山东省泰安市岱岳区2025--2026学年八年级数学期末考试模拟卷

**基本信息** 泰安市岱岳区2026年八年级期末模拟卷，涵盖代数与几何核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|二次根式运算、特殊四边形性质、相似判定|基础概念辨析，如矩形对角线性质判断| |填空题|5/20|位似变换、根与系数关系、动态几何最值|结合坐标系与几何图形，如位似中心坐标计算| |解答题|9/90|一元二次方程求解、相似应用（测量楼高）、探究性问题（三角形相似）|综合题融合实际情境（机械润滑油耗）与逻辑推理，如“知识应用”中动态等腰三角形分类讨论|

泰安市岱岳区2026年八年级期末考试模拟卷 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．（本题4分）下列说法中，错误的是（   ） A．矩形的对角线相等 B．正方形的对角线互相垂直平分 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 3．（本题4分）用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图，在中，点，分别是的三等分点，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 6．（本题4分）下列各组二次根式是同类二次根式的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 7．（本题4分）如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图，，直线分别交直线于点，直线分别交于点，若，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 9．（本题4分）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 10．（本题4分）如图，在中，点在BC上，分别是AC，BD的中点，则的长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）若二次根式有意义，则的取值范围是______． 12．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，与位似，原点O是位似中心，且．若，则点的坐标是______． 13．（本题4分）如图，D是的边上的点，且，，，则的长等于______． 14．（本题4分）方程的根是与，则__________． 15．（本题4分）如图所示，在中，，，，P是斜边上一动点，于点，于点，则长的最小值为______． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）解方程： (1)； (2)． 17．（本题8分）计算： (1) (2) 18．（本题9分）如图，矩形中，对角线与交于点O，若，．求的度数． 19．（本题9分）如图，利用标杆测量楼高，点，，在同一直线上，，，垂足分别为，，．若测得影长米，标杆米，影长米，求楼高． 20．（本题10分）求代数式的值，其中．如图是小明和小颖的解答过程： (1)填空：______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 21．（本题10分）如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平分，且，求线段的长． 22．（本题11分）机械加工需要用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为 90 千克，用油的重复利用率为 ，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为千克，为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际耗油量进行攻关． (1)甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到 70千克，用油量的重复利用率仍然为．问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是 千克． (2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加，这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克， （i）下降后的润滑用油量为 ，油的重复利用率提高为 ．（用含x的式子填空） （ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？ 23．（本题12分）如图，在中，过点B作，使边交于点D． (1)求证：． (2)若，求线段的长． 24．（本题13分）某数学兴趣小组的同学在学习了《图形的相似》之后；对三角形的相似问题进行深入探究． 【感知问题】 如图1，在四边形中，点P在边上（点P不与A，B重合），．易证：．（不需要证明） 【探究问题】 如图2，在四边形中，点P 在边上（点P不与点A，B重合），．求证：． 【知识应用】 如图3，在中，，．点P在边上（点P不与点A，B重合），连接，作，与边交于点E． （1）当时，求的长； （2）当是等腰三角形时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《泰安市岱岳区2026年八年级期末考试模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D C B B B C B 1．A 【分析】本题考查二次根式的加减乘除运算，需依据同类二次根式的加减法则及二次根式的乘除法则逐一判断各选项． 【详解】解：A选项，，正确， B选项，，不正确， C选项，，不正确， D选项，，不正确， 故选A． 2．C 【分析】本题考查特殊四边形的性质和判定，根据矩形的性质，正方形，菱形和平行四边形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，原说法正确，不符合题意； B、正方形的对角线互相垂直平分，原说法正确，不符合题意； C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法正确，不符合题意； 故选：C． 3．A 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 5．C 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明及是解题的关键． 由点，分别是的三等分点，推导出，，由，证明，则，所以，由，证明，则，所以，求得，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：点，分别是的三等分点， ，， ，， ， ∴， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．B 【分析】本题考查了同类二次根式．根据同类二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； B、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； C、，，与不是同类二次根式，故该选项不合题意； D、与不是同类二次根式，故该选项不合题意． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 8．B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，利用比例关系代入数据即可． 【详解】， 即 故选：B． 9．C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， ∴且； 故选C． 10．B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及直角三角形斜边中线的性质，关键是通过等腰三角形三线合一得到直角三角形，再利用直角三角形斜边中线定理求解． 【详解】解：如图，连接． ∵，为的中点， ∴，即为直角三角形． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得． ∵为的中点， ∴． 故选：B． 11．且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数非负，同时分母不能为零，因此需满足和，联立求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数，解得； 分母． ∴的取值范围是且． 故答案为且． 12． 【分析】本题考查了位似变换，正确得出相似比是解题关键．直接利用位似图形的性质得出相似比，进而得出对应点的坐标． 【详解】解：∵与位似，原点O是位似中心，且， ∴相似比为3， 又∵， ∴点的坐标是，即． 故答案为：． 13．9 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，则，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴ ∴, ∵，， ∴, ∴， ∴； 故答案为：9． 14．28 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再根据完全平方公式求解． 【详解】解：∵方程的根是与， ∴，． ∴． 故答案为：28． 15． 【分析】连接，过点作交于点，由矩形的性质得出，故判断出长的最小值为的对应长度，根据三角形面积公式可得，解出即可． 【详解】解：连接，过点作交于点，如下图所示： ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， 故长的最小值即为长的最小值， 当最小时，为的对应长度， 在中，，，， ∴， 结合三角形面积公式， 可得， 故， 解得， 即长的最小值为． 16．(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再配方，然后开方可得解； 对于（2），先移项，再因式分解得出因式乘积的形式，即可得出解． 【详解】（1）解：， 移项，得， 配方，得， 即， ， ，； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， 或， 解得，． 17．(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算、二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法、再用有理数乘方、绝对值化简，最后计算加减法即可； （2）先运用完全平方公式、平方差公式化简，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：      ． （2）解： ． 18． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握矩形的对角线相等且相互平分的性质．先由矩形的对角线相等且互相平分推出，结合三角形外角的性质和等腰三角形的性质即求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线与交于点， ， ， ， ， ， ， ． 19．楼高为12.8米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：，， ． ， ， ， ， ， 解得， 楼高为12.8米． 20．(1)小明； (2)． 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简求值即可得解； （2）根据二次根式的性质化简求值即可得解． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴ ， ∴小明的计算错误，小颖的计算正确． 故答案为：小明． （2）解：当时，， ∴ ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识，证明四边形是矩形是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，又由即可证明结论成立； （2）求出，利用勾股定理求出，在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， 在中，， ， 在中， ． 即的长是． 22．(1)28 (2)（i）；；（ii）乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列式和列方程是解题的关键． （1）根据题意，实际耗油量﹦用油量×（重复利用率），代入数据计算即可； （2）（i）企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为，润滑用油每减少1千克，用油的重复利用率将增加，设加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了x千克．即可得到下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为；（ii）根据乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到14千克列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，（千克）， 答：甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克. （2）解：（i）由题意得到，下降后的润滑用油量为千克，用油的重复利用率提高为. （ii）由题意可得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴加工一台大型机械设备的润滑用油量下降了千克． ∴. 答：乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是70千克． 23．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，而，则，求得． 【详解】（1）证明：在和中，， ． （2）解：， ， ， 即， ， ． 24．【探究问题】见解析【知识应用】（1）或（2）或 【分析】探究问题：利用三角形外角的性质，得到，即可求解； 知识应用：（1）通过三角形外角的性质，得到，利用相似三角形的性质，求解即可；（2）分两种情况，、，分别求解即可． 【详解】【探究问题】解：证明：由三角形外角的性质可得： ， ， ， 又， ； 【知识应用】解：（1）设，则， ，， ，，， ，， ， ， ， 即， 化简可得：， 解得或， 即或； （2）由（1）可得，， ， 则为等腰三角形，有两种情况，或， ① 当时， 由（1）可得，，， ， ， ； ② 当时， 可得， 则， ， 设，则， ， 由可得， ， 即 解得， ， 综上，或. 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解一元二次方程，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $