精品解析：上海市行知中学2025-2026学年高三下学期5月月考数学试卷

2026年行知中学高三下5月月考数学试卷 一、填空题 1. 设集合，集合，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 2. 不等式的解集为_______________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义即可求解． 【详解】 或 或， 故答案为：或． 3. 事件、互斥，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法公式求解. 【详解】因为、互斥， 所以, 解得. 故答案为： 4. 函数的最小正周期是__________. 【答案】 【解析】 【详解】，故最小正周期为. 5. 的展开式的第4项的系数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式的通项，根据通项求解. 【详解】展开式的通项为， 则， 故展开式的第4项的系数是. 故答案为： 6. 已知函数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义，及基本初等函数的导数即可求解． 【详解】由，则， 所以 ． 7. 设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据必要条件的定义直接求解即可. 【详解】若是的必要条件， 则， 故可得. 故答案为： 8. 开学后，朱老师打算用1000元压岁钱购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益（注意收益不含本金）约为_________元．（精确到整数） 【答案】 【解析】 【详解】10个月后能获得的收益为：元. 9. 平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，化简得到，进而得到答案. 【详解】由向量的线性运算法则，可得， 因为点是边的一个四等分点（靠近点）, 可得， 所以， 在平行四边形中，，且， 所以. 10. 若复数满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】令，再利用模长公式展开，令为关于的函数，求函数的最值即可. 【详解】设，则 ，由复数模长的定义得：，即：，显然， 此时，其中，令，， 则， 当时， ，当或时， ， 所以 ，则， ，则 ，所以， 即：的取值范围是 11. 在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，逆用和角的正切公式求出，再利用正弦定理求解. 【详解】由，得 ，显然 ， 在中， ，而，则， 由正弦定理，得，由三角形有且仅有两个， 得，则 ，所以边的取值范围是 . 12. 若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），，，，若，则正整数的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列满足的不等关系，推出数列的单调性，将问题转化为：数列增长速度最慢时，根据，求的值即可． 【详解】因为，则，（，当且仅当为奇数时取“”）， 又，所以数列为递增数列． 问题转化为：数列增长速度最慢时，由，求的值． 设，则 ； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； 归纳得：当为奇数时，；当为偶数时，． 又 ． 若， 由 ， 即； 若， 由 ， 即． 此时，，． 又，所以数列应该是在第项之后，突然改变增长速度，使得． 故的最大值为． 二、选择题 13. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（    ） 5044664421       6606580562       6165543502       4235489632 1452415248       2266221586       2663754199       5842367224 A. 42 B. 16 C. 56 D. 06 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，从该随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选出来的个体编号依次为：64（舍去），42，16，60（舍去），65（舍去），80（舍去），56，26，16（舍去），55，43， 即选出的6个个体编号依次为：42，16，56，26，55，43，所以第3个个体的编号为56. 14. 在正方体中，与直线异面的直线可以是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，平面， 点直线，点直线，因此直线与直线互为异面直线，A是； 对于B， ，直线与直线是相交直线，B不是； 对于C，连接，由，得四边形是平行四边形，直线与直线是相交直线，C不是； 对于D，由选项C，同理得直线与直线是相交直线，D不是. 15. 已知是两个不共线的单位向量，向量.则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由是不共线的单位向量可得，由可得，进而讨论和且充分性和必要性即可. 【详解】已知是不共线的单位向量，故，设两向量夹角为， 则，即. 因为，所以不等式等价于. 充分性：若，无法推出且，例如满足， 但不满足且，充分性不成立； 必要性：若且，必有，即，必要性成立. 所以是且的必要不充分条件. 16. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，且满足，，现有如下的两个判断： ① 对任意的正整数及，数据的第百分位数一定不小于数据的第百分位数； ② 对任意的正整数，数据的方差一定不大于数据的方差. 其中正确的结论是（ ）. A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差、等比数列对应函数的性质，及其函数图象来判断①，放缩来判断②. 【详解】，，则点在一次函数图象上， ，，在函数图象上， ，，则增长速度越来越快， 由于，，结合图象可得，当时，，则①正确； 取，则，, ，其中， 则，， 当时，必有，则②错误. 三、解答题 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． （1）求异面直线与直线所成角． （2）点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【小问1详解】 因为平面，且平面，所以． 又因为四边形为矩形，所以． 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以． 故异面直线与所成的角为． 【小问2详解】 连接交于点，在中，为中点，为中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为点在线段上，所以点到平面的距离等于点到平面的距离（或者视为定值）． 即． 在中，． 点到平面（即底面）的距离，所以． 所以． 故三棱锥的体积为． 18. 现有5个大小、质地相同的球，分别标上数字1，2，3，4，5． （1）从中任取三个球，求1号球被取到的概率． （2）从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，求的数学期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由古典概率结合组合数计算可得； (2)求出的可能取值和对应的概率，根据期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 从5个球中任取3个球的所有取法有种，（种） 若1号球被取到，那么只需从剩下的4个球中再取2个球即可，取法有种 设“1号球被取到”为事件，则． 【小问2详解】 的所有可能取值为1，2，3，则 ， ， ，所以的分布列为 所以． 19. 已知（其中），且的最小正周期为． （1）求函数的表达式及其所有的极大值点； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值； （3）若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据周期公式求出解析式，结合正弦函数的性质求出极值点； （2）利用诱导公式和倍角公式化简得出，解三角不等式即可； （3）将问题转化为 在上有两个不等实根，结合一元二次函数的性质求解. 【小问1详解】 因为的最小正周期，由得，所以， 令，解得， 故极大值点为； 【小问2详解】 ， 则，， 因为对任意恒成立， 所以，即， 即， 即 ， 即对任意恒成立， 由得 ， 得 ， 故的最大值为； 【小问3详解】 当时， ， 因为正弦函数在单调递增，在上单调递减，且， 则关于的方程 在上有四个不相等的实数根等价于方程 在上有两个不等实根， 则， ，，， 得，故的取值范围是. 20. 已知点，均在椭圆上，点在抛物线上，坐标原点为． （1）求椭圆与抛物线的交点坐标； （2）若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标； （3）是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）， （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）解方程组可得交点坐标； （2）设，，直曲联立表示出韦达定理，再由重心坐标公式和点在抛物线上得到的坐标，然后利用弦长公式和点到直线的距离公式表示出三角形面积可得； （3）利用中点坐标公式表示出直线方程，联立曲线方程，表示出韦达定理，由得可得. 【小问1详解】 联立方程，消去得，整理得，解得或（舍去）．当时，，． 交点坐标为，． 【小问2详解】 设，， 联立椭圆方程得， 由韦达定理得，． 重心坐标得，代入抛物线方程得． 弦长， 点到直线的距离为， 面积公式得 ， 所以， 将代入化简得， 解得或，对应或． 点的坐标为，． 【小问3详解】 设，且，，则中点， ，两式相减可得斜率为， 则直线． 联立椭圆方程得， 由韦达定理得：，将代入上式可得， 由平行四边形可知即，此时，结合点在抛物线上可得重合，故不存在点使得四边形为平行四边形． 21. 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． （1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 【答案】（1）不具有性质，具有性质，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取特殊值判断，利用所给定义判断； （2）利用奇函数的性质可将不等式化为，利用具有性质和奇函数性质可得是上的增函数，从而利用增函数的性质即可求解； （3）先由具有性质且函数的图像是一条连续曲线求得，然后利用反证法证明是奇函数. 【小问1详解】 不具有性质， 理由：取，， ，所以不具有性质. 具有性质， 理由：对任意，， 当时，，因为为上的增函数， 所以，即，所以 ， 当时，，所以，即， 所以 ， 综上，对任意，，有 ， 所以具有性质. 【小问2详解】 因为是奇函数，所以 可化为， 因为具有性质，所以对任意，，都有， 因为是奇函数，所以， 所以，即是上的增函数， 故，解得，所以不等式的解集为. 【小问3详解】 由具有性质知：当时 ，当时 ， 因为函数的图象是一条连续曲线，所以，即. 下面用反证法证明是奇函数， 假设存在使得 ，不妨设，则由在上是严格增函数有， 若 ，则构造函数， ， ， 由零点存在定理知，存在，使得，即； 因为在上是严格增函数，所以 ， 从而有 ， 与具有性质矛盾． 若 ，构造函数，同理也可推出与具有性质矛盾． 综合上述，存在使得 的假设不能成立，即对任意都有，故是奇函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年行知中学高三下5月月考数学试卷 一、填空题 1. 设集合，集合，则_________． 2. 不等式的解集为_______________________． 3. 事件、互斥，若，，则______. 4. 函数的最小正周期是__________. 5. 的展开式的第4项的系数是___________． 6. 已知函数，则_________． 7. 设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________ 8. 开学后，朱老师打算用1000元压岁钱购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益（注意收益不含本金）约为_________元．（精确到整数） 9. 平行四边形中，，且，点是边的一个四等分点（靠近点），则__________． 10. 若复数满足，则的取值范围是_________． 11. 在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 12. 若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），，，，若，则正整数的最大值为_________． 二、选择题 13. 总体由编号为00，01，…，59的60个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个个体的编号为（    ） 5044664421       6606580562       6165543502       4235489632 1452415248       2266221586       2663754199       5842367224 A. 42 B. 16 C. 56 D. 06 14. 在正方体中，与直线异面的直线可以是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 15. 已知是两个不共线的单位向量，向量.则“”是“且”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，且满足，，现有如下的两个判断： ① 对任意的正整数及，数据的第百分位数一定不小于数据的第百分位数； ② 对任意的正整数，数据的方差一定不大于数据的方差. 其中正确的结论是（ ）. A. ①②都正确 B. ①②都错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 三、解答题 17. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为的中点． （1）求异面直线与直线所成角． （2）点是线段上一个动点，求三棱锥的体积； 18. 现有5个大小、质地相同的球，分别标上数字1，2，3，4，5． （1）从中任取三个球，求1号球被取到的概率． （2）从中有放回地随机取3次，每次取1个球．记为这5个球中至少被取出1次的球的个数，求的数学期望． 19. 已知（其中），且的最小正周期为． （1）求函数的表达式及其所有的极大值点； （2）若，且对任意恒成立，求的最大值； （3）若关于的方程在上有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 20. 已知点，均在椭圆上，点在抛物线上，坐标原点为． （1）求椭圆与抛物线的交点坐标； （2）若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标； （3）是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出点横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由． 21. 若函数满足：对任意，，都有，则称函数具有性质． （1）设，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）已知定义在上的奇函数具有性质，求关于的不等式的解； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $