有关势能陷阱的问题 专项训练 -2027届高考物理一轮复习选考尖子培优【浙江专用】

该高中物理高考复习讲义聚焦势能陷阱专题，整合重力、引力、分子力等势阱模型，围绕能量守恒、运动与相互作用、动量碰撞等核心考点，按“本质-能量转化-势能曲线-综合应用”逻辑架构知识点。通过核心知识梳理、题型分类精讲、真题案例分析和巩固练习，帮助学生系统构建势阱问题的分析框架，突破高考难点。 讲义突出跨情境融合与科学思维培养，如结合“天问一号”引力势阱案例推导逃逸速度，通过分子力势阱模型建构训练科学推理能力。设置基础巩固与能力提升分层练习，配合即时反馈策略，能有效提升学生解决复杂问题的应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

有关势能陷阱的问题 【核心知识】 一、势阱模型的本质 1.定义：势能函数曲线在空间某范围内存在最小值，形如“陷阱”，粒子（或物体）处于其中需要获得足够能量才能逃逸。 2.常见类型： (1)重力势阱（如过山车轨道、深井）： 。 (2)引力势阱（如地球发射卫星）： （取无穷远为零势能点）。 (3)分子力势阱（如分子间作用力）：平衡位置 处势能最小。 (4)静电势阱（如电荷排列形成的陷阱）。 (5)光势阱（如光镊技术）。 二、能量守恒与转化 (1)在只有保守力（重力、弹力、分子力等）做功的情况下，机械能（动能+势能）守恒。 (2)逃逸条件：物体要逃离势阱，其总能量（机械能）必须大于或等于势阱边缘（或无穷远处）的势能值。 (3)临界速度：如第二宇宙速度（逃逸地球引力）的推导。 三、势能曲线的物理意义 1.曲线的斜率代表力的大小（ ）。 2.曲线的最低点代表稳定平衡位置（合力为零）。 3.曲线的极值点对应最大势能或束缚能。 四、动量与碰撞 在势阱类问题中，常结合弹性碰撞或完全非弹性碰撞考察能量传递效率（如钢球碰撞问题）。 【题型分类】 题型一、经典力学中的势阱（重力/引力） 特点：考察物体在重力场或引力场中的运动，涉及机械能守恒和逃逸速度。 例题1、“势阱”是量子力学中的常见概念，在经典力学中也有体现，当粒子在某力场中运动，其势能函数曲线在空间某范围内存在最小值，形如陷阱，粒子很难跑出来。如图1所示，内壁光滑、半径为R的半圆形碗固定在水平面上，将一个质量为m的小球（可视为质点）放在碗底的中心位置C处，此时小球就处于“势阱”处。各种形式的势能函数只要具有这种特点，我们都可以称它为势阱，比如重力势阱、分子力势阱、静电力势阱等。 (1)我国首个火星探测器命名为“天问一号”。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，从而摆脱地球引力势阱的束缚，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道近似为圆形运行的人造卫星；已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为m₁和m₂的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为，式中G为引力常量且大小已知。 已知地球质量为M、半径为R，在如图2所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（r≥R）。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力势阱的束缚； (2)如图3所示，a、b为某种物质的两个分子，以a为原点，沿两分子连线建立x轴，如果选取两个分子相距无穷远时的分子势能为零，则作出的两个分子之间的势能与它们之间距离x的-x关系图线如图4所示，假设分子a固定不动，分子b只在ab间分子力的作用下运动（在x轴上）。 ①当两分子间距离为时，b分子的动能为（），图中为已知量，求a、b分子间的最大势能； ②弹簧、橡皮筋等弹性物质，大多有“弹性限度”，在“弹性限度”范围遵守胡克定律。弹力是分子力的宏观表现，从微观尺度上看，b分子在附近小范围振动时，分子力和分子偏离的距离成正比，比例系数为k，当两分子间距离为时，b分子的动能为，求b分子在附近做简谐运动的振幅A。 题型二、微观与量子物理中的势阱 特点：结合分子力、量子点、光镊等现代科技背景，考察微观粒子的束缚与分离。 例题2、某科研团队设计了一种基于量子点材料的纳米级光电传感器，用于检测极微弱的光信号。其工作原理为：量子点材料在吸收光子时克服其带隙能量产生电子-空穴对，电子-空穴对在量子点内部的势阱中被束缚，形成激子（由一个电子和一个空穴通过库仑相互作用结合而成的准粒子）；当外加电场作用于该量子点时，激子会分离为自由电子和空穴，形成光电流。量子点可能吸收一个高能光子并产生多个激子。激子的束缚能是指将电子和空穴从激子状态分离为自由电子和空穴所需的能量，束缚能越大，激子越稳定，其表达式近似为，电子和空穴之间的库仑力可表示为（r为电子和空穴之间的平均距离，为材料的介电常数，k为静电力常量，e为电子电荷量）。关于该光电传感器的工作特性，下列说法正确的是（　　） A．只要外加电场强度大于，就能产生有效的光电流 B．增大外加电场强度，有效光电流可能不变 C．该光电传感器的工作原理与光电效应原理相同 D．产生一对自由电子和空穴需要的能量等于入射光子的能量与外加电场做功之和 题型三、碰撞与动力学综合 特点：在势阱轨道中引入多物体碰撞，考察动量守恒与能量守恒的联立应用。 例题3、“势阱”是量子力学中的常见概念，在经典力学中也有体现。当粒子在某力场中运动，势能函数曲线在空间某范围内势能存在最小值，形如陷阱，粒子很难跑出来。各种形式的势能函数只要具有这种特点，我们都可以称它为势阱，比如重力势阱、引力势阱、弹力势阱等。 （1）如图甲所示，光滑轨道abcd固定在竖直平面内形成一重力势阱，两侧高分别为kH（k＞1）和H。3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号），质量均为m，2号和3号小球紧挨着静置于水平轨道的b处，1号小球从左侧a处沿着轨道从静止开始向下运动，在b处与其他小球发生弹性碰撞，碰撞前后都在轨道上运动。已知重力加速度为g。 ①计算说明3号小球离开该势阱后在水平轨道cd运动时的速度大小。 ②若将2号球左侧涂胶（不计胶的质量），1、2号球碰撞后粘在一起，发现全部3个球都能离开该势阱，分析说明k满足什么条件？ （2）我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。为了简化问题，可以认为地球和火星在同一平面上绕太阳做匀速圆周运动，火星轨道半径约为地球轨道半径的1.5倍。从地球表面向火星发射火星探测器，简单又比较节省能量的发射过程可简化为：先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，从而摆脱地球引力势阱的束缚，经过一系列调整使探测器成为一颗沿地球公转轨道运行的人造行星；然后使探测器在适当位置加速，经椭圆轨道（霍曼转移轨道）到达火星。 ①已知，取无限远处为零势能点，间距为r，质量分别为m₁、m₂的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：，式中G为引力常量且大小已知。假设地球是一半径为R，质量为M且质量分布均匀的球体，通过理论分析可知，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。在如图乙所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r。请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线。并在纵坐标上标出探测器在地球表面时所具有的引力势能。 ②由开普勒定律可知：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。已知地球公转周期为12个月，如图丙所示，探测器由地球公转轨道上的H点开始发射（即瞬间加速，加速时间可忽略），此后探测器仅在太阳引力作用下，经霍曼转移轨道在I点到达火星。“天问一号”已于2020年7月23日发射升空，请根据上述信息推断“天问一号”到达火星的时间？请查阅资料，结合“天问一号”真实到达时间，对推断时间给出评价。（可能需要用到的数据：） 题型四、电学与热电效应 特点：考察逸出功（金属势阱）、接触电势差及温差电动势。 例题4、能量守恒定律是普遍、和谐、可靠的自然规律之一。根据能量守恒定律，物理学发现和解释了很多科学现象。 （1）经典力学中的势阱是指物体在场中运动，势能函数曲线在空间某一有限范围内势能最小，当物体处于势能最小值时，就好像处在井里，很难跑出来。如图所示，设井深为H，若质量为m的物体要从井底至井口，已知重力加速度为g，求外力做功的最小值W。 （2）金属内部的电子处于比其在外部时更低的能级，电势能变化也存在势阱，势阱内的电子处于不同能级，最高能级的电子离开金属所需外力做功最小，该最小值称为金属的逸出功。如图所示，温度相同的A、B两种不同金属逸出功存在差异，处于最高能级的电子电势能不同，A、B金属接触后电子转移，导致界面处积累正负电荷，稳定后形成接触电势差。已知A金属逸出功为，B金属逸出功为，且，电子电荷量为－e。 a.请判断界面处A、B金属电性正负； b.求接触电势差。 （3）同种金属两端由于温度差异也会产生电势差，可认为金属内部电子在高温处动能大，等效成电子受到非静电力作用往低温处扩散。如图有一椭球形金属，M端温度为，N端温度为，沿虚线方向到M端距离为L的金属内部单个电子所受非静电力大小F满足：，非静电力F沿虚线方向，比例系数μ为常数，与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小有关，电子电荷量为－e，求金属两端的电势差。 【巩固提升练习】 1．某实验室正在研究一种新型的“人工分子”电子器件。在纳米尺度上将三个带正电的金属探针尖端精确地排列成一个等边三角形，形成三角形的静电势阱阵列。研究人员标记了几个关键位置：为三角形中心；为三边中点；两点关于直线对称，如图所示。实验时，他们向该区域发射探测电子，并测量电子在不同位置的电势能，以绘制出系统的等势面与电场线分布（图中实线即为模拟计算的电场线），规定无穷远处的电势为零。下列说法正确的是（　　） A．点和点的电场强度相同 B．点的电场强度和电势均为零 C．电子在点的电势能相等 D．电子在点的电势能大于在点的电势能 2．“势阱”是量子力学中的常见概念，在经典力学中也有体现。当粒子在某力场中运动，其势能函数曲线在空间某范围内存在最小值，形如陷阱，粒子很难跑出来。各种形式的势能函数只要具有这种特点，我们都可以称它为势阱，比如重力势阱、引力势阱、弹力势阱等。如图所示，光滑轨道abc固定在竖直平面内形成一重力势阱，两侧高分别为H和h。一可视为质点的质量为m的小球，静置于水平轨道b处。已知重力加速度为，取c处所在平面为重力势能零势能面，则（　　） A．小球在a位置的重力势能为 B．小球静止在b位置的机械能为 C．小球从a位置沿着轨道运动到b位置的过程中，重力做功的功率一直增大 D．若小球能从c位置逃离重力势阱，小球在b位置获得的最小动能为 3．光镊技术可以用来捕获、操控微小粒子(目前已达微米级)．激光经透镜后会聚成强聚焦光斑，微粒一旦落入会聚光的区域内，就有移向光斑中心的可能，从而被捕获．由于光的作用使微粒具有势能，光斑形成了一个类似于“陷阱”的能量势阱，光斑中心为势能的最低点．结合以上信息可知，关于利用光镊捕获一个微小粒子的情况，下列说法正确的是 A．微粒被捕获时，受到激光的作用力一定沿着激光传播的方向 B．微粒被捕获时，受到激光的作用力一定垂直激光传播的方向 C．微粒向光斑中心移动时，在能量势阱中对应的势能可能增大 D．被捕获的微粒在获得较大的速度之后，有可能逃离能量势阱 4．“势阱”是量子力学中的常见概念，在经典力学中也有体现。当粒子在某力场中运动，其势能函数曲线在空间某范围内存在最小值，形如陷阱，粒子很难跑出来。各种形式的势能函数只要具有这种特点，我们都可以称它为势阱，比如重力势阱、引力势阱、弹力势阱等。 (1)如图甲所示，光滑轨道abc固定在竖直平面内形成一重力势阱，两侧高分别为kH和H。一可视为质点的质量为m的小球，静置于水平轨道的b处。已知重力加速度为g。 ①以a处所在平面为重力势能零势能面，写出该小球在b处机械能的表达式； ②使小球由b处开始运动，从右侧c处脱离该重力势阱，至少需要给小球提供多少动能？ (2)我国首个火星探测器被命名为“天问一号”。若从地球表面向火星发射火星探测器，首先需要先在地球表面使探测器加速并获得足够的动能，从而摆脱地球引力势阱的束缚。 已知取无限远处为引力势能零点，间距为r、质量分别为和的两质点组成的系统具有的引力势能可表示为：，式中G为引力常量且大小已知。已知地球质量为M、半径为R，在如图乙所示的坐标系中，纵轴表示引力势能，横轴表示质量为m的探测器到地心的距离r（r≥R）。 ①请在该坐标系中定性画出地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线； ②静置于地面处的该探测器，至少需要获得多大速度（相对于地心，不考虑地球的自转和空气阻力及其他天体的影响），才能摆脱地球引力势阱的束缚。 5．如图所示，光滑轨道固定在竖直平面内形成一重力势阱，两侧高分别为和。可视为质点的小物块质量为，静置于水平轨道处。设重力加速度为；若以处所在平面为重力势能零势能面，物块在处机械能为_________，一质量为的小球从处静止落下，在处与滑块相撞后小球将动能全部传给滑块，随后滑块从陷阱右侧滑出，其到达处的速度大小为_________________。 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 《有关势能陷阱的问题》参考答案 【例题参考答案】 例题1、(1)；；(2)①；② 【详解】（1）地球与探测器组成的系统具有的引力势能函数曲线如图所示 当时，引力势能 随着r的增大，引力势能的绝对值逐渐减小，引力势能逐渐增大，设静置于地面处的探测器，至少需要速度v才能摆脱地球引力势阱的束缚，由机械能守恒得 解得 （2）.当分子速度为零时，此时两分子间势能最大根据能量守恒，有 .方法一：由题意可知，分子在附近做简谐运动，做出图像，图像的面积表示分子力做功 根据动能定理 有 可得振幅 方法二：由题意可知，分子处于处时，系统的动能为，系统的势能为，分子处于振幅处时，系统的动能为0，系统的势能为，根据能量守恒有 分子在附近做简谐运动，做出图像，图像的面积表示分子力做功 分子力做功与分子能的关系为 可得 解得 例题2、B 【详解】A．电子和空穴之间的库仑力为，当外加电场强度大于等于时，能产生有效的光电流，A错误； B．若激子已经全部分离为自由电子和空穴，则即使增大外加电场强度，有效光电流也不变，B正确； C．光电效应是金属中的电子吸收光子的能量，逸出金属表面形成光电流，该光电传感器是量子点材料吸收光子形成激子，当外加电场作用于该量子点时，激子会分离为自由电子和空穴，形成光电流，二者原理不同，C错误； D．量子点材料首先要吸收光子克服其带隙能量产生电子-空穴对，电子-空穴对在量子点内部的势阱中被束缚，形成激子，当激子要分离为自由电子和空穴时，需要克服激子的束缚能，故产生一对自由电子和空穴需要的能量等于入射光子的能量减去激子的束缚能，与外加电场无关，D错误。 故选B。 例题3、（1）①②k≥36；（2）①当r≥R时，，当0≤rR时，， ；②用时约为0.70倍的地球公转周期，即8.4个月左右，因此“天问一号”将于2021年4月初到达火星。火星与地球半径不是严格的1.5倍关系，火星和地球的公转轨道实际不共面，实际火星轨道为椭圆轨道等，这些建模过程中忽略的因素都会对结果造成影响。 【详解】（1）①1号小球与2、3小球碰撞之前的速度为v0，则由机械能守恒定律有 解得 由于3个小钢球完全相同，故由动量守恒定律可得1号小球把它的速度传递给3号小球，即 又由机械能守恒定律的 联立两式解得 ②若将2号球左侧涂胶，1、2号球碰撞后粘在一起，再与3号小球相碰，设碰后1、2号球速度为，3号小球速度为，则由动量守恒定律可得 若要3个球碰后都能离开该势阱，只要满足 ， 即可，联立解得：k≥36 （2）①当r≥R时，根据引力势能公式可得 当0≤rR时，则距离地心为r处的探测器受到地球引力作用部分的质量为 故地球内部万有引力 从地球外部向内部运动，万有引力做正功，则有 根据功能关系可得，从地球表面向内部运动 故地球内部势能的表达式为 整理即为 函数曲线如图所示 ②用时约为0.70倍的地球公转周期，即8.4个月左右，因此“天问一号”将于2021年4月初到达火星。火星与地球半径不是严格的1.5倍关系，火星和地球的公转轨道实际不共面，实际火星轨道为椭圆轨道等，这些建模过程中忽略的因素都会对结果造成影响。 例题4、（1）mgH；（2）a. A金属侧带正电B金属侧带负电，b.；（3） 【详解】（1）根据能量守恒定律可知，质量为m的物体要从井底至井口，外力做功最小值为mgH。 （2）a. 界面处A金属电子处于比B金属电子更高的能级，电子从A侧向B侧转移， A金属侧带正电，B金属侧带负电。 b. 金属两侧正负电荷在界面处激发的电场阻碍电子继续从A向B侧移动，最终达到平衡。设无穷远处电子电势能为0，则初状态A侧电子能量为，B侧为，末状态A侧界面电势为，B侧界面电势为，界面两侧A、B电子能量相等，有 联立可得A、B间电势差为 （3）由于与垂直于温度变化方向的金属横截面积大小相关，在沿虚线方向取极短距离△L，则非静电力做功为，累加后可得 根据电动势的定义式，可得 为非静电力做功。断路状态下MN两端电势差大小数值上等于电动势。联立以上两式，可得金属两端电势差为 【巩固提升练习参考答案】 1．C 【详解】A．根据图中、的电场线，可知两点的电场强度方向不同，电场强度大小相等，故A错误。 B．根据题意可知，、、为3个带等量正电的点电荷，可知处的电场方向指向外侧，而无穷远处电势为零，故点电势大于零；根据库仑定律，结合3个等量正电荷在等边三角形的顶点，即对称性分布特点，可知处电场强度为零，故B错误。 C．根据对称性特点，可知、、点的电势相等，电子在这三个点的电势能相等，故C正确。 D．根据三个等量点电荷的位置，结合电场的对称性分布特点，可知、处的电势大小相等，电子在这两个点的电势能大小相等，故D错误。 故选C。 2．D 【详解】A．取c处所在平面为重力势能零势能面，则小球在a位置的重力势能为，A错误； B．取c处所在平面为重力势能零势能面，则小球静止在b位置的机械能为，B错误； C．小球在a、b时竖直方向的分速度均为零，则从a位置沿着轨道运动到b位置的过程中，竖直方向的分速度不可能一直增大，所以从a到b重力做功的功率不可能一直增大，C错误； D．小球要想从c位置逃离重力势阱，到达c处的速度应大于或等于0，所以结合前面分析，由机械能守恒定律可知，小球在b位置获得的最小动能为，D正确。 故选D。 3．D 【详解】A.微粒被捕获时，受到激光的作用力朝着激光焦点的方向，故A错误； B.微粒被捕获时，受到激光的作用力朝着激光焦点的方向，故B错误； C.由题干可知，光斑中心为势能的最低点，所以微粒向光斑中心移动时，在能量势阱中对应的势能不能增大，只能减小，故C错误； D.根据能量守恒，较大的初速度对应较大初动能，可以让微粒逃离能量势阱，故D正确． 4．(1)①-mgkH；②mgH (2)①② 【详解】（1）①小球的机械能E=Ek+EP =0-mgkH=-mgkH ②从b到c，根据机械能守恒可得：-mgH=0-Ek 解得Ek=mgH 因此至少需要的动能Ek=mgH （2）①图线如下图所示 ②探测器在地球表面的引力势能为 静置于地面处的该探测器，至少需要获得v0的速度，才能摆脱地球引力势阱的束缚，根据能量守恒可得 解得 5． 【详解】[1]以处所在平面为重力势能零势能面，则物块在处的重力势能为 又因为物块质量为，静置于水平轨道处，则物块在处的动能为 因此物块在处机械能为 [2]由题可知，整个过程满足机械能守恒，则有 解得，物块到达处的速度大小为 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $