期中专题01 正弦定理与余弦定理【6大题型】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题01 正弦定理与余弦定理 题型预览 题型一 正余弦定理解三角形 题型二 正余弦定理边角互化的应用 题型三 三角形面积公式应用 题型四 判断三角形解的个数 题型五 判断三角形的形状 题型六 利用正余弦定理解决实际问题 知识清单 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点4　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 题型突破 题型一 正余弦定理解三角形 1．（湖南长沙市明达教学共同体2025-2026学年下学期高一期中联考数学试题）在中，已知，，，则_______________ 2．（25-26高一下·天津西青·期中）已知的三个内角A，B，C的对边分别是，，，，，，则角C为（    ） A．或 B．或 C． D． 3．（2026·宁夏·一模）在中，已知，则（    ）. A． B． C． D． 4．（25-26高一下·天津西青·期中）已知的三个内角的对边分别是，若，则角的大小为______. 题型二 正余弦定理边角互化的应用 5．（2026·山东泰安·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．5 6．（25-26高一下·海南·月考）已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·陕西渭南·模拟预测）设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 8．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·宁夏银川·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 10．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 题型三 三角形面积公式应用 11．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，若，且的面积为4，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 12．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 13．（25-26高一下·江苏常州·期中）记的内角所对的边分别为.已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高一下·山东济南·月考）（多选）满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 15．（25-26高一下·江苏苏州·期中）（多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（   ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．可能为钝角三角形 16．（25-26高一下·河北石家庄·月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长，，直接求三角形面积的公式，表达式为：，；它的特点是形式漂亮，便于记忆．现在有周长为的满足，则的面积为（    ） A． B． C． D．12 题型四 判断三角形解的个数 17．（25-26高三·全国·三轮复习）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（   ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 18．（25-26高一下·重庆·月考）中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 19．（25-26高一下·山东枣庄·月考）若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型五 判断三角形的形状 21．（25-26高一下·天津西青·期中）已知三个内角满足，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 22．（25-26高一下·湖南·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 23．（25-26高一下·江苏南京·期中）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一下·山东济南·期中）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 25．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）（多选）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 26．（25-26高一下·湖北武汉·月考）（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．若，则 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 题型六 利用正余弦定理解决实际问题 27．（25-26高一下·河北邢台·月考）如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 28．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（   ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A．5 B．10 C．15 D．20 29．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 30．（25-26高一下·山东临沂·月考）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 31．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 32．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 强化训练 1．（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中，角所对的边分别为．若，则 =（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·山东枣庄·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角等于（   ） A． B．或 C． D． 4．（25-26高一下·山西晋中·期中）内角，，所对边分别为，，，若，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·福建福州·期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·河南·期中）在中，，，且的面积为，则（    ）． A．3 B． C． D． 7．（25-26高一上·湖南株洲·期中）（多选）在中，角所对的边分别为，则下列选项正确的是（   ） A．若，则， B．若为锐角三角形，则可能有 C．若，，，则解此的结果有一解． D．若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）（多选）在中，已知，则（    ） A． B． C． D．的面积为3 9．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·月考）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，则，且 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 10．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 11．（2026高三上·贵州贵阳·专题练习）在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是__________. 12．（25-26高一下·天津西青·期中）已知中三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则______． 13．（25-26高一下·江苏淮安·月考）在锐角中，，，分别是角，，的对边，且，则的最小值是______． 14．（2026·江西·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，点D在边CA的延长线上，，且，求的面积． 15．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 正弦定理与余弦定理 题型预览 题型一 正余弦定理解三角形 题型二 正余弦定理边角互化的应用 题型三 三角形面积公式应用 题型四 判断三角形解的个数 题型五 判断三角形的形状 题型六 利用正余弦定理解决实际问题 知识清单 知识点1　余弦定理 语言 表述 三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍． 符号 表示 a2＝b2＋c2－2bc cos A； b2＝a2＋c2－2ac cos B； c2＝a2＋b2－2ab cos C． 推论 cos A＝； cos B＝； cos C＝． 作用 实现三角形边与角的互化 知识点2　正弦定理 语言 表述 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 符号 表示 ＝＝＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) 变形 (1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝ 作用 实现三角形边与角的互化 知识点3　三角形的面积公式 (1)S△ABC＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别为边a，b，c上的高)． (2)S△ABC＝ab sin C＝bc sin A＝ac sin B，即三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半． (3)（r是三角形内切圆的半径，R是三角形外接圆的半径 ） (4)，其中 知识点4　实际问题中的有关术语 名称 定义 图示 仰角与 俯角 在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α 方向角 从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°．如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30° 题型突破 题型一 正余弦定理解三角形 1．（湖南长沙市明达教学共同体2025-2026学年下学期高一期中联考数学试题）在中，已知，，，则_______________ 【答案】 【分析】根据余弦定理，可得c值，根据正弦定理，代入求解，即可得答案. 【详解】根据余弦定理，，所以， 根据正弦定理，则， 解得. 2．（25-26高一下·天津西青·期中）已知的三个内角A，B，C的对边分别是，，，，，，则角C为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】借助正弦定理计算可得，即可得角. 【详解】由正弦定理可得，即有， 由，故，则，故或. 3．（2026·宁夏·一模）在中，已知，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得：. 4．（25-26高一下·天津西青·期中）已知的三个内角的对边分别是，若，则角的大小为______. 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为， 所以 题型二 正余弦定理边角互化的应用 5．（2026·山东泰安·模拟预测）已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．4 B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用降幂公式及正弦定理将边化为角后结合辅助角公式可求出，再利用余弦定理计算即可得. 【详解】由，得， ， ，.，， ，，，， 由余弦定理， 得，解得. 6．（25-26高一下·海南·月考）已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即， 由，所以， 因为，则， 所以，而，则，且， 所以，则得. 7．（2026·陕西渭南·模拟预测）设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式，结合同角三角函数商数关系即可求解. 【详解】因为，由正弦定理化边为角可得， 因为， 所以， 整理可得，所以，即，所以. 8．（25-26高一下·江苏苏州·月考）已知锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，，则的面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理求得角，然后利用三角形面积公式和正弦定理，将面积表示为的正弦型函数，根据三角函数的图象性质即可求解． 【详解】由，和余弦定理，可得， ，所以， 又由正弦定理，可得，则， 所以的面积 ， 因为为锐角三角形， 由解得，则，， 故. 9．（2026·宁夏银川·一模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则__________． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理及正弦定理求解即可. 【详解】， 由余弦定理可得：， ，， 由，及正弦定理可知，， . 10．（2026·贵州六盘水·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理的推论将化成边的关系，化简整理，再根据余弦定理的推论得，从而求得. 【详解】由余弦定理的推论，结合， 得， 整理得，所以. 所以. 因为，所以. 题型三 三角形面积公式应用 11．（25-26高一下·湖北武汉·期中）已知的内角、、的对边分别为、、，若，且的面积为4，则的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】使用正弦定理和三角形面积公式求解即可. 【详解】因为， 由正弦定理得, 所以， 当且仅当时等号成立， 又因为， 所以，， 即是等腰直角三角形， 又因为， 所以， 所以. 12．（25-26高一下·江苏宿迁·期中）在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 【答案】8 【分析】利用两角和的正弦展开式得，由正弦定理得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以 ， ， 所以， 则的面积为. 故答案为：8. 13．（25-26高一下·江苏常州·期中）记的内角所对的边分别为.已知的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面积公式及条件，结合余弦定理，可得，根据同角三角函数的关系，即可得答案. 【详解】由面积公式得，则， 由余弦定理得， 两式联立得， 由，即， 又，则， 整理得，解得或（舍）. 14．（25-26高一下·山东济南·月考）（多选）满足，且，则（   ） A．三个内角满足关系 B．的周长为 C．若的角平分线与交于，则的长为 D．设为外接圆上任意一点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】借助正弦定理将角的关系转化为边的关系，再结合余弦定理和面积即可求得三角形的边长，利用角平分线将三角形进行分割，利用面积建立方程，即可求出的长度，最后借助数量积的几何意义即可求出最大值. 【详解】因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以， 对于A：由余弦定理知，，因为，所以， 所以，即，故A正确； 对于B：因为， 所以的周长为，故B正确； 对于C：若的角平分线与交于，则， 因为， 所以， 即，解得，故C错误； 对于D：因为， 设外接圆的圆心为，半径为， 由正弦定理知，，所以， 过点作的垂线，垂足为，则， 当，且点在的延长线上时，取得最大值，如图所示， 此时， 所以的最大值为，故D正确. 15．（25-26高一下·江苏苏州·期中）（多选）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且的面积为1，则下列命题正确的是（   ） A．的外接圆半径为1 B． C． D．可能为钝角三角形 【答案】ABC 【分析】由正弦定理有结合面积公式计算判断A；由正弦定理结合判断B；由面积公式及基本不等式判断C；利用余弦定理及正弦定理判断D. 【详解】A：设的外接圆半径为， 因为的面积为， 所以，故A正确； B：由，即，B选项正确； C：由，则，当时取， 所以，当且仅当且时取等号，C选项正确； D：若为钝角三角形，设为钝角，，即得， 由C选项知，所以，即， 又因为，所以，所以与矛盾，假设不成立， 同理B，C也不可能为钝角，D选项错误. 16．（25-26高一下·河北石家庄·月考）海伦公式是利用三角形的三条边的边长，，直接求三角形面积的公式，表达式为：，；它的特点是形式漂亮，便于记忆．现在有周长为的满足，则的面积为（    ） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】利用正弦定理将角化为边，得到三角形三条边的比的关系，结合周长，分别求出三条边长，代入海伦公式求出三角形面积. 【详解】中，，由正弦定理可得， 又周长为，即， ，，，，的面积. 题型四 判断三角形解的个数 17．（25-26高三·全国·三轮复习）（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，下列各组条件中，能使得存在且唯一的是（   ） A．，，外接圆的半径为1 B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】对A：借助正弦定理及三角形内角和可得该三角形存在且唯一；对B：由可得，结合可得不存在这样的；对C：利用正弦定理计算可得有两解，故C不符合题意；对D：借助余弦定理可得唯一确定，即可得该三角形存在且唯一. 【详解】对A：由正弦定理可得，则， ，，则， 故存在且唯一，故A正确； 对B：由，故，又，则， 故不存在这样的，故B错误； 对C：由正弦定理可得，， 又，则，此时有两解，故C错误； 对D：由余弦定理可得， 故唯一确定，即该三角形三边确定，故存在且唯一，故D正确. 18．（25-26高一下·重庆·月考）中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中能确定三角形有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】若有两解，需满足为锐角，且满足，可验证ABD，根据余弦定理计算可验证C. 【详解】如图所示．    若A为锐角，且有两解，则． 对于A，若，，， 此时，此时有两解，满足题意； 对于B，若，，， 此时，此时没有两解，不满足题意； 对于C，若，，， 由余弦定理可得， 则，唯一，所以三角形有唯一解，不满足题意； 对于D，若，，， 此时，此时没有两解，不满足题意. 19．（25-26高一下·山东枣庄·月考）若满足，，的恰有一解，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理可得，故， 其中，因在上递增，在上递减， 结合可得或， 故或. 20．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角解的个数，可得，求解即可. 【详解】由题意可得时，能构成的三角形有两个， 即 故的取值范围为. 题型五 判断三角形的形状 21．（25-26高一下·天津西青·期中）已知三个内角满足，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理可将角化为边，再利用余弦定理计算可得，即可得为钝角三角形. 【详解】由正弦定理可得，设， 则，，，， 故为钝角，即的形状为钝角三角形. 22．（25-26高一下·湖南·月考）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】根据二倍角公式以及正弦定理化简求解即可. 【详解】，化简得. 根据正弦定理得，. 因为在中，进而，故. 因为，所以，进而，解得. 所以为直角三角形. 23．（25-26高一下·江苏南京·期中）在钝角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵三角形三边长均为正， ∴，解得. ∵三角形两边之和大于第三边，且为最长边， ∴ ，即 ， 解得. ∵为钝角三角形，最长边对应角为钝角，∴， 由余弦定理得 ， ∵ ，∴ ， 代入边长得：， 展开整理得，即， 解得. 结合，得实数的取值范围为. 24．（25-26高一下·山东济南·期中）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c则（   ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，，且有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由大边对大角与余弦函数的单调性可得；在锐角中，得到与正弦定理即可判断C的正误；根据题意，可得，求出b的范围，可判断D的正误； 【详解】选项A，因为，即， 所以有整理可得，所以， 故为等腰三角形，故A正确； 选项B，由大边对大角，，由余弦函数在上单调递减， 故，故B错误； 选项C：若为锐角三角形，所以，所以， 由正弦函数在单调递增，则，故C正确； 选项D：因为，，如图，因为有两解，所以， ，解得，故D正确； 25．（25-26高一下·江苏宿迁·月考）（多选）在中，内角的对边分别为，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则一定是等腰直角三角形 D．若，，则一定是等边三角形 【答案】ABD 【分析】本题通过正弦定理、余弦定理及三角恒等变换分析：A由大角对大边结合正弦定理，可推出；B利用余弦函数性质，结合三角形内角范围，由得，判定为等腰三角形；C 由正弦定理与二倍角公式得，推出或，故为等腰或直角三角形，非一定等腰直角；D 由余弦定理结合，，，推得，结合角判定为等边三角形． 【详解】对于A，在中，根据大角对大边，由，得， 由正弦定理，得，所以，A正确； 对于B，由，得或（即，显然不构成三角形，舍去）， 所以，为等腰三角形，B正确； 对于C，由，得，所以， 所以，，， 又，所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，不一定是等腰直角三角形，C错误； 对于D，，， 由，得， 化简得，解得， 又，所以是等边三角形，D正确． 26．（25-26高一下·湖北武汉·月考）（多选）已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形或直角三角形 B．若，则 C．若，，且有两解，则的取值范围是 D．若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即， ，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，由余弦定理： 由， 得：， ，， 将代入分子： ， 于是， 而，所以， 由于，，且由得，故， 因此，从而， 在区间内余弦函数单调递减， 由，得：成立，故B选项正确； 对于C，若，，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角，未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 题型六 利用正余弦定理解决实际问题 27．（25-26高一下·河北邢台·月考）如图，在河岸上测量河对面，两点间的距离，测得，，，，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理及余弦定理计算求解. 【详解】因为，， 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由正弦定理可得，则． 在中，由余弦定理可得，则． 28．（25-26高一下·江苏扬州·期中）如图，某海滨城市附近海面上有一台风，在城市测得该台风中心位于方位角为，距离为km的海面处，并以km/h的速度沿北偏西的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为km的圆形区域.则（   ）小时后该城市开始受到台风侵袭. A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】由题意km，根据方位角关系可得，利用余弦定理建立关于的方程求解即可. 【详解】设小时后台风中心移动到点，此时城市开始受到台风侵袭，即km， 已知，台风速度为，因此； 根据方位角关系可得， 在中，由余弦定理：， 代入数值： ， 化简得：，解得或， 依题意开始受到侵袭的时间，取较小值. 29．（25-26高一下·江苏镇江·月考）为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（    ）. A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先通过直角三角形的三角函数求出的长度，再在中用正弦定理即可求出. 【详解】在中，， 因为，所以米， 又因为，所以， 根据正弦定理：，即， 又因为，所以. 30．（25-26高一下·山东临沂·月考）落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色，滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》而名传千古，如图所示，在滕王阁旁的水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点的仰角分别为，且米，则滕王阁的高度___________米． 【答案】 【分析】设，由边角关系可得，，，，在和中，利用余弦定理列方程，结合可解得的值，进而可得长. 【详解】设，因为，，则， 又，， 所以，， 在中，， 即①， 在中，， 即②， 因为， 所以由①②两式相加可得：，解得：， 则. 31．（19-20高一下·全国·课后作业）如图，两座相距的建筑物、的高度分别为、，为水平面，求从建筑物的顶端A看建筑物的张角等于（ ） A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】先过点A作于点，由勾股定理求出和，再由余弦定理求出，由，即可求出答案． 【详解】如图，过点A作于点， 由题可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由余弦定理得： ， 因为， 所以． 故选：B 32．（24-25高二上·浙江·开学考试）某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 强化训练 1．（25-26高一下·云南曲靖·月考）在中，角所对的边分别为．若，则 =（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由余弦定理得. 2．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角，，的对边分别为，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理，. 由为三角形内角，所以. 3．（25-26高一下·山东枣庄·期中）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，，则角等于（   ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查正弦定理，将已知边和角代入求出角，利用三角形中“大边对大角”对角进行取舍. 【详解】解：由正弦定理得，，，， 代入得，解得， 因为，所以或. 又因为，所以，因此. 4．（25-26高一下·山西晋中·期中）内角，，所对边分别为，，，若，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 结合正弦定理可得：， 因为为三角形内角，所以，所以. 由余弦定理，. 所以. 所以周长为. 5．（25-26高一下·福建福州·期中）一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶300m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到相关角的度数，结合正弦定理求解即可. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得，，， 在中， ， 在中，由，，，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 6．（25-26高一下·河南·期中）在中，，，且的面积为，则（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】延长到，使得，可得，由可得，进而求得，，在中，由余弦定理求得答案. 【详解】如图，延长到，使得， 由，可得，即，所以， 因为，所以，即，得， 由勾股定理可得，则， 在中，，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 7．（25-26高一上·湖南株洲·期中）（多选）在中，角所对的边分别为，则下列选项正确的是（   ） A．若，则， B．若为锐角三角形，则可能有 C．若，，，则解此的结果有一解． D．若，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则 【答案】AD 【分析】选项A：若，可利用大角对大边及正弦定理推导；选项B：因为三角形内角和，所以，利用正切的两角和公式变形，可推导与的关系，再结合锐角三角形的条件判断等式是否可能成立；选项C，利用正弦定理计算的值，根据的取值范围及三角形解的个数判定规则，判断解的个数；选项D，因为，根据正弦定理可得三边之比，可设三边为；再利用余弦定理计算内角余弦值，进而得到正弦值，结合外接圆半径公式求出；利用三角形面积公式和建立等式求出，最后计算的值. 【详解】选项A，在中，在上单调递减，因此可推出； 根据大角对大边，，结合正弦定理，可得，A 正确； 选项B，由得，对等式两边取正切，整理后恒有：， 该等式对所有非直角三角形都成立，锐角三角形恒满足该等式，不是“可能成立”，表述错误，B 错误； 选项C，已知，由正弦定理得：， 又，因此既可以是锐角也可以是钝角，该三角形有两解，C 错误； 选项D，由正弦定理得， 设： 由余弦定理得，因此，结合正弦定理，得， 半周长，三角形面积，结合得， ，D 正确. 8．（25-26高一下·江苏常州·期中）（多选）在中，已知，则（    ） A． B． C． D．的面积为3 【答案】ACD 【分析】根据辅助角公式，可得，根据条件，分析可得，根据同角三角函数的关系，结合角的范围，可得的值，根据二倍角公式，可得的值，即可判断A、B的正误；根据诱导公式及两角和的正弦公式，可得的值，根据正弦定理，求出各个长度，可判断C的正误；代入面积公式，可判断D的正误. 【详解】由辅助角公式得，其中， 则的最大值为5，当且仅当时取得最大值， 同时的最大值也为5， 因为，所以， 由，结合，， 解得，且， 由，得，且，解得， 由，得，则， 所以，即，则， 又，则，故B错误； ，则，可得， 则， 又，且，所以，故A正确； ， 由及正弦定理得， 则，即， 所以，故C正确； 的面积，故D正确. 9．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·月考）（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若为锐角三角形，则，且 C．若，则符合条件的有两个 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 【答案】BD 【分析】A选项，根据余弦定理，只能判定角为锐角；B选项，移项后，利用正弦函数的单调性和诱导公式即得结论；C选项，由已知条件为两边一夹角，可判定错误；D选项，据正弦定理把等式的边换成角的正弦，再利用倍角公式化简整理得，进而推断，或，即可判定． 【详解】对于A，若，则，为锐角， 不能判定为锐角三角形，故错； 对于B，若为锐角三角形，有， 则，∴，故正确； 对于C，知道两边一夹角，符合条件的三角形有且只有一个，故C错误； 对于D，因为，所以 ，或即， 为等腰或直角三角形，故正确． 故选：BD． 10．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，已知，则的形状为______ 【答案】等腰或直角三角形 【分析】利用余弦定理边化角化简等式，再利用二倍角的正弦公式及正弦函数性质推理判断即可. 【详解】在中，由及余弦定理，得， 整理得，即， 而，因此或， 所以或，即为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰或直角三角形 11．（2026高三上·贵州贵阳·专题练习）在中所对的边分别为且.若有两解，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式先求出角，然后根据三角形有两解，得出不等式解出即可. 【详解】因为， 所以根据正弦定理得：， 因为，所以， 所以有， 即， 所以， 在中，，所以， 由，所以， 又，若有两解， 则，即， 解得：， 所以的取值范围是. 12．（25-26高一下·天津西青·期中）已知中三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则______． 【答案】/ 【详解】由正弦定理得， ∵，∴，可得，即， 又，∴． 13．（25-26高一下·江苏淮安·月考）在锐角中，，，分别是角，，的对边，且，则的最小值是______． 【答案】7 【分析】利用正弦定理对进行处理得到，然后根据为锐角三角形得到，再根据诱导公式和换元法得到，最后利用基本不等式求最值即可． 【详解】对两边同乘得， 由正弦定理得， 因为，所以，因为为锐角三角形，所以， 进一步可得，解得， 得到 ， 令，则， 所以， 由基本不等式， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为7． 14．（2026·江西·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，点D在边CA的延长线上，，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由与余弦定理，得， 所以，所以， 所以，又， 故． （2）由正弦定理及，得， 所以，又，所以， 在中，由正弦定理，得，即，所以． 则， 故的面积为． 15．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $