精品解析：上海市中国中学2026届高三第二学期第一次阶段测试数学试题

2025学年第二学期高三第一次阶段测试 （满分150分，时间120分钟） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若，，则_____________. 2. 已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则=___________. 3. 已知为等差数列，，，则______. 4. 函数 的频率为 ______． 5. 已知的二项展开式中系数最大的项为______． 6. 曲线在点处的切线的斜率为__________. 7. 已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 8. 在中，，，，则__________. 9. 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 10. 据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 _____． 附： ． 11. 过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为______． 12. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图所示，记长方体的纵截面为矩形，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角的度数至少为_____.（精确到0.01） 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 15. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为2π C. 的图象关于点对称 D. 的最大值为 16. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形内部（不含边界）运动，给出以下两个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足与平面所成角的大小为60°． 判断正确的是（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均不正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，已知直三棱柱所有棱长均为2，过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求证：，并求四面体的体积. 18. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 19. 已知. （1）是否存在实数，使得函数是偶函数？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由; （2）若，求解不等式. 20. 已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，过点作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足. （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）证明：直线的斜率； （3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 21. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高三第一次阶段测试 （满分150分，时间120分钟） 一、填空题（1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若，，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算与的交集. 【详解】首先求解集合： 对不等式因式分解得，解得，即. 已知，所以 . 2. 已知复数z满足(其中i为虚数单位)，则=___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将复数化简为复数的代数形式，再计算模长即可. 【详解】由，可得， 所以. 故答案为：. 3. 已知为等差数列，，，则______. 【答案】6 【解析】 【详解】因为为等差数列，，，则， 即，解得，所以. 4. 函数 的频率为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由周期与频率的关系进行求解． 【详解】频率为： 5. 已知的二项展开式中系数最大的项为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式系数的最大性质求解. 【详解】展开式某项的系数即为该项的二项式系数，所以所求系数最大的项为. 故答案为： 6. 曲线在点处的切线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求解即得. 【详解】由求导得， 则曲线在点处的切线的斜率为. 7. 已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【答案】 【解析】 【分析】先统计集合A的元素总个数，再逐一判断每个元素作为幂指数时幂函数是否过点，统计符合条件的元素个数后用古典概型公式计算概率. 【详解】验证当取不同值时函数是否满足， 当时，，满足条件； 当时，，不满足； 当时，的定义域为，不在定义域内，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，不满足。 计算概率：符合条件的共2个，由古典概型公式得所求概率. 8. 在中，，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理、三角形内角和求得，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由正弦定理有，即，解得， 而，所以，所以， 所以. 故答案为：. 9. 平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 【答案】80 【解析】 【详解】从9个点中任选3个点的组合数为. 共线4点中选3个无法构成三角形，需减去. 可确定三角形个数：. 10. 据统计，某种脐橙的果实横径 (单位： ) 服从正态分布 ，现任取 10 个这种脐橙．设其果实横径在的个数为 ，则 _____． 附： ． 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布的概率计算公式可得的值，再由二项分布的期望公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 则 ， 则，所以. 故答案为： 11. 过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得四边形为矩形，则，由，结合，求出，再利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 12. 网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图所示，记长方体的纵截面为矩形，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角的度数至少为_____.（精确到0.01） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，再利用辅助角公式与反三角函数化简，最后借助计算器计算即可得. 【详解】过点作地面于点，作平行于地面直线使得， 则，， 则冰箱倾斜后实际高度， 则， 其中，，则， 由题意可得时才能按要求运送入客户家中， 即，由，， 故， 则 故倾斜角的度数至少为. 故答案为：. 二、选择题（13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分） 13. 设，是平面上两个非零向量，那么“”是“是钝角”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】 是钝角时，，必要性满足， 因为，是平面上两个非零向量，则， 当时，满足，但不是钝角， 则充分性不成立. 那么“”是“是钝角”的必要非充分条件. 14. 研究线性回归模型时，若成对数据所对应的点均在直线上，则线性相关系数为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】所有样本点都在直线上，是完全线性相关. 斜率为负，属于完全负相关，所以线性相关系数. 15. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是，则下列结论正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为2π C. 的图象关于点对称 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义即可判断A；举反例可判断B；利用反证法判断C；根据周期性将问题转化为一个周期内的最值问题，通过换元法求解即可判断D. 【详解】对于A，因为， 所以的定义域为，，恒成立， 所以是偶函数， 因为，， 故，所以不是奇函数，（也可以通过判断），故A错误； 对于B，因为， 所以π是的一个周期，所以的最小正周期不为2π，故B错误； 对于C，若的图象关于点对称， 则，故， 但，，矛盾， 所以的图象不关于点对称，故C错误； 对于D，因为π是的一个周期，所以只考虑上的最大值即可， 当时，， 令，则， 所以函数可转化为， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以当时，取得最大值，为， 所以的最大值为，故D正确. 16. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形内部（不含边界）运动，给出以下两个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足与平面所成角的大小为60°． 判断正确的是（ ） A. ①正确，②不正确 B. ①不正确，②正确 C. ①②均正确 D. ①②均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，，， 设，，则，， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点P满足与平面所成角的大小为60°，故②正确； 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，已知直三棱柱所有棱长均为2，过线段中点作平面平面，设点为平面与线段的交点. （1）求直线与平面所成角的大小； （2）求证：，并求四面体的体积. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据线面角的定义确定出就是直线与平面所成的角，然后在中求解即可； （2）根据面面平行的性质定理即可证明，进而证明平面，从而将四面体的体积转化为四面体的体积，再根据体积公式计算即可. 【小问1详解】 在直三棱柱中，侧棱底面， 所以是在底面内的射影， 所以就是直线与平面所成的角. 因为点为中点，所以，又， 所以在，， 所以直线与平面所成的角的大小为； 【小问2详解】 设点到平面的距离为， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以. 因为平面，平面，所以平面， 所以点和点到平面的距离相等，均为. 又因为直三棱柱的所有棱长均为2，点为中点，侧棱底面， 所以 . 18. 为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取100名学生参加考核，将考核的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）在考核成绩为，，，的四组学生中，用分层抽样的方法抽取17人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人？ （2）若落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2，求这两组学生成绩的平均数和方差，（结果精确到0.1）. 【答案】（1）6 （2）平均数为62.4，方差约为39.9 【解析】 【小问1详解】 因为频率分布直方图中，所有矩形的面积和为 1（频率和为 1），组距为 10， 所以 ，所以 ，解得， 因为 ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， ：频率 ，人数 ， 四组总人数： ， 抽样比为： 因此 应抽取人数： 人； 【小问2详解】 因为与的频率之比为 ， 又因为落在学生的平均成绩是54.4，方差是5.2，落在学生的平均成绩为66.4，方差是9.2， 所以这两组学生成绩的平均数是 ， 这两组学生成绩的方差是 19. 已知. （1）是否存在实数，使得函数是偶函数？若存在，求实数的值，若不存在，请说明理由; （2）若，求解不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义域的对称性求出的值，再利用偶函数的定义检验即可； （2）先化简，结合对数函数的单调性可得，再结合的取值范围以及、两种情况即可求出. 【小问1详解】 存在，证明如下： 由，，则且， 欲使是偶函数，则其定义域需关于原点对称，故，解得， 此时定义域为，， 则， 故当时，函数是偶函数； 【小问2详解】 因，则， 则，，，①， 因，则， 即， 结合对数函数的单调性可得，，即②， 若，则不等式②得，不等式组①得， 故； 若，则不等式②得，不等式组①得，故； 综上所述： 当，不等式的解集为； 当，不等式的解集为. 20. 已知抛物线的方程为，点为抛物线上一点，过点作两条直线分别与抛物线相交于点、，设、的斜率分别为、，且满足. （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）证明：直线的斜率； （3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义即可得到答案； （2）联立、与抛物线方程，求出、的坐标，利用斜率公式求解即可； （3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用函数求最值即可. 【小问1详解】 由题意得准线方程为，焦点坐标为， 则抛物线的焦点到准线的距离为. 【小问2详解】 由题意直线的方程可设为， 联立，代入化简得， 由题意，从而，即， 从而，即; 同理可得，， ， 又，所以， 所以. 【小问3详解】 由（2）可知， 设直线为，即 联立，代入化简整理得: , 由故, 从而，， 点到直线的距离， ， 令，则，， 设，则，令，解得（负值舍去） 则当时，,单调递增； 当时，,单调递减； 从而， 即面积的最大值为. 21. 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数和，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”. （1）若函数是“跃点”函数，求实数的取值范围； （2）若函数是定义在上的“0跃点”函数，且在定义域内存在三个不同的“0跃点”，求实数的取值范围； （3）若函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”，求实数满足的条件. 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）求出给定函数的导数，再由“跃点”函数的定义结合三角函数的性质求得实数的范围作答. （2）根据“0跃点”函数的定义，可得方程在R上有3个不同的解，构造函数令，利用导数判断单调性，求出极值得解. （3）根据题意将问题转化为在R上恰有两根，再构造函数，借助导数求解作答. 【小问1详解】 函数的导函数为， 因为函数是“跃点”函数， 所以方程有解，即有解， 又，所以. 【小问2详解】 函数的导函数为， 由题意可得方程，即在R上有3个不同的解， 令，则，令，得或， 当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 又，，，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 函数的导函数为， 因为函数是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在2个“1跃点”， 所以方程，即在R上恰有两根， 令，则， 当时，，在R上单调递增，此时最多只有一个实根，不合题意； 当时，令，得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，且 ， 又当时，，当时，， 要使得在R上恰有两根，仅需 ，即 . 综上，实数满足的条件为且 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $