精品解析：上海市金山中学2025-2026学年高三下学期3月月考数学试卷

2025-2026学年上海市金山中学高三年级下学期3月月考 数学试卷 2026.3 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若集合，则__________. 2. 不等式的解集为___________. 3. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则______． 4. 函数在上的最大值为4，则实数的值为______. 5. 若双曲线C的方程为，则k的取值范围是___________. 6. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________. 7. 设，则______. 8. 已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则__________. 9. 截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 10. 如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为____ 11. 康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处有一个可以左右自由旋转的探照灯，固定照射角度为，其中，为保障安全，要求四边形跑道必须完全处于探照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为__________米. 12. 球是一个半径为1的球，其大圆上有一个内接正二十四边形是球面上一点，是正二十四边形边上一点，均不与重合，记，则的取值范围是__________. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 实轴 B. 虚轴 C. 第二象限 D. 第四象限 14. 已知幂函数在上是增函数，则实数m的值为（ ） A. 1或 B. 3 C. D. 或3 15. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 16. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，数列有界 B. 当时，数列有界 C. 当时，数列有界 D. 当时，数列有界 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组，其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求的值； （2）从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 19. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 20. 如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4的圆形纸片按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕. 这些折痕围成一个图形，设关于折痕的对称点为Q点. （1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形C的标准方程； （2）过的直线交C于A，B两点，若内切圆的半径为，求的方程； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程. 21. 已知函数的定义域为，对于实数，定义． （1）设，求； （2）设，是否存在实数，使得是一个闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）已知函数的定义域是，函数值恒正，导函数为，且恒成立，若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上海市金山中学高三年级下学期3月月考 数学试卷 2026.3 一､填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1. 若集合，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由可得，解得， 所以， 所以. 2. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法计算即可. 【详解】由题意可知， 解之得. 故答案为： 3. 已知等比数列的前项和为，若公比，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的前项和公式，结合已知条件列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】等比数列的前项和公式为： 已知公比，将其代入公式可得： ，解得：. 故答案为：. 4. 函数在上的最大值为4，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数单调性求出最大值即可得解. 【详解】函数在上单调递增， 则当时，， 因此，解得， 所以实数为. 故答案为：. 5. 若双曲线C的方程为，则k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线方程的特征列出不等式，求出k的取值范围. 【详解】由题意得：，则有或，解得：. 故答案为： 6. 已知圆锥的母线与底面所成角为，高为，则该圆锥的侧面积为__________. 【答案】 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由圆锥的母线与底面所成角为， 故该圆锥的侧面积为：. 7. 设，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，即可求解. 【详解】令，则，令，则， ∴. 故答案为： 8. 已知离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质及数学期望求出的值，即可求得. 【详解】由题意知，由得，解得， 故. 故答案为：. 9. 截至2025年10月28日，国际乒联公布的最新世界排名，男单前5名中有2名中国运动员，3名外国运动员，女单前5名均为中国运动员．若从这10人中随机选取4人进行技术分析，则这4人中至少有一名外国运动员，且男运动员不少于女运动员的所有不同情况有__________种． 【答案】145 【解析】 【分析】需先根据“男运动员不少于女运动员”确定男女人数组合，再分别计算每种组合下“至少有一名外国运动员”的情况数，最后求和. 【详解】若这4人中有4名男运动员，则不同的选取情况共有种； 若这4人中有3名男运动员，1名女运动员，则不同的选取情况共有种， 若这4人中有2名男运动员，2名女运动员，则不同的选取情况有种， 故满足条件的所有不同情况共有种. 故答案为：145 10. 如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥．高速公路里程、高铁里程双双都是世界第一．建设过程中研制出的用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先水平．如图是某重器上一零件结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球相切，同时与正四面体的三个面相切．设，则该模型中5个球的表面积之和为____ 【答案】 【解析】 【分析】把正四面体分割成以内切球球心为顶点的4个小三棱锥，利用等体积法求出内切球半径，进一步计算即可. 【详解】如图所示，    设为大球的球心，大球的半径为，大正四面体的底面中心为，棱长为3，高为，的中点为， 连接，，，，，， 由 则， 正四面体的高. 因为，所以， 所以； 设小球的半径为，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，且小正四面体的高，同理； 故该模型中5个球的表面积之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于借助等体积求出大球，小球的半径，由此结合表面积公式即可求解. 11. 康健社区欲在一块半径为100米的圆形场地内建造一个四边形夜跑跑道，如图，在A处有一个可以左右自由旋转的探照灯，固定照射角度为，其中，为保障安全，要求四边形跑道必须完全处于探照灯的照明范围内，则四边形跑道周长的最大值为__________米. 【答案】 【解析】 【分析】因为四边形需完全在探照灯照明范围内，所以先明确四边形的四个顶点都在以A为顶点、夹角为α的角的内部，且在半径100米的圆内,设四边形的另外两个顶点为B、D，与A构成的角为α，连接BD，因为要找周长最大值，所以可将四边形周长转化为，可结合圆的性质分析，考虑利用余弦定理求解. 【详解】由题意可知四边形需完全在探照灯照明范围内，所以四边形的四个顶点都在以A为顶点、夹角为α的角的内部， 当其中两条跑道恰好落在探照灯的光沿边上时，四边形跑道的周长可取到最大值； 如图：不妨设四边形跑道为,设,则， 由正弦定理可得, 在三角形中，由余弦定理可得, 由于,所以， 当且仅当时，等号成立， 在中， , 由余弦定理可得, 由于,所以， 当且仅当时，等号成立， 故四边形的周长， 所以四边形跑到周长的最大值为米. 12. 球是一个半径为1的球，其大圆上有一个内接正二十四边形是球面上一点，是正二十四边形边上一点，均不与重合，记，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先建立坐标系与几何模型，根据题给条件分析和的表达式，根据数量积的运算律计算出和，再根据半角公式算出结果. 【详解】设球心O为坐标原点，正二十四边形所在平面为平面， 点都在单位圆上，即 . 点A是球面上一点，所以,点B是正二十四边形上一点，所以 . 已知，, 则， 故，故， 又因为是正二十四边形且内接于以O为圆心的圆，其顶点的向量和为零向量， 即 ，故， 即. ， 故，同理，即， 故. 当点位于正二十四边形边上（非顶点）时，最小值为中心到边的距离， 趋近于顶点时，最大值趋近于1. 故，则， ， 由半角公式可得 则. 二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 实轴 B. 虚轴 C. 第二象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】， 在复平面内对应的点为, 即复数对应的点位于虚轴. 14. 已知幂函数在上是增函数，则实数m的值为（ ） A. 1或 B. 3 C. D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数的定义结合单调性分析求解即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，解得或． 当时，在上是增函数，符合题意； 当时在上是减函数，不合题意． 综上所述：实数m的值为3. 故选：B. 15. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为0.6，乙中靶的概率为0.7，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则（ ） A. 两人都中靶的概率为0.12 B. 两人都不中靶的概率为0.42 C. 恰有一人中靶的概率为0.46 D. 至少一人中靶的概率为0.74 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件， 乙中靶为事件， 则两人都中靶的概率为， 两人都不中靶的概率为， 恰有一人中靶的概率为， 至少一人中靶的概率为. 故选：C 16. 对于数列，若存在正数，使得对一切正整数，恒有，则称数列有界；若这样的正数不存在，则称数列无界，已知数列满足：，，记数列的前项和为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，数列有界 B. 当时，数列有界 C. 当时，数列有界 D. 当时，数列有界 【答案】B 【解析】 【分析】当时， 构造新函数，利用导数判断其单调性，进而得出，由此判断A; 构造函数，判断其单调性，推出，进而得到，从而说明，判断B; 当 时，说明成立，从而判断C,D. 【详解】当时， 令，则， 当 时，，故 ， 因为，则， 所以 ，（这是因为）， 令 ，则， 故时单调递增函数， 故，则， 假设 ，则， 故由归纳法可得成立，所以 ， 故数列无界，故A错； 又由， 设 则 ， 故递减，则， 所以 ，则 ， 则 ， 故 ，则， 故 ， 即当时，数列有界，故B正确 当 时，，由， ， 假设 ，则 ，即成立， 所以此时 都无界，故C,D错误； 【点睛】本题给定数列的新定义，要求能根据定义去判断数列是否符合要求，其中涉及到构造函数，并判断函数的单调性等问题，较为复杂，比较困难. 三､解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 每年3月是中辉中学的“数学节”，在本次数学节中高三年级举行了一次“数学文化知识竞赛”.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组，其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求的值； （2）从样本数据在两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率； （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】（1）； （2） （3）平均数90，方差38.75 【解析】 【小问1详解】 由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知， ，解得， 又，解得. 【小问2详解】 由图可知的频率为0.008，上问已求的频率为0.004， 则两层应分别抽取4人和2人， 则所有的抽样为,共15个样本点， 抽到的两位同学来自相同小组的样本数为，设抽到两位同学来自不同小组的概率为， 则. 【小问3详解】 因为，所以， 又因为，所以， 化简得. 剔除其中的95和85两个分数，又因为95和85平均数为90， 则剩余8个分数的平均数仍为90，即. 方差：. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，点在线段上，平面. （1）证明：为的中点； （2）若，二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，根据线面平行的性质得到，即可得证； （2）取中点，连接，即可得到，建立空间直角坐标，设，求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可求出. 【小问1详解】 连接交于点，连接． 因为底面为菱形，所以为的中点． 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以为的中点. 【小问2详解】 取中点，连接． 在菱形中，，所以，则为正三角形， 所以，又，所以． 又因为平面，如图建立空间直角坐标系． 设， 则，，，， 则，，， 则平面的一个法向量为． 设平面的一个法向量为， 则，取， 因为二面角的余弦值为， 所以，解得（负值已舍去）， 所以． 19. 记内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合三角恒等变换及正弦定理可得，由，可得，求解即可； （2）由正弦定理可得，，由是锐角三角形，得，，又因为，结合对勾函数求解即可. 【小问1详解】 易得， 由正弦定理得， 而， 故， 易知， 故， 即， 又因为， 所以， 所以， 解得； 【小问2详解】 因外接圆直径为， 则由正弦定理可知， 故，， 因为是锐角三角形， 所以， 得，， 则， 所以， 由对勾函数的性质可知，在上单调递减， 故的取值范围为. 20. 如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4的圆形纸片按如下步骤折纸： 步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过； 步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕. 这些折痕围成一个图形，设关于折痕的对称点为Q点. （1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形C的标准方程； （2）过的直线交C于A，B两点，若内切圆的半径为，求的方程； （3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）设与折痕的交点为N，求出，根据椭圆的定义判断轨迹形状，再求出即可； （2）设：，与椭圆方程联立，根据内切圆半径求出的面积，再根据即可求出； （3）设，分、两种情况，当时，求出的垂直平分线，并与椭圆方程联立，根据即可求出；根据椭圆的光学性质求出，切点三点共线，再结合椭圆定义可求出，最后根据圆的定义求出. 【小问1详解】 设与折痕的交点为， 由题意可知，， 所以点N是以，为椭圆的左、右焦点，长轴长为4的椭圆， 设其方程为，则，， 所以，，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知，直线不与x轴重合. 因为，故设：，， 联立，得， 则，，， 则， 故， 又内切圆的半径为，且的周长是， 所以， 则，即，解得， 故直线的方程为. 【小问3详解】 解法一：设， 当时，的垂直平分线方程为， 此时，或，即或； 当时，线段的中点为，直线的斜率为， 则的垂直平分线方程为， 联立， 得， 因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点， 故， 即， 则， 即， 即， 即， 因为，所以， 而也满足该式， 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为，即. 解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P，直线与交于点， 则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线， 也为的角平分线，作的角平分线，根据椭圆的光学性质得， 则，则， 故， 所以M，P，三点共线，所以， 所以点M的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 当P在椭圆长轴上时，M点为或时也满足， 故点M的轨迹是圆，该圆的方程为. 21. 已知函数的定义域为，对于实数，定义． （1）设，求； （2）设，是否存在实数，使得是一个闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； （3）已知函数的定义域是，函数值恒正，导函数为，且恒成立，若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”当且仅当“”． 【答案】（1） （2）存在， （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题中所给定义求解即可； （2）方法一：根据定义得到不等式后，令，结合二次函数图像即可求解；方法二：构造函数，求导后研究函数的单调性、极值即可求解； （3）首先，通过定义证明成立，后证明严格单调递增时，先证明一引理：对任意，当满足时，，再通过增函数定义即可证明；严格单调递增证明时，直接利用单调性及即可证明． 【小问1详解】 时，解，即，可得． 【小问2详解】 即不等式，即的解集是一个闭区间， 设，不等式左侧记为， 由题意可知，有解，则，且解集满足，此时，，当时，可得， 当时解得不符题意， 时解得符合题意， 综上，的取值范围是． 另解：构造， 则，令， 当时，，所以存在，使得， 在上单调递减，上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以是的极大值点， 故当时，是一段闭区间，因此符合题意， 特别地，当时，，，，故仍是一段闭区间， 当时，，故当且仅当时，， 同理，是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，由此得， 综上所述，存在满足条件的，且． 【小问3详解】 假设，若，则，与矛盾，故， ①若，证明：函数是上的严格增函数， 考虑引理：对任意，当满足时，． 证明：已知，，假设，设， 任取，，则， 因为函数是严格增函数，所以， 即，所以， 由此， 构造，当，则， 而，所以是严格减函数，，矛盾， 所以，引理得证， 回到原问题，任取，若，， 两式相减可得. 而，，又因为是严格减函数，则， 由于，，所以，故， 同理，可证函数在上为严格增函数，且， 故函数在上为严格增函数，得证； ②若函数是上的严格增函数，证明：， 因为函数是上的严格增函数且， 当时，；当时，， 因此，得证． 综上，命题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $