】（24-25高一下·江西赣州·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 故， 又且，故， ，故.故选：A. 【变式6-3】（25-26高一上·广东深圳·期末）（多选）已知，，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由，则，化简得，故A正确； 对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 题型七 利用诱导公式化简求值 解｜题｜技｜巧 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 （1）“负化正”：用公式一或三来转化． （2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角． （3）“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角． （4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值． 【典例7】（25-26高一上·重庆·期末）（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【变式7-1】（25-26高一上·安徽铜陵·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】易知.故选：A 【变式7-2】（24-25高一上·福建莆田·期末）已知，则___________ 【答案】 【解析】. 【变式7-3】（25-26高一上·河南·期末）若，则______． 【答案】 【解析】由可得， 所以 . 题型八 求三角函数的定义域 解｜题｜技｜巧 正切函数的定义域为 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解． 【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略． 【典例8】（25-26高一上·广东湛江·期末）函数的定义域为______． 【答案】 【解析】由题知，解得． 即函数的定义域为. 【变式8-1】（25-26高一上·山西运城·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，即， 解得，即， 所以函数的定义域为.故选：D. 【变式8-2】（24-25高一下·安徽淮北·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意得，, 解得,解得. 故原函数的定义域为. 【变式8-3】（25-26高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使函数有意义，需满足： ，解得：. 所以函数的定义域为 .故选：B 题型九 求三角函数的值域 解｜题｜技｜巧 正（余）弦函数的值域或最值求法 （1）直接法：形如y＝asin x＋k或y＝acos x＋k的三角函数，直接利用sin x，cos x的值域求出； （2）化一法：形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)； （3）换元法： 形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)； 形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值) 【典例9】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则， 因为在上单调递增，所以， 又单调递减，且， 所以，即的值域是.故选：B. 【变式9-1】（25-26高一上·湖北武汉·期末）定义运算为：，则函数的值域为__________. 【答案】 【解析】当时，， 当时，； 当时， 当时，， 所以当时，的值域为， 又和的周期均为，所以函数的值域为. 【变式9-2】（24-25高一上·安徽合肥·期末）写出函数取得最大值时的的取值集合：__________. 【答案】 【解析】， 时，函数有最大值， 的取值集合为. 故答案为：. 【变式9-3】（25-26高一上·广东广州·期末）已知，则的最小值为________． 【答案】 【解析】令，则， 则， 所以当时，函数取得最小值， 所以当时，函数取得最小值. 题型十 三角函数的奇偶性及应用 解｜题｜技｜巧 与三角函数奇偶性相关的结论： 三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．常见的结论有： （1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． （2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)． （3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)． 【典例10】（24-25高一上·贵州铜仁·期末）下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，函数的定义域为，， 即函数为偶函数， 且，即函数在上为减函数，在上为增函数， 所以，函数在上不单调，A不满足要求； 对于B选项，函数为奇函数，该函数的定义域为， 函数在定义域上不单调，B不满足要求； 对于C选项，函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数， 因为函数在上为增函数，则该函数在上为增函数， 故函数在上为增函数，C满足要求； 对于D选项，函数为奇函数，且该函数在定义域上不单调，D不满足要求.故选：C. 【变式10-1】（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，函数的定义域为，且， 即，故为奇函数，故选项A正确； 对于B，函数的定义域为，不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数，故选项B错误； 对于C，函数的定义域为，，均不恒为0， 故为非奇非偶函数，故选项C错误； 对于D，函数的定义域为，且， 所以为偶函数，故选项D错误.故选：A． 【变式10-2】（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】函数的定义域为关于原点对称， 又，所以是偶函数，故A不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以是奇函数，故B符合题意， 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以且，所以是非奇非偶函数，故C不符合题意； 函数的定义域为关于原点对称，又， 所以是偶函数，故D不符合题意．故选：B 【变式10-3】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数在的最大值和最小值分别为，则___________． 【答案】2 【解析】设，， 则， ， 所以是奇函数， 又，， 所以，． 题型十一 三角函数的周期性及应用 解｜题｜技｜巧 求三角函数周期的方法： 1、定义法，即利用周期函数的定义求解； 2、公式法，对形如（，，是常数，,）的函数，； 3、图象法，即通过画出函数图象，通过图象观察即可。 三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解。 【典例11】（24-25高一下·北京·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知的最小正周期为，的最小正周期为； 而的最小正周期为，的最小正周期为.故选：D 【变式11-1】（25-26高一上·四川德阳·期末）已知函数的最小正周期为，则正数的值等于（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】因为函数的最小正周期为， 则，所以，故选：B 【变式11-2】（25-26高一上·云南昭通·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，故选：B． 【变式11-3】（25-26高一上·湖北·期末）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数是将位于轴下方的图像关于轴翻上去， 函数图象如图所示， 函数的最小正周期为.故选：C. 题型十二 三角函数的对称性及应用 解｜题｜技｜巧 1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点； 2、公式法： （1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为； （2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为； （3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z 【典例12】（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 即函数的对称中心为， 结合各选项，可知仅满足题意，故B正确，A，C，D均错误.故选：B. 【变式12-1】（24-25高一下·陕西渭南·期末）函数的对称轴为_______________. 【答案】 【解析】由题意有：令，解得， 故答案为：. 【变式12-2】（25-26高一上·江苏无锡·期末）函数的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正切函数图象性质令，解得， 若，不满足题意，A错误； 若，可得时，此时的对称中心为，B正确； 若，不满足题意，C错误； 若，不满足题意，D错误.故选：B 【变式12-3】（24-25高一上·四川泸州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线 C．是奇函数 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确； 对于B，因，而， 则数图象的一条对称轴是直线，B正确； 对于C，， 令，， ，所以不是奇函数，C不正确； 对于D，取，显然有，而，， 此时，D不正确.故选：B 题型十三 三角函数的单调性及应用 解｜题｜技｜巧 1、求三角函数的单调区间： （1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解； （2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域． 2、已知三角函数的单调性求参数 （1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解； （2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解； （3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。 【典例13】（24-25高一下·四川成都·期末）已知函数在区间上单调，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为在上单调递增， 在上单调递减，且， 所以当时，即时，函数在上单调递增， 则的取值范围.故选：B. 【变式13-1】（24-25高一下·天津红桥·期末）函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 故的单调减区间为， 对比各选项，只有C符合.故选：C. 【变式13-2】（24-25高一下·山东德州·月考）函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，可得． 所以当时，，故满足条件， 当时，，故满足条件；故选：D 【变式13-3】（24-25高一下·湖北孝感·期末）（多选）下列函数中，周期为π，且在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，的周期为π，在上单调递增，符合要求; 对于B，的周期为，不符合要求; 对于C，的周期为π，在上单调递增，符合要求; 对于D，的周期为π，在上不单调，不符合要求.故选：AC. 题型十四 根据三角函数的性质求ω的取值范围 解｜题｜技｜巧 1、依托于三角函数的周期性 因为的最小正周期是，所以，也就是说只要确定了周期T，就可以确定的取值. 2、利用三角函数的对称性 （1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究的取值。 （2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与轴的交点（零点），也就是说我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而可以确定的取值. 3、结合三角函数的单调性 函数的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于，据此可用来求的值或范围。 反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数在指定区间上具有单调性，我们忘完可以通过调整周期长度来实现，犹如通过弹簧的伸缩来抬举三角函数在区间上的单调性和最值等。 【典例14】（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数在区间上不单调，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为. 【变式14-1】（25-26高一上·广东广州·期末）已知函数在上的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，由，得：， 原题转化为在上的值域为， 作出的图象， 由，结合图象， 可得：，解得：.故选：C 【变式14-2】（25-26高一上·广东汕头·期末）设，若函数在区间上单调递增，则的最大值为______． 【答案】2 【解析】令，， 可得，． 因为在区间上单调递增， 所以，，解得，， 由，得， 当时，可得，故的最大值为2． 【变式14-3】（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（    ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【解析】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这三个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为故选：D 题型十五 三角恒等变换给角求值与给值求值 解｜题｜技｜巧 “给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法．关键是把“所求角”用“已知角”表示． ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式； ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系． 【典例15】（25-26高一上·江苏南京·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B 【变式15-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以.故选：B 【变式15-2】（25-26高一上·山东淄博·期末）已知，，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为，即 所以，， 所以故选：C 【变式15-3】（25-26高一上·天津·期末）已知为第一象限角，，，则_____. 【答案】 【解析】因为为第一象限角，则， 又，可知为第一象限角， 所以，所以， 又， 所以. 题型十六 三角恒等变换给值求角 解｜题｜技｜巧 实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．遵照以下原则： （1）已知正切函数值，选正切函数；（2）已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好． 【典例16】（24-25高一下·上海青浦·期末）若、都是锐角，且，，则______________． 【答案】 【解析】由题意有，所以，又，， 所以， 所以 ， 又，所以. 【变式16-1】（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知、，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， 所以， 又因为、，所以，， 则，，所以， 因为， 所以，故.故选：B. 【变式16-2】（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 得，所以， 又，所以， 即， 整理得，即， 所以一个钝角一个锐角，所以， 所以， 所以.故选：C 【变式16-3】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知，为锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，为锐角，，， 所以，， 所以， 则， 所以，故选：A． 题型十七 根据三角函数的图象求解析式 解｜题｜技｜巧 给出的图象的一部分，确定，，的方法： （1）第一零点法：如果从图象可直接确定和，则选取“第一零点”（即“五点法”作图中的第一个点）的数据代入“”（要注意正确判断哪一点是“第一零点”求得）； （2）特殊点法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数，，。这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式； （3）图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式，在根据图象平移规律确定相关的参数。 【典例17】（25-26高一上·天津南开·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】由图可知，，，， 又图象过，， ，解得， 又，故令时，. ，.故选：D. 【变式17-1】（25-26高一上·广东潮州·期末）设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察图象，得函数的最小正周期， 而，则，解得，当时，， 可得，不符合题意； 当时，，，符合题意， 因此，，， ，， 因此函数图象的一个对称中心为，则A，B，D不是，C是.故选：C 【变式17-2】（24-25高一下·北京西城·期末）函数（，）的部分图象如图所示，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】由图可知当时，，又，解得， 又由图可知，所以为的对称轴， 则，，结合图象，即， 则解得，故A正确.故选：A. 【变式17-3】（24-25高一下·湖北襄阳·期末）如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，， ，， ，， 又，，，， ，．故选：B. 题型十八 三角函数图像变换问题 解｜题｜技｜巧 1、振幅变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到． 2、平移变换：要得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到． 3、周期变换：要得到函数（其中且）的图象，可以把函数上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到． 4、从到的两种变换途径 【典例18】（24-25高一下·安徽淮北·期末）要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】因为， 所以只需要将函数的图象操作如下， 向左平移个单位长度就可以得到的图象． 【变式18-1】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（    ） A．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 D．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】只需把余弦曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象；故选：A. 【变式18-2】（24-25高一下·河南南阳·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，的图象可由函数的图象向左平移个单位长度， 再将所得函数的图象横坐标缩短到原来的得到（纵坐标不变）， 所以.故选：B 【变式18-3】（25-26高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象向左平移个单位长度，则， 横坐标缩短到原来的，则， 纵坐标伸长到原来的倍，则.故选：A 题型十九 三角函数的实际应用 解｜题｜技｜巧 运用三角函数模型解决问题的几种类型 （1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． （2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． （3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 【典例19】（24-25高一下·贵州安顺·期末）某实验室一天的温度y（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系，，a，b为正实数，若该实验室这一天的最大温差为10℃，则的最大值为______． 【答案】 【解析】因为， 且的最小正周期为，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 所以最大温差为， 由题意得，即 又因为为正实数， 则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 【变式19-1】（24-25高一下·安徽淮北·期末）某手工制作活动，需要在半径为，圆心角为的扇形纸片的内部裁剪出一个平行四边形，如图所示，则这个平行四边形的面积最大值为______． 【答案】 【解析】如图，分别过，作于点，于点， 则四边形为矩形． 设, 由扇形半径为，圆心角为， 得，， 则， 则平行四边形的面积为， 故当时，. 【变式19-2】（24-25高一下·江西·阶段检测）由于潮汐，某港口一天24h的海水水位（单位：m）随时间（单位：）的变化近似满足关系式，若一天中最高水位为14m，最低水位为6m，则该港口一天内水位不小于8m的时长为（    ） A．12h B．14h C．16h D．18h 【答案】C 【解析】由题知解得所以． 令，即．因为，所以， 由正弦函数图象与性质可知，，解得， 所以该港口一天内水位不小于8m的时长为小时．故选：C 【变式19-3】（24-25高一下·山东枣庄·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今仍在农业生产中发挥作用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．一半径为2m的筒车水轮如图，水轮圆心O距离水面1m，已知水轮每30s逆时针匀速转动一圈，如果当水轮上的点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列结论错误的是（    ） A．点P再次进入水中用时20s B．当水轮转动25s时，点P处于最低点 C．当水轮转动28.75s时，点P距离水面 D．点P第三次到达距水面时用时42.5s 【答案】D 【解析】由题意，角速度弧度/秒， 又由水轮的半径为2米，且圆心O距离水面1米， 可知半径与水面所成角为，点P再次进入水中用时为秒，故A正确； 当水轮转动25秒时，半径转动了弧度， 而，点P正好处于最低点，故B正确； 当水轮转动28.75秒时，由于， 又，所以距水面高度为米，故C正确； 逆时针转动一周时，两次到达离水面高度为用时30秒， 所以第三次到达距水面高度为时需要转动一周后再逆时针转动弧度， 此时用时为秒， 所以点P第三次到达距水面米时用时37.5秒，故D错误．故选：D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·陕西西安·期末）＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A. 2．（24-25高一下·辽宁·期末）已知某扇形的周长为60，圆心角为4，则该扇形的面积为（    ） A．75 B．150 C．200 D．400 【答案】C 【解析】设该扇形的弧长、半径分别为l，r，则，解得， 所以该扇形的面积为.故选：C 3．（24-25高一下·江西宜春·期末）若角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，所以.故选：D. 4．（25-26高一上·宁夏银川·期末）函数的定义域是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由函数解析式可知：，.故选：D 5．（24-25高一下·江西南昌·期末）若点是函数图象的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 则由，，可得函数的图象的对称中心的横坐标为，， 又，所以当时，取的最小值，故选：C 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·江苏南通·期中）（多选）下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，， D正确.故选：ACD. 2．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）（欧萱）已知，则（    ） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 【答案】ACD 【解析】设，则. 代入，得：. 解得： 因为，与同号，故，两解均成立. 故A对. 当时，，故，即. 设，（），则， 此时，，故B错. 当时，，故. 所以，故C对. 当为第三象限角时，，，故. 所以 开方，故D对. 故选：ACD. 3．（25-26高一上·湖北荆州·期末）（多选）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．在上单调递减 【答案】AD 【解析】由题设， 对于A，，故的图象关于点对称，故A正确； 对于B, ， 故不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，当时，， 故，故， 故，此时，故C错误； 对于D，当时，， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确； 故选：AD. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件.故选：A. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，则，则， 则.故选：D. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：B 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $