专题16 数据的分析【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

**基本信息** 专题16数据的分析同步练以“基础概念-综合应用-中考衔接”三级分层，覆盖集中趋势、离散程度等核心考点，通过例变式题组与真题特训，深化知识理解与数据观念培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|算术平均数、中位数等单一概念|例1-例9配变式题，聚焦公式应用与运算能力| |能力提升|四分位数、箱线图等综合应用|题型10-13结合实际情境，培养数据分析与模型意识| |中考衔接|多考点融合与真题演练|特训02精选中考题，强化知识迁移与问题解决能力|

专题16 数据的分析 （重难点题型专训） 【知识考点 数据的分析】 1.数据的集中趋势 （1）平均数 ① 定义：一般地，对于n个数据x1，x2，…，xn，则叫作这n个数据的平均数（或称算术平均数），“”读作“x拔”. ② 平均数的意义 平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势和度量一组数据波动大小的基准． ③ 求法： （2）加权平均数 ① 定义：一般地，若个数，，…，的权分别是，，…，，则= 叫作这个数的加权平均数. ② 权的概念：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫作权。权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大；权越小，该数据所占的比重越小。 ③ 权常见的表现形式：1）用频数表示，即用出现的次数表示；2）百分数的形式；3）连比的形式。 （3）中位数 ① 定义：一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数。当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数。 一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平。 ② 求法： （4）众数 ① 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数。 ② 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． 1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； 2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． （5）平均数、中位数、众数的联系与区别 2.数据的离散程度 （1）离差或偏差 一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把Xi-（i=1,2，…，n）叫作Xi关于平均数的离差或偏差。 （2）离差平方和 我们把d2= 叫作这n个数据关于它们的平均数的离差平方和，记作“d2”. （3）方差 ① 定义：把n个数据与它们平均数的差的平方的平均数． 即叫作这组数据的方差，记作“S2”. ② 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，能较好地反映出数据的离散程度；方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 3.数据的四分位数 （1）四分位数 ① 定义：将一组从小到大顺序排列的数据平均分成四等份，处于三个分点位置的数称为这组数据的四分位数： 1）下四分位数（Q₁）：排在第 25% 位置的数，也叫第一四分位数； 2）中位数（Q₂）：排在第 50% 位置的数，即第二四分位数（就是之前学过的中位数）； 3）上四分位数（Q₃）：排在第 75% 位置的数，也叫第三四分位数； ② 这三个数将数据分成四个部分，每部分包含25% 的数据。 示例 1,3,5,7,9,11,13 2,4,6,8,10,12 从小到大排序后 1,3,5,7,9,11,13 2,4,6,8,10,12 中位数（Q₂） 7 7 下四分位数（Q₁） 3 4 上四分位数（Q₃） 11 10 （2）箱线图 ① 定义：箱线图是用一组数据的最小值、下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、上四分位数（Q₃）、最大值这五个数据所绘制的统计图，能将数据的分布特征浓缩在一条线段和一个矩形中，无需展示所有数据点，特别适合多组数据的横向比较。 ② 箱线图画法 箱线图主要由矩形体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成。箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示下四分位数，箱体中部的竖线表示中位数，箱体的右端竖线表示上四分位数。整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距。（如下图）。箱线图既可以按水平方向画也可以按竖直方向画。 画箱线图的一般步骤： 1）排序：将数据从小到大排列； 2）计算五数：最小值、最大值、中位数（Q₂）、下四分位数（Q₁）和上四分位数（Q₃）； 3）画数轴：根据数据范围画出合适的数轴； 4）画箱子：在数轴上对应的下四分位数和上四分位数的位置画矩形，在中位数的位置画竖线； 5）画须线：从箱子左端点向左画线段到最小值，从箱子右端点向右画线段到最大值。 4.数据的分组 一般地，假设有n个数据，，，，，若将其分成两组，其中前m个数据为一组（称为第一组），后（n－m）个数据为一组（称为第二组）．这n个数据的总体离差平方和可以表示为：．其中． 记，记 其中称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度． 对数据的分组有两步，第一步是排序，第二步是确定组数和各组内数据的个数，我们只讨论分两组的情形，如果一共有n个数据，要把较小的m个数据分为一组，把剩下的（n－m）个数据分为另一组．我们通过“组内离差平方和最小”的原则来确定m的大小． 【重难点常考题型概览】 【题型01】算术平均数的求解 【题型02】加权平均数的求解 【题型03】中位数的求解 【题型04】众数的求解 【题型05】求离差平方和 【题型06】求方差 【题型07】利用方差求未知数据的值 【题型08】根据方差判断稳定性 【题型09】根据要求选择合适的统计量 【题型10】四分位数的求解 【题型11】画箱线图 【题型12】箱线图与四分位数的综合运用 【题型13】数据的分组优化 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】算术平均数的求解 【例1】（2025-2026八年级下·浙江温州·期中）某班举行的“3V3篮球挑战赛”中，小明5场比赛的得分分别为：9，7，8，10，7．这五次得分的平均数是_______分． 【答案】8.2 【分析】见解析 【解答】解：根据题意，计算五次得分的总和：， 由平均数计算公式：平均数等于所有数据的和除以数据的个数，得：． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·甘肃平凉·期末）某班六个合作学习小组人数如下： 5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了平均数的计算，根据这组数据的平均数是6，列方程得，求解即可．掌握平均数的计算是解题的关键． 【解答】解：由题意得， 解得． 故答案为：3． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·山西晋城·期末）某小组成员男生占，一次考试中，该组男生的平均分为80分，女生的平均分为90分，则这个小组全体成员的平均分为____分． 【答案】 【分析】本题主要考查了求平均数，根据平均数的定义求解即可．设总人数有人，再由总分除以总人数即可. 【解答】解：设总人数有人， ∴这个小组全体成员的平均分为：（分）， 故答案为： 【变式1-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是______． 【答案】20 【分析】根据平均数的定义，计算即可． 【解答】解：，，，，的平均数是5， ， ． 【题型02】加权平均数的求解 【例2】（2024-2025八年级下·湖北黄冈·期末）2025年4月28日，我县东坡庙会·文化旅游推介周启动仪式在牛车河月亮湾露营基地隆重举行，旨在让更多人走进团风、读懂团风、爱上团风．我校文学社团举行了“我爱团风”演讲比赛．团员的演讲内容、演讲效果、演讲技巧三项按如图所示的权重计算得分．已知某团员的三项原始得分分别是内容96分，效果95分，技巧90分，那么该团员最终比赛成绩为__________分． 【答案】95 【分析】本题考查求加权平均数，根据加权平均数的计算方法，求出加权平均数即可． 【解答】解：（分）； 故答案为：95 【变式2-1】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是________分． 【答案】91 【分析】本题主要考查了求一组数据的加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式，是解题的关键．根据加权平均数的计算方法，将各项成绩乘以其对应的权重，然后求和即可． 【解答】解：小华这学期的美术成绩为： （分）． 故答案为：91． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·四川南充·期末）某校组织“纪念五四运动，争做时代青年”才艺汇演，参赛选手比赛成绩由专评组、大众组、亲友团三类评分，并按计算成绩，某班舞蹈表演三类分别得分为96、95、100，该班舞蹈表演最终成绩是______． 【答案】96 【分析】本题考查了加权平均数．根据加权平均数的计算方法求解即可． 【解答】解：该班舞蹈表演最终成绩是（分） 故答案为：96． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·全国·单元测试）二中为了招聘一批优秀教师，对入选的三名候选人进行技能与专业知识两项考核，最终李老师、于老师、王老师三人的考核成绩统计如下：如果视教学技能与专业知识水平同等重要，那么候选人_______将被录取；如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重，则________将被录取． 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 李老师 85 92 于老师 91 85 王老师 80 90 【答案】 李老师 于老师 【分析】此题考查平均数和加权平均数的计算．当两项考核同等重要时，计算算术平均数；当赋予不同权重时，计算加权平均数，再比较大小以决定录取． 【解答】解：当视教学技能与专业知识水平同等重要时，计算各候选人的算术平均数： 李老师： 于老师： 王老师： 比较得 ，故李老师将被录取． 当视教学技能水平比专业知识水平重要，并赋予它们6和4的权重时，计算各候选人的加权平均数： 李老师： 于老师： 王老师： 比较得 ，故于老师将被录取． 【题型03】中位数的求解 【例3】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 利用中位数的定义得到，即可作答． 【解答】解：∵有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数， ∴将一组数据按照从小到大为2，5，a，7，8， ∵a为整数， ∴， 故答案为：6． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·广西河池·期末）某校八年级6名女生的体重（单位：）为：35，36，38，39，40，42，则这组数据的中位数是___________． 【答案】38.5 【分析】本题考查中位数的计算，解题的关键是掌握中位数的定义（当数据个数为偶数时，取中间两个数的平均值）． 先确认数据已按从小到大排列，再根据数据个数为偶数的情况，计算中间两个数的平均值得到中位数． 【解答】解：已知数据已按从小到大排列为：， 因为数据个数为6（偶数）， 所以中位数是中间第3个和第4个数据的平均值，即： ． 故答案为：38.5． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·湖北武汉·期末）一组数据3，4，x，6，9的平均数是6，则该组数据的中位数是__________． 【答案】6 【分析】首先根据平均数为6，求出x的值，然后根据中位数的概念求解． 本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【解答】解：∵数据3，4，x，6，9的平均数为6， ∴， 即， 解得． 将数据排序后为3，4，6，8，9， 则中位数为6． 故答案为：6． 【变式3-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：；；，根据中位数的定义求解即可. 【解答】把这组数据按从小到大排列得：，0，2，4，6， 插入一个数x后，数据变为6个，中位数为排序后第3、4位数的平均数． 设排序后的新数据为，，，，，， 若，则，，，， 此时中位数为，符合题意； 若，此时， ∴，解得，即； 若，则中位数，不符合题意，舍去， 综上，x的取值范围是． 【题型04】众数的求解 【例4】（2024-2025八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了众数的概念，根据众数的概念：一组数据中出现次数最多的数值即为众数，即可得到答案，熟练掌握众数的概念为解题的关键． 【解答】解：∵这组数据中，出现两次，又有唯一的众数， ∴， 故选：． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·广东汕头·阶段练习）如表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 得分（分） 5 6 7 8 9 10 人数（人） 2 3 5 ♥ ★ 7 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了众数和中位数，设得8分的人数为x，9分的人数为y，则，且，再根据中位数和众数的定义逐一分析即可． 【解答】解：设得8分的人数为x，9分的人数为y， 则，且， ∴当时，，此时中位数为9分，众数为9分，符合题意； 当时，，此时中位数为8分，不符合题意； 当时，，此时中位数为8分，众数为8分和9分，不符合题意； 当时，，此时众数为8分，不符合题意； ∴成绩得9分的人数是11人， 故选：C． 【变式4-2】（2023-2024八年级下·吉林长春·期末）为了发扬中华传统文化，某校随机调查了50名学生一周进行中国古典文学阅读的时间（如下表），这些学生一周进行中国古典文学阅读时间的众数是_________小时． 人数（人） 9 14 17 10 时间（小时） 7 8 9 10 【答案】9 【分析】本题考查众数，掌握众数的计算方法是解决问题的关键． 根据众数的意义求解即可． 【解答】解：这50名学生的文学阅读时间出现次数最多的是9小时，共出现17次， ∴众数是9小时， 故答案为：9． 【变式4-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）五名学生投篮球，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的平均数是5，中位数是6，唯一众数是7，则五个学生投中的次数可能是________________（写出一组情况即可，并按从小到大的顺序排列）． 【答案】2，3，6，7，7（答案不唯一） 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数的概念，解题关键是结合各统计量的定义，通过总和约束推导符合条件的数据． 根据平均数、中位数、众数的定义，先确定数据的个数、中间数及出现次数最多的数，再结合平均数计算总和，推导符合条件的数据． 【解答】解：已知五个数据的平均数是，因此五个数据的总和为． 中位数是，说明将数据从小到大排列后，第三个数是； 唯一众数是，说明出现的次数至少为，且没有其他数出现次数与它相同． 设五个数据从小到大排列为，则，即． 由于，可取，． 因此一组可能的数据为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型05】求离差平方和 【例5】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（   ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 【答案】B 【分析】本题考查组间离差平方和的统计意义，核心是明确该统计量与两组平均成绩的关联． 【解答】解：∵组间离差平方和为， ∴两组学生的数学平均成绩相同，故B选项正确，符合题意， A选项中“成绩完全相同”表述绝对，个体成绩可以不同，但均值相同，说法错误， C选项是组内离差平方和为的含义，不是组间离差平方和为的含义，说法错误，不符合题意， D选项与组间离差平方和无关联，不符合题意． 【变式5-1】（2025-2026八年级上·山东青岛·期末）有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位：分）分别是：80，80，90，75，75，80．这组数据的离差平方和是（   ） A．5 B．25 C．125 D．150 【答案】D 【分析】本题主要考查了离差平方和的计算，计算离差平方和，需先求平均值，再求每个数据与平均值之差的平方和． 【解答】解∶∵数据总和， 平均值， ∴离差平方和故选：D． 【变式5-2】（2025-2026八年级上·宁夏银川·期末）一组数据为，，0，4，5，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】44 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，先计算这组数据的平均数，再求每个数据与平均数的差的平方之和即可得到答案． 【详解】解：这组数据的平均数为 则离差平方和为 ， 故答案为；44． 【变式5-3】（2025-2026八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【解答】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和为． 【题型06】求方差 【例6】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）小莹同学10周的综合素质自我评价成绩统计如下表： 成绩/分 94 95 97 98 100 周数 1 2 2 4 1 这10周的综合素质自我评价成绩的方差是________． 【答案】3 【分析】本题考查了离差平方和的计算，掌握离差平方和等于每个数据与平均数之差的平方和是解题的关键． 先计算数据的平均数，再根据方差公式计算方差． 【解答】解：总周数． 平均数为：． 方差为：， 故答案为：． 【变式6-1】（2025-2026八年级上·四川成都·阶段检测）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的方差为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求平均数与方差． 先求去掉最高分和最低分后平均值，再计算去掉最高分和最低分后的数据的方差． 【解答】解：去掉最高分10和最低分6后，剩余数据为：8，9，8，7， 平均值， 方差． 故答案为：． 【变式6-2】（2025-2026八年级下·北京·课后作业）一组数据：，，，，的众数是，则这组数据的方差是______． 【答案】 【分析】根据众数的定义可得，求出平均数，代入方差公式即可． 【解答】解：∵数据，，，，的众数为， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（2025-2026八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 【答案】12 【分析】先设这组数据，，，，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…，的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【解答】解：∵数据，，，…，的方差为3， 设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为， ∵， ∴另一组数据的方差为 ． 【题型07】利用方差求未知数据的值 【例7】（2024-2025八年级下·福建泉州·期末）已知一组数据的方差，则_______． 【答案】6 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差的公式可以得到平均数是6，共有5个数据，从而得到求解即可． 【解答】解：由于这组数据的方差， ∴平均数是6，共有5个数据 ∴ ∴． 故答案为：6． 【变式7-1】（2023-2024八年级下·江苏宿迁·期末）一组数据的方差则这组数据的总和为___________ 【答案】40 【分析】本题考查了方差与平均数的关系，解题的关键是通过方差公式确定平均数．根据方差的定义，确定数据的平均数，进而利用平均数与数据总和的关系求解． 【详解】解：方差公式为， 平均数为2，数据个数为20， 数据总和， 故答案为：40． 【变式7-2】（2023-2024八年级下·山东滨州·期末）如果已知一组数据的方差，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，利用方差求未知数据的值，解题关键是理解方差的公式． 先根据方差公式得出平均数，再利用平均数求出． 【解答】解：∵一组数据的方差， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是_____ 【答案】3 【分析】本题主要考查了方差计算公式，n个数据，的平均数为，那么这n个数据的方差为，据此可得答案． 【解答】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数是3， 故答案为：3． 【题型08】根据方差判断稳定性 【例8】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（   ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【答案】D 【分析】先根据“一般水平大体相当”筛选出平均成绩相近的选项，再结合样本容量相同时，离差平方和越小数据越稳定的性质，选出符合甲成绩更稳定的选项即可． 【解答】解：∵两人成绩的“一般水平”大体相当， ∴甲、乙的平均成绩应相近， ∴排除平均成绩差距较大的B、C选项， 又∵甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，且两人射击次数相同，离差平方和越小，成绩波动越小、越稳定， ∴甲的离差平方和应小于乙的离差平方和， ∴A选项中，不符合要求；D选项中，符合要求． 【变式8-1】（2025-2026八年级下·浙江·期中）甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为____（填“”或“”）． 【答案】 【分析】数据的波动越大，方差越大，据此结合统计图可得答案． 【解答】解：由统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴． 【变式8-2】（2025-2026八年级下·福建福州·期中）甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，因此只需比较三人方差的大小，即可得到结果． 【解答】解：由题意得，甲、乙、丙三名同学几次测试成绩的平均数相同， 由于， 则， 因此，成绩最稳定的是丙． 【变式8-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 【答案】甲 【分析】见解析 【解答】解：观察成绩分布图可知：甲的成绩大多集中在环，距离平均成绩8环的波动更小，离散程度更小，因此甲发挥更稳定． 【题型09】根据要求选择合适的统计量 【例9】（2024-2025八年级下·吉林长春·期末）某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【分析】本题考查了选择合适的统计量，根据题意要了解成绩的波动情况，需选择反映数据离散程度的统计量． 【解答】解：老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的方差． 故选：D． 【变式9-1】（2024-2025八年级下·河南信阳·期末）在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（   ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 【答案】B 【分析】本题主要考查了中位数意义，要判断某同学是否进入前6名，需确定其成绩是否在前6位．由于共有13个各不相同的成绩，中位数是第7名的成绩．若该同学的成绩高于中位数，则其排名必在前6名．其他统计量（众数、方差、平均数）无法直接反映排名信息． 【解答】解：共有13名同学，成绩各不相同．中位数是将数据从小到大排列后的第7名成绩．若该同学的成绩高于中位数（即第7名成绩），则其排名必在前6名， 而中位数是唯一能直接反映中间位置、帮助判断是否可能进入前6名的指标．众数、方差、平均数均无法提供排名的直接信息， 故选B． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·辽宁盘锦·期末）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如表：该店主决定本周进货时，增加一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（   ） 尺码 平均每天销售的数量件 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．加权平均数 【答案】B 【分析】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【解答】解：由店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计表可知，码的衬衫平均每天销售件数最多， 该店主决定本周进货时，增加一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是众数， 故选：B． 【变式9-3】（2024-2025八年级下·吉林·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（   ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据，学校选择人数最多的颜色作为校服颜色，对应的统计量是众数． 【解答】根据统计表，喜欢红色校服的学生人数为820，明显多于白色（100人）和蓝色（180人），因此，红色是这组数据中出现次数最多的颜色，即众数； 学校参考众数这一统计量，选择最受欢迎的红色作为校服颜色，其他统计量（平均数、中位数、方差）均不适用于类别数据的比较； 故选：C． 【题型10】四分位数的求解 【例10】（2025-2026八年级下·河南新乡·月考）祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（ ） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据四分位数的定义计算对应位置，再通过累计频数确定位置对应的数字即可求解． 【解答】解：将个数字按从小到大排列，总共有个数据， 计算四分位数位置：第一四分位数位置为，取第、个数的平均数，第三四分位数位置为，取第、个数的平均数， 计算累计频数： ∵数字累计频数为，数字累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第一四分位数为， 继续计算累计频数到数字，可得累计频数为，数字累计频数为， ∴第个数都是，可得第三四分位数为， 因此第一四分位数、第三四分位数为，． 【变式10-1】（2025-2026八年级下·浙江台州·期中）数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（   ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【答案】D 【分析】根据四分位数的计算规则，先计算上下四分位数的位置，再通过累计频数确定对应位置的数字即可得到结果． 【解答】∵总数据量，将所有数字从小到大排列， 下四分位数位置为 ，故下四分位数取第22、23个数据的平均数， 上四分位数位置为 ，故上四分位数取第67、68个数据的平均数， 计算从小到大的累计频数： 数字0累计频数为7，数字1累计频数为，数字2累计频数为，数字3累计频数为34，数字4累计频数为42，数字5累计频数为49，数字6累计频数为58，数字7累计频数为，数字8累计频数为 ， ∴第22、23个数据均为2，故下四分位数为， 第67、68个数据均为8，故上四分位数为， 故选：D． 【变式10-2】（2025-2026八年级上·四川雅安·期中）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的分位数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查百分位数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据分位数的定义，计算其位置，再求对应数值． 【解答】解：数据已排序：1，1，3，4，5，5，6，7，共8个数据． 25%分位数的位置计算公式为：，其中n为数据个数， 代入，得位置， 由于位置不是整数，取第2个和第3个数据的平均值， 即． 故答案为：2． 【变式10-3】（2025-2026八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 【答案】 9 12 【分析】分别计算下四分位数、中位数和上四分位数即可． 【解答】解：由数据排序得：，，，，，，，，，， ∴中位数为第和第个数据的平均值，即； 下四分位数为前个数据的中位数，即第个数据； 上四分位数为后个数据的中位数，即原数据中的第个数据． 【题型11】画箱线图 【例11】（2025-2026八年级下·浙江台州·期中）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【答案】(1)，，，见详解 (2)箱线图见详解，八年级学生晨读打卡积分更集中、更稳定，理由见详解 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）先求七年级积分的下四分位数、上四分位数，然后补全箱线图，最后比较两个箱线图作出判断即可． 【解答】（1）解：七年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为85，88，所以中位数为； 八年级积分按照从小到大排序后，中间两个数分别为88，90，所以中位数为，并且数据91出现的次数最多，所以众数； （2）解：由七年级积分数据可知下四分位数为，上四分位数为． 据此补全箱线图如图所示． 观察统计图，八年级的箱体比七年级的箱体明显更扁，因此八年级学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【变式11-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【答案】(1)部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是；部门：第一四分位数是，中位数为，第三四分位数是．绘制箱线图见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据四分位数的位置，确定对应的值，再画出箱线图； （2）根据四分位数间距分析即可． 【解答】（1）解：部门数据的第一四分位数是由小到大排列的第个数，为，中位数为，第三四分位数是由小到大排列的第个数，为； 同理，部门数据的第一四分位数是38，中位数为45，第三四分位数是55． 绘制箱线图如图． （2）解：从箱线图看，A部门第一四分位数到中位数距离近，低业务量员工较集中； B部门箱子更长，数据分布更分散，且第三四分位数到最大值距离远，高业务量员工更分散． 【变式11-2】（2025-2026八年级下·广东深圳·开学考试）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【答案】(1)，， (2)图见解析，八年级名学生的成绩更集中、稳定，详见解析 【分析】（1）将七、八年级成绩排序，进而根据中位数和众数的定义作答即可； （2）求出七年级成绩的下四分位数、上四分位数，求出中位数，作图比较即可得解； 【解答】（1）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，， 中位数， 八年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． 中位数，众数． （2）解：七年级成绩排序：，，，，，，，，，，，． ∴上四分位数为，下四分位数为， 中位数， 作图如下， ∵八年级箱线图的范围（最小值到最大值）为到，下四分位数、上四分位数的范围为到，七年级为到，下四分位数、上四分位数的范围为到， ∴八年级的箱线图更短，中位数都为，说明八年级成绩的波动更小， ∴八年级名学生的成绩更集中、稳定． 【变式11-3】（2025-2026八年级下·浙江·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】(1)90；92 (2)70；96；补图见解析 (3)乙组竞赛成绩较好．理由：平均分更高，成绩更稳定．（答案不唯一） 【分析】（）根据众数，中位数的定义即可求解． （）根据数值计算前后各个数的中位数即可求出上四分为数和下四分位数即可． （）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【解答】（1）解：甲组个数，排序后第五和第六位分别是89 和91， ∴中位数 ， 众数是出现次数最多的，乙组排序后最多， ∴众数． （2）解：前半部分为前个数（, , , , ），中位数是第个为，则下四分位数为，后半部分数据为（, , , , ），中位数是第个为，则上四分位数为， 所以，箱线图为： （3）解：乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好． 【题型12】箱线图与四分位数的综合运用 【例12】（2025-2026八年级上·山东济南·期中）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了统计中的中位数，箱线图，四分位数，正确理解定义是解题的关键． 从箱线图中可获取数据的最大值、最小值和四分位数以及中位数，据此进行分析比较即可． 【解答】解：①由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为，正确； ②由箱线图可得，在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数为，西安每天的最高温度的中位数为，故济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数，故②正确； ③由箱线图可得西安的最高气温为，而济南存在高于的温度，故③错误； ④由箱线图可得西安每天的最高温度的中位数为，西安有超过一半的天数最高温度不低于，故④错误， 正确的有2个， 故选：B． 【变式12-1】（2025-2026八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【答案】A 【分析】根据箱线图中间箱体的下底对应的数值即是这组数据的下四分位数（分位数）解答即可． 【解答】解：箱线图的箱体下底的对应值为102，所以这组数据的下四分位数是102． 【点评】解题的关键是掌握箱线图相关的定义． 【变式12-2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【答案】(1)128；128 (2)甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学 (3)甲班平均分较高 【分析】本题考查箱线图的相关知识，涉及平均数，中位数，上四分位数，能够从箱线图中获取有用信息是解题的关键．四分位数应用于统计学的箱线图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱线图中“箱体”的下底边对应数据为下四分位数，上底边对应数据为上四分位数，中间的线对应中位数． （1）根据箱线图得到学生分数的大致分布情况，即可得出答案； （2）根据箱线图的定义解答即可； （3）根据箱线图得到学生分数在128分以上的大致情况，即可作出判断． 【解答】（1）解：由图可知，甲班成绩的中位数为128，乙班成绩的上四分位数为128， 故答案为：128；128； （2）解：甲班成绩处于中等偏下的同学的成绩差异要大于中等偏上的同学； （3）解：由两班成绩箱线图可以看出，甲班成绩的中位数为128，而乙班的上四分位数是128，同时，甲班的下四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高． 【变式12-3】（2025-2026八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【答案】(1)，， (2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【分析】（1）根据四分位数和中位数的计算公式进行计算即可； （2）从箱线图获取信息作答即可． 【解答】（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89， ∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98， ∴； B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44， ∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15， ∴； （2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健． 【题型13】数据的分组优化 【例13】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 【答案】(1)167  168 (2)琪琪的分组方法更好，计算过程见解析 【分析】本题考查求中位数，众数和离差平方和，熟练掌握相关计算方法，是解题的关键． （1）根据中位数，众数的计算方法，进行求解即可； （2）求出两组的离差平方和，进行判断即可． 【解答】（1）解：由题意得：中位数， 出现的次数最多，有次，众数是， 故答案为：，． （2）解：嘉嘉的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为， ． 组内离差平方和为． 琪琪的分组方法： 甲组学生身高的平均值为， ． 乙组学生身高的平均值为 ，． 组内离差平方和为． ， 琪琪的分组方法更好． 【变式13-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（   ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【答案】A 【分析】根据离差平方和的定义，分别计算各选项中两组离差平方和的总和，总和最小的分组即为符合要求的分组 【解答】解：选项A、∵组{7，9}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{11，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项B、∵ 组{7，11}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，13，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项C、∵组{7，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{9，11，13}的平均数为11， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为； 选项D、∵ 组{11，15}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∵组{7，9，13}的平均数为， ∴其离差平方和为， ∴总离差平方和为， ∵， ∴选项A的总离差平方和最小，符合组内离差平方和最小原则 【变式13-2】（2025-2026八年级上·福建宁德·期末）已知有8个苹果，它们的直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81． (1)直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和上四分位数； (2)现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多．下表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理． 分法 第一组苹果直径（mm） 第二组苹果直径（mm） 组内离差平方和 第一种分法 71，72，73，76 78，80，80，81 18．75 第二种分法 71，72，73 76，78，80，80，81 【答案】(1)众数为80，中位数为77，上四分位数为80 (2)按照“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理 【分析】本题主要考查了众数、中位数、方差等知识点，理解相关定义是解题的关键． （1）分别按照众数、中位数、上四分位数的定义求解即可； （2）根据方差的方程求得组内离差平方和，再运用方差的意义决策即可． 【解答】（1）解：苹果直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81， 80出现了两次、次数最多，则众数为80； 处于中间的第4、5两个数据分别是76和78，则中位数为； 第5-8个数据的中间的两个数据为80和80，则上四分位数为． （2）解：在第二种分法中，第一组的平均数， 第二组的平均数． 这两组的组内离差平方和分别为： 第一组的离差平方和， 第二组的离差平方和． ∴第二种分法的组内离差平方和为：． ∵， ∴按照“组内离差平方和最小”原则，第二种分法更合理． 【变式13-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【答案】第一组：65，69，70 第二组：75，76，76，78，80，80，81 【分析】本题考查了组内离差平方和的计算与分组优化，掌握列出所有分组情况、分别计算每组离差平方和后比较总和是解题的关键． 先将数据排列，再分9种情况讨论求解即可． 【解答】解：将10个数据按照从小到大排序：65，69，70，75，76，76，78，80，80，81，把10个数据分成两组，共有9种情况． ①第一组：65，第二组：69，70，75，76，76，78，80，80，81， 第一组的平均数为65， 第二组的平均数为， 组内离差平方和 ； ②第一组：65，69，第二组：70，75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ③第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为48； ④第一组：65，69，70，75，第二组：76，76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为76； ⑤第一组：65，69，70，75，76，第二组：76，78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为98； ⑥第一组：65，69，70，75，76，76，第二组：78，80，80，81，同理可得，组内离差平方和为108； ⑦第一组：65，69，70，75，76，76，78，第二组：80，80，81，同理可得，组内离差平方和为137； ⑧第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，第二组：80，81，同理可得，组内离差平方和为184； ⑨第一组：65，69，70，75，76，76，78，80，80，第二组：81，同理可得，组内离差平方和为219， 第一组：65，69，70，第二组：75，76，76，78，80，80，81组内离差平方和达到最小． 【特训01】拓展培优强化 1．（2025-2026八年级下·浙江宁波·期中）为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． (2)经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． (3)该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 【答案】(1)甲班中位数个，众数为个；乙班中位数个，众数为个 (2)乙班跳绳水平更高．理由见解析 (3)人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义确定即可； （2）根据平均数、方差的意义做出正确的决策； （3）用总人数乘以样本中“跳绳成绩达到170个及以上”的人数占比即可． 【解答】（1）解：将甲班10名学生成绩按从小到大排列：152，158，165，172，175，175，175，178，188，192， 位于第5位和第6位的数据为175，175， 甲班中位数为（个）； 175出现3次，次数最多， 甲班众数为175个； 将乙班10名学生成绩按从小到大排列：155，158，162，170，174，176，176，180，188，192， 位于第5位和第6位的数据为174，176， 乙班中位数为（个）； 176出现2次，次数最多， 乙班众数为176个； （2）解：乙班跳绳水平更高． 理由：乙班平均数略高于甲班，说明乙班整体平均成绩更好； 乙班方差小于甲班，方差越小代表成绩越稳定、波动更小； 综上，乙班平均成绩更高且发挥更稳定，跳绳水平更高． （3）解：样本中成绩达到170个及以上的学生： 甲班有：172，175，175，175，178，188，192，共7人； 乙班有：170，174，176，176，180，188，192，共7人； 估计该校八年级达到“优秀”等级的人数为：（人）． 2．（2025-2026八年级下·广东江门·阶段检测）面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 【答案】(1)86，87 (2)八年级，理由见解析 (3)小凡 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数、众数、方差的意义即可判断； （3）根据加权平均数的公式分别计算小凡和小乐的最后成绩，再比较大小即可得出结论． 【解答】（1）解：将七年级的测试成绩从小到大排列，第8位的成绩为86分， ∴； 八年级的测试成绩出现次数最多的是87分，故众数为87分， ∴； （2）解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高； 从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高； 从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好； （3）解：小凡的最后成绩为， 小乐的最后成绩为， ∵， ∴小凡的最后成绩较高， 即最终入选的是小凡． 3．（2025-2026八年级上·山东淄博·期末）为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级级部以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该级部随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 8 c 乙班 8 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)小明对小刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____班的学生．（填“甲”或“乙”） (3)你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由． 【答案】(1)； (2)甲； (3)乙班的学生体育锻炼情况总体更好．理由见解析． 【分析】本题考查了统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算与应用，解题的关键是掌握各统计量的定义及意义，并能结合数据进行分析． （1）求：将甲班数据排序后取中间两个数的平均数得到中位数；求：从乙班条形图中找出出现次数最多的时长作为众数；求：根据方差公式计算甲班数据的波动程度． （2）比较两人在各自班级的排名，需结合中位数判断，在中位数更高的班级中排名更靠后，反之则更靠前． （3）比较两个班的总体水平，可从中位数、方差等统计量的实际意义入手分析． 【解答】（1）解： 甲班数据排序：5， 6， 6， 7， 7， 8， 8， 8， ，   中位数， 乙班条形图中，时长为小时的人数最多（人），故众数． 甲班方差： 故答案为：，， （2）解：甲班中位数为，乙班中位数为． 小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前5名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后5名． 因此小明是甲班的学生． （3）解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 理由：①乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长； ②乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定． 4．（2024-2025八年级下·重庆·期中）“清明”是二十四节气之一，二十四节气都有哪些？它们分别有哪些习俗？你对二十四节气知道多少？为了弘扬传统文化，校文学社联合校团委开展了“二十四节气传统文化知识竞赛”．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理和分析（分数用表示，总分分，共分成四组：A．；B．；C．；D．）相关数据统计、整理如下： 抽取的七年级学生竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，，，． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中， ， ， ； (2)通过以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有人，八年级有人，若测评成绩不低于分的记为优秀，请估计这名学生的成绩为优秀的人数共是多少？ 【答案】(1)；； (2)八年级学生测评成绩更好，理由见解析（答案不唯一，言之有理即可） (3)成绩为优秀的人数约有人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义可得、的值；利用各部分所占百分比之和等于，可得的值； （2）根据中位数、众数和平均数的意义进行评价即可； （3）利用样本估计总体即可． 【解答】（1）解：八年级成绩在、组的人数为（人）， ∴八年级学生成绩从低到高排序，第个的数为，第个的数为， ∴八年级成绩的中位数； ∵七年级的成绩中，出现次，出现的次数最多， ∴七年级成绩的众数； ， ∴； （2）解：八年级学生测评成绩更好，理由如下： 两个年级学生测评成绩的平均数相同，但八年级学生成绩的中位数大于七年级，所以八年级学生测评成绩更好（答案不唯一，言之有理即可）； （3）（人）， 答：成绩为优秀的人数约有人． 5.（2025-2026八年级上·广东深圳·期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 【答案】(1)，，； (2)不同意，理由见解析； (3)见解析． 【分析】本题考查平均数，众数，中位数，四分位数，离差平方和，掌握知识点是解题的关键． （1）根据平均数，众数，中位数，四分位数等的定义，逐个分析求解即可； （2）根据离差平方和的特征进行分析求解即可； （3）根据平均数，众数，中位数，离差平方和进行分析求解即可． 【解答】（1）解：∵甲的成绩为：4，6，7，7，7，7，8，10，共8个数据 ∴上四分位数a为第6、7项的平均数，即， ∵乙的成绩中7出现的次数最多， ∴众数， ∵丙的成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，共10个数据 ∴中位数c为第5、6项的平均数，即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：不同意．理由如下： 虽然乙和丙的离差平方和相同，但稳定性还需结合数据的离散程度和波动区间判断． 乙的成绩最小值为6，最大值为10；丙的成绩最小值为5，最大值为9． 且乙的上四分位数为7，丙的上四分位数为8，说明丙的高分段数据更多，乙的成绩更集中在中低分段，因此二者的射击稳定性并不完全一样． （3）解：甲：平均成绩7，众数7，但成绩波动较大（最小值4，最大值10），离差平方和最大，稳定性最差，但存在打出高分的潜力． 乙：平均成绩7，众数7，成绩集中在6~10区间，离差平方和较小，稳定性较好，但高分段表现较少． 丙：平均成绩7，众数7，成绩集中在5~9区间，离差平方和较小，稳定性较好，且高分段（8、9环）数据更多，整体发挥更均衡． 6．（2025-2026八年级上·福建宁德·月考）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 【答案】(1)下四分位数是70，中位数是90，上四分位数是96 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了四分位数的计算和箱线图的绘制与解读，通过这些工具可以直观地分析数据的分布特征． （1）先将甲组数据从小到大排序，再计算出下四分位数，中位数，上四分位数即可； （2）根据甲组的四分位数绘制箱线图即可； （3）根据箱线图和四分位数比较两组数据即可． 【解答】（1）解：把甲组的成绩按从小到大的顺序排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 下四分位数是70 中位数是 上四分位数是96 （2）甲组的箱线图如答图： （3）根据箱线图和四分位数，可知甲组数据跨度大更分散，乙组数据紧凑更集中． 7．（2025-2026八年级下·浙江杭州·期中）2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 【答案】(1)型号机器人耗时数据的下四分位数为1.22（秒），中位数为1.245（秒），上四分位数为1.28（秒）； (2)型号机器人的动作耗时更稳定，理由见解析. 【分析】本题考查了四分位数、中位数，正确理解题意是解题的关键． （1）先把G1型号数据从小到大排序，再根据下四分位数、中位数和上四分位数的定义求解即可；（2）对比两种型号数据的集中趋势、离散程度，根据方差的意义判断稳定性即可． 【解答】（1）解：第一步：将型号数据从小到大排序： 1.18，1.19，1.22，1.23，1.24，1.25，1.26，1.28，1.30，1.31 中位数：共10个数据，取第5，6个数的平均值（秒）， 下四分位数：取前5个数的中位数，即第3个数为1.22（秒）， 上四分位数：取后5个数的中位数，即第8个数为1.28（秒）； （2）解：①集中趋势对比： 型号中位数为1.245秒，型号中位数为1.24秒，两者数值非常接近，说明两款机器人完成动作的平均耗时水平相当． ②离散程度对比： 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.28－1.22＝0.06秒，极差， 型号：上四分位数与下四分位数的差（箱体的高度）＝1.27－1.21＝0.06秒，极差， 两款机器人的上四分位数与下四分位数的差相同，说明中间数据的波动程度一致；但型号的极差更小，说明整体数据的离散程度更低，型号机器人的动作耗时更稳定． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·四川宜宾·中考真题）一组数据：，，，，的平均数为6，则的值是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了平均数的概念：若有n个数据，，…，，那么这组数据的平均数． 根据平均数的定义，所有数据之和等于平均数乘以数据个数，建立方程求解即可． 【解答】解：已知数据4、5、5、6、a的平均数为6，数据共有5个． 根据平均数的计算公式：， 两边同时乘以5，得：， 计算左边已知数的和：， 代入方程得：， 解得：， 因此，a的值为10， 故选：D． 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（   ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义（位于中间位置或中间两数的平均数可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数）解答即可． 本题考查数据统计量的变化情况，需逐一分析平均数、方差、众数和中位数在去掉极端值后的变化． 【解答】解：原数据去掉最高分10和最低分（其中一个）后，剩余数据为． 原平均数总和为 ，平均数为． 去掉后总和为 ，平均数为 ，则平均数变化，故A选项不符合题意． 方差与每个数据与平均数的差值有关．因平均数改变，所有数据的离差平方和必然变化，方差随之改变，故B选项不符合题意． 原众数为（出现2次）．去掉一个后，剩余数据中所有数均出现1次，众数消失或变为无众数，故众数变化，故C选项不符合题意． 原数据中位数为第4个数即．去掉一个最高分和一个最低分，剩余5个数的中位数为第3个数（仍为），故中位数不变． 故选： D． 3．（2025·山东烟台·中考真题）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 【答案】C 【分析】本题考查的是方差的计算，众数的含义，平均数的含义，根据方差公式及数据特征，逐一分析选项的正误． 【解答】解：选项A、算式中平方差项数为5，对应数据个数，正确． 选项B、平均数，正确． 选项C、数据中6和8均出现2次，次数最多，故众数为6和8，而非仅6，错误． 选项D、加入两个7后，数据更集中，方差由减小为，正确． 综上，错误的说法是C． 故选C 4．（2025·山西·中考真题）下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（   ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大 C．一样大 D．无法比较 【答案】A 【分析】本题考查的是方差的计算与含义，比较两组数据的波动情况，需计算它们的方差或极差，根据方差越大，波动越大判断即可. 【解答】解：最高气温数据：12，6，10， 9， 8 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：，， ， ， ， ∴方差： ∵最低气温数据：1，，， 0，2 ∴平均数： 各数据与平均数的差的平方：， ， ， ， ， ∴方差：， ∴最高气温方差为4，最低气温方差为2，因此日最高气温的波动更大，选项A正确； 故选：A 5．（2024·四川巴中·中考真题）一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 【答案】B 【分析】本题考查数据的分析，平均数，中位数，众数，极差定义．根据题意分别求解原数据与新数据的平均数，中位数，众数，极差即可得到本题答案． 【解答】解：∵一组数据， ∴平均数为：，中位数为， 众数为，极差为：， 去掉数据11为， ∴平均数为：，中位数为， 众数为，极差为：， ∴中位数发生变化， 故选：B． 6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】此题主要考查统计的有关知识，了解平均数、中位数、众数、方差的意义是解题的关键；平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量．销量大的尺码就是这组数据的众数． 【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故老板最关注的销售数据的统计量是众数． 故选：C． 7．（2024·江西·中考真题）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（   ） A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天 C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天 【答案】D 【分析】根据折线统计图及中位数、众数、平均数的意义逐项判断即可． 【解答】解：观察折线统计图知，五月份空气质量为优的天数是16天，故选项A正确，不符合题意； 15出现了3次，次数最多，即众数是15天，故选项B正确，不符合题意； 把数据按从低到高排列，位于中间的是15，15，即中位数为15天，故选项C正确，不符合题意； 这组数据的平均数为：，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了折线统计图、一组数据的中位数、众数、平均数等知识，掌握以上基础知识是解本题的关键. 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（   ） A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于 C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于 【答案】A 【分析】本题考查了方差，平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可． 【解答】解：A、假设选出的数据没有，则选出的数据为，，，时，方差最大，此时，方差为；当数据为，，，时，，，故该选项符合题意； B、当该同学选出的四个数字为，，，时，，，故该选项不符合题意； C、当该同学选出的四个数字为，，，时，，故该选项不符合题意； D、当选出的数据为，，，或，，，时，极差也是，故该选项不符合题意； 故选：A． 9．（2023·湖南·中考真题）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】根据加权平均数进行计算即可求解． 【解答】解：依题意，她的最后得分为分， 故选：B． 【点评】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键． 10．（2025·四川遂宁·中考真题）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则 将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 【答案】乙 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙的最终得分，即可得出答案，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 【解答】解：甲的最终得分是分， 乙的最终得分是分， 丙的最终得分是分， ∵， ∴乙将被择优录用， 故答案为：乙． 11．（2023·江苏南京·中考真题）某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为 ． 【答案】35 【分析】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 根据众数、中位数的定义分别进行解答，即可求出答案． 【解答】解：∵一组数据37，a，32，36，37，32，38，34的众数为32， ∴， 把这组数据从小到大排列为32，32，32，34，36，37，37，38，排在中间的两个数分别为34，36，所以这组数据的中位数为， 故答案为：35． 12．（2025·河南·中考真题）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计图 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的________，________，_________． (2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． 【答案】(1)7.5；8； (2)见解析 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，平均数等知识点，正确理解统计图是解题的关键． （1）根据中位数、众数的定义以及优秀率的标准求解即可； （2）可以根据众数和中位数做决策． 【解答】（1）解：抽取50名学生，则中位数为第25，26名同学成绩的平均数，由条形统计图可得中位数； 八年级得分为8分的人数最多为23人， ∴众数； 八年级的得分优秀率为：， 故答案为：7.5；8；； （2）解：八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级． 13．（2025·甘肃平凉·中考真题）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：______，______； (2)______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可） 【答案】(1) (2)乙 (3)不对，理由见解析（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查求中位数，众数，利用方差判断稳定形，利用方差作决策，熟练掌握相关数据的计算方法和表示意义，是解题的关键： （1）将乙中数据排序后，第5个和第6个数据的平均数即为中位数，甲中数据出现次数最多的为众数，求出的值即可； （2）根据方差判断稳定性即可； （3）根据方差作决策即可． 【解答】（1）解：乙中数据排序后，第5个和第6个数据分别为：和， ∴； 甲中数据出现次数最多的是，故； 故答案为：； （2）由表格可知：甲的方差大于乙的方差， ∴乙队员在射击选拔赛中发挥的更稳定； 故答案为：乙； （3）小瑜说的不对，理由如下： 两人成绩的平均数相同，但是甲的方差大于乙的方差，故乙队员发挥更稳定，故应选乙队员参赛． 14．（2025·福建·中考真题）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 【答案】(1)，见解析 (2)甲，见解析 (3)选甲更合适．理由见解析 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可； （3）根据甲乙成绩的变化趋势分析即可． 【解答】（1）， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）由已知得，获奖分数线的平均数为， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． （3）选甲更合适．理由：在集训期间的十次测试成绩中，甲呈上升趋势，而乙基本稳定在原有的水平，故从发展潜能的角度考虑，选甲更合适． 15．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环； (2)你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； (3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 【答案】(1)， (2)甲；平均数 (3)见解析 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据众数和中位数的定义计算即可得解； （2）求出甲、乙队员成绩的平均数和方差，比较即可得解，再结合中位数、众数的定义求解即可； （3）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可． 【解答】（1）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的众数为环； 乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，乙队员成绩的中位数为环； （2）解：， ， ， ， 故，， ∴甲队员射击的整体水平高一些， 如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为、、、、、、、、、、， 此时平均数为，众数为，中位数为， 故会发生改变的统计量是平均数； （3）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环， 由（2）可得， ∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员， ∴补全丙队员的成绩如下： 此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为、平均数均，均大于甲队员． 16．（2024·黑龙江大庆·中考真题）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： (1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； ②请补全第1小组得分条形统计图； (2)______，______，______； (3)已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 【答案】(1)①18；② (2)5；；3 (3)估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【分析】（1）①用乘以第2小组“得分为1分”这一项的占比即可求解；②求得第1小组“得分为4分”这一项的人数即可补全第1小组得分条形统计图； （2）根据众数、平均数和中位数的定义即可求解； （3）利用样本估计总体即可求解． 【解答】（1）解：①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为 ， 故答案为：18； ②第1小组“得分为4分”这一项的人数为（人）， 补全第1小组得分条形统计图如下， ； （2）解：第1小组中“得分为5分”这一项的人数最多，则， 第2小组的平均分为（分）， 则， 第3小组的中位数为第10和11个数，都是3（分）， 则， 故答案为：5；；3； （3）解：（人）， 答：估计该校约有名学生竞赛成绩不低于90分． 【点评】本题考查的是条形统计图，扇形统计图和折线统计图，中位数、众数和平均数，样本估计总体．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 17．（2024·山西·中考真题）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 【答案】(1)7.5，7， (2)见解析 【分析】本题考查的是方差，加权平均数，中位数和众数． （1）根据中位数，众数和优秀率的定义和计算公式计算即可； （2）从优秀率，中位数，众数和方差等角度中选出两个进行分析即可． 【解答】（1）解：根据题意得： （分）， （分）， ， 故答案为：7.5，7，； （2）解：小祺的观点比较片面． 理由不唯一，例如： ①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； ②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好； 因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面． 18．（2024·北京·中考真题）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：           .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 【答案】(1)①，；② (2)甲， 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【解答】（1）①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：，，，，，，，， ， 故答案为：； （2）， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16 数据的分析 （重难点题型专训） 【知识考点 数据的分析】 1.数据的集中趋势 （1）平均数 ① 定义：一般地，对于n个数据x1，x2，…，xn，则叫作这n个数据的平均数（或称算术平均数），“”读作“x拔”. ② 平均数的意义 平均数反映了一组数据取值的平均水平，是刻画数据集中趋势和度量一组数据波动大小的基准． ③ 求法： （2）加权平均数 ① 定义：一般地，若个数，，…，的权分别是，，…，，则= 叫作这个数的加权平均数. ② 权的概念：一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫作权。权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大；权越小，该数据所占的比重越小。 ③ 权常见的表现形式：1）用频数表示，即用出现的次数表示；2）百分数的形式；3）连比的形式。 （3）中位数 ① 定义：一般地，一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处于中间位置的数叫作这组数据的中位数。当数据的个数是奇数时，处于中间位置的数就是中位数；当数据的个数是偶数时，居中的数据有两个，取这两个数据的平均数为这组数据的中位数。 一组数据按大小排序后，位于中位数左、右两侧的数据个数相同，因此中位数反映了一组数据取值的中间水平。 ② 求法： （4）众数 ① 定义：一组数据中出现次数最多的数据叫作这组数据的众数。 ② 众数是描述一组数据集中趋势的量，一组数据可以不止一个众数，也可以没有众数，但如果一组数据存在众数，那么众数必然是这组数据中的数． 1）若一组数据中有两个或两个以上数据出现的次数并列最多，那么这两个或两个以上的数据都为众数； 2）若一组数据中所有数据出现的次数都相同，我们就说这组数据没有众数． （5）平均数、中位数、众数的联系与区别 2.数据的离散程度 （1）离差或偏差 一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把Xi-（i=1,2，…，n）叫作Xi关于平均数的离差或偏差。 （2）离差平方和 我们把d2= 叫作这n个数据关于它们的平均数的离差平方和，记作“d2”. （3）方差 ① 定义：把n个数据与它们平均数的差的平方的平均数． 即叫作这组数据的方差，记作“S2”. ② 意义：方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，能较好地反映出数据的离散程度；方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 3.数据的四分位数 （1）四分位数 ① 定义：将一组从小到大顺序排列的数据平均分成四等份，处于三个分点位置的数称为这组数据的四分位数： 1）下四分位数（Q₁）：排在第 25% 位置的数，也叫第一四分位数； 2）中位数（Q₂）：排在第 50% 位置的数，即第二四分位数（就是之前学过的中位数）； 3）上四分位数（Q₃）：排在第 75% 位置的数，也叫第三四分位数； ② 这三个数将数据分成四个部分，每部分包含25% 的数据。 示例 1,3,5,7,9,11,13 2,4,6,8,10,12 从小到大排序后 1,3,5,7,9,11,13 2,4,6,8,10,12 中位数（Q₂） 7 7 下四分位数（Q₁） 3 4 上四分位数（Q₃） 11 10 （2）箱线图 ① 定义：箱线图是用一组数据的最小值、下四分位数（Q₁）、中位数（Q₂）、上四分位数（Q₃）、最大值这五个数据所绘制的统计图，能将数据的分布特征浓缩在一条线段和一个矩形中，无需展示所有数据点，特别适合多组数据的横向比较。 ② 箱线图画法 箱线图主要由矩形体和从箱体延伸出的两条水平线段（称为须线）构成。箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示下四分位数，箱体中部的竖线表示中位数，箱体的右端竖线表示上四分位数。整个箱体的长度为上四分位数减去下四分位数的差，称为四分位距。（如下图）。箱线图既可以按水平方向画也可以按竖直方向画。 画箱线图的一般步骤： 1）排序：将数据从小到大排列； 2）计算五数：最小值、最大值、中位数（Q₂）、下四分位数（Q₁）和上四分位数（Q₃）； 3）画数轴：根据数据范围画出合适的数轴； 4）画箱子：在数轴上对应的下四分位数和上四分位数的位置画矩形，在中位数的位置画竖线； 5）画须线：从箱子左端点向左画线段到最小值，从箱子右端点向右画线段到最大值。 4.数据的分组 一般地，假设有n个数据，，，，，若将其分成两组，其中前m个数据为一组（称为第一组），后（n－m）个数据为一组（称为第二组）．这n个数据的总体离差平方和可以表示为：．其中． 记，记 其中称为组内离差平方和，表达了两个组内数据的离散程度． 对数据的分组有两步，第一步是排序，第二步是确定组数和各组内数据的个数，我们只讨论分两组的情形，如果一共有n个数据，要把较小的m个数据分为一组，把剩下的（n－m）个数据分为另一组．我们通过“组内离差平方和最小”的原则来确定m的大小． 【重难点常考题型概览】 【题型01】算术平均数的求解 【题型02】加权平均数的求解 【题型03】中位数的求解 【题型04】众数的求解 【题型05】求离差平方和 【题型06】求方差 【题型07】利用方差求未知数据的值 【题型08】根据方差判断稳定性 【题型09】根据要求选择合适的统计量 【题型10】四分位数的求解 【题型11】画箱线图 【题型12】箱线图与四分位数的综合运用 【题型13】数据的分组优化 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】算术平均数的求解 【例1】（2025-2026八年级下·浙江温州·期中）某班举行的“3V3篮球挑战赛”中，小明5场比赛的得分分别为：9，7，8，10，7．这五次得分的平均数是_______分． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·甘肃平凉·期末）某班六个合作学习小组人数如下： 5，6，x，7，7，8．已知这组数据的平均数是6，则的值为______． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·山西晋城·期末）某小组成员男生占，一次考试中，该组男生的平均分为80分，女生的平均分为90分，则这个小组全体成员的平均分为____分． 【变式1-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是______． 【题型02】加权平均数的求解 【例2】（2024-2025八年级下·湖北黄冈·期末）2025年4月28日，我县东坡庙会·文化旅游推介周启动仪式在牛车河月亮湾露营基地隆重举行，旨在让更多人走进团风、读懂团风、爱上团风．我校文学社团举行了“我爱团风”演讲比赛．团员的演讲内容、演讲效果、演讲技巧三项按如图所示的权重计算得分．已知某团员的三项原始得分分别是内容96分，效果95分，技巧90分，那么该团员最终比赛成绩为__________分． 【变式2-1】（2024-2025八年级下·云南临沧·期末）某校规定学生的学期美术成绩满分为100分，其中平时绘画训练占，期中考试成绩占，期末考试成绩占．小华这学期的三项成绩（百分制）依次是，他这学期的美术成绩是________分． 【变式2-2】（2024-2025八年级下·四川南充·期末）某校组织“纪念五四运动，争做时代青年”才艺汇演，参赛选手比赛成绩由专评组、大众组、亲友团三类评分，并按计算成绩，某班舞蹈表演三类分别得分为96、95、100，该班舞蹈表演最终成绩是______． 【变式2-3】（2025-2026八年级上·全国·单元测试）二中为了招聘一批优秀教师，对入选的三名候选人进行技能与专业知识两项考核，最终李老师、于老师、王老师三人的考核成绩统计如下：如果视教学技能与专业知识水平同等重要，那么候选人_______将被录取；如果视教学技能水平比专业知识水平重要，并且赋予它们6和4的权重，则________将被录取． 候选人 百分制 教学技能考核成绩 专业知识考核成绩 李老师 85 92 于老师 91 85 王老师 80 90 【题型03】中位数的求解 【例3】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）有一组不重复的数据2，5，7，8，a，其中a为中位数，且为整数，则a的值是 ． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·广西河池·期末）某校八年级6名女生的体重（单位：）为：35，36，38，39，40，42，则这组数据的中位数是___________． 【变式3-2】（2024-2025八年级下·湖北武汉·期末）一组数据3，4，x，6，9的平均数是6，则该组数据的中位数是__________． 【变式3-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【题型04】众数的求解 【例4】（2024-2025八年级下·黑龙江绥化·期末）一组数据，，，，，，有唯一的众数，则为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级下·广东汕头·阶段练习）如表是某班35位同学在实验操作中的得分情况： 得分（分） 5 6 7 8 9 10 人数（人） 2 3 5 ♥ ★ 7 已知这35位同学实验操作得分的中位数和众数都是9分，成绩得8分的超过6人，则成绩得9分的人数是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式4-2】（2023-2024八年级下·吉林长春·期末）为了发扬中华传统文化，某校随机调查了50名学生一周进行中国古典文学阅读的时间（如下表），这些学生一周进行中国古典文学阅读时间的众数是_________小时． 人数（人） 9 14 17 10 时间（小时） 7 8 9 10 【变式4-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）五名学生投篮球，规定每人投10次，记录他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的平均数是5，中位数是6，唯一众数是7，则五个学生投中的次数可能是________________（写出一组情况即可，并按从小到大的顺序排列）． 【题型05】求离差平方和 【例5】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）某班级将学生按性别分为两组，计算数学成绩的组间离差平方和．若组间离差平方和为，说明（   ） A．两组学生的数学成绩完全相同 B．两组学生的数学平均成绩相同 C．每组内部学生的成绩没有差异 D．男生成绩都高于女生成绩 【变式5-1】（2025-2026八年级上·山东青岛·期末）有6名同学参加体能测试，测试成绩（单位：分）分别是：80，80，90，75，75，80．这组数据的离差平方和是（   ） A．5 B．25 C．125 D．150 【变式5-2】（2025-2026八年级上·宁夏银川·期末）一组数据为，，0，4，5，则这组数据的离差平方和为______． 【变式5-3】（2025-2026八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【题型06】求方差 【例6】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）小莹同学10周的综合素质自我评价成绩统计如下表： 成绩/分 94 95 97 98 100 周数 1 2 2 4 1 这10周的综合素质自我评价成绩的方差是________． 【变式6-1】（2025-2026八年级上·四川成都·阶段检测）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的方差为_______． 【变式6-2】（2025-2026八年级下·北京·课后作业）一组数据：，，，，的众数是，则这组数据的方差是______． 【变式6-3】（2025-2026八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 【题型07】利用方差求未知数据的值 【例7】（2024-2025八年级下·福建泉州·期末）已知一组数据的方差，则_______． 【变式7-1】（2023-2024八年级下·江苏宿迁·期末）一组数据的方差则这组数据的总和为___________ 【变式7-2】（2023-2024八年级下·山东滨州·期末）如果已知一组数据的方差，那么的值为___________． 【变式7-3】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是_____ 【题型08】根据方差判断稳定性 【例8】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）在一次射击比赛中，甲、乙两名同学射击10次，若他们两人成绩的“一般水平”大体相当，甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定，则甲、乙两名同学的平均成绩和离差平方和可能是（   ） A．，；， B．，；， C．，；， D．，；， 【变式8-1】（2025-2026八年级下·浙江·期中）甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为____（填“”或“”）． 【变式8-2】（2025-2026八年级下·福建福州·期中）甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【变式8-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 【题型09】根据要求选择合适的统计量 【例9】（2024-2025八年级下·吉林长春·期末）某同学六次数学考试成绩分别为：86分、86分、78分、80分、85分、92分，老师想了解他数学成绩波动情况，则老师最应该关注他数学成绩的（ ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式9-1】（2024-2025八年级下·河南信阳·期末）在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（   ） A．众数 B．中位数 C．方差 D．平均数 【变式9-2】（2024-2025八年级下·辽宁盘锦·期末）某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如表：该店主决定本周进货时，增加一些码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（   ） 尺码 平均每天销售的数量件 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．加权平均数 【变式9-3】（2024-2025八年级下·吉林·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（   ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【题型10】四分位数的求解 【例10】（2025-2026八年级下·河南新乡·月考）祖冲之把圆周率精确到小数点后位，领先世界约年．数学活动课上，小红对圆周率的小数点后位数字进行了统计：则圆周率的小数点后位数字的第一四分位数、第三四分位数为（ ） 数字 频数 A．， B．， C．， D．， 【变式10-1】（2025-2026八年级下·浙江台州·期中）数学兴趣小组对圆周率小数点后90位数字进行统计，结果如下表： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 7 8 10 9 8 7 9 8 11 13 则圆周率的小数点后90位数字的上四分位数、下四分位数依次为（   ） A．8，3 B．9，2 C．7，3 D．8，2 【变式10-2】（2025-2026八年级上·四川雅安·期中）一组数据1，1，3，4，5，5，6，7的分位数是 ． 【变式10-3】（2025-2026八年级下·江苏·期中）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：）如下：8，8，9，9，10，11，12，12，13，14．则这组数据的________，________，________． 【题型11】画箱线图 【例11】（2025-2026八年级下·浙江台州·期中）为了解学生的晨读效率，学校从七、八年级各随机抽取12名学生的晨读打卡积分（单位：分）进行统计分析，并绘制了不完整的箱线图． 七年级积分：55，65，65，75，78，85，88，90，92，95，98，100； 八年级积分：68，75，77，82，86，88，90，91，91，93，94，96． 整理得到如下积分统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.5 m 65 八年级 85.2 n p (1)求统计表中的值； (2)补全七年级学生晨读打卡积分的箱线图，并通过对比两个年级的箱线图，初步判断哪个年级抽取的学生晨读打卡积分更集中、更稳定． 【变式11-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）某公司为了解员工的工作效率，记录了两个部门（部门和部门）各名员工在一天内处理的业务数量，数据如下： 部门：35，38，40，40，42，45，45，45，48，50，52，55，55，58，60； 部门：30，32，35，38，40，42，42，45，48，50，52，55，58，60，65． (1)求出，两个部门数据的四分位数，并绘制箱线图； (2)基于四分位数和箱线图，分析两个部门员工工作效率的数据分布特点． 【变式11-2】（2025-2026八年级下·广东深圳·开学考试）2025年11月19日，我国在酒泉卫星发射中心成功以一箭三星方式将实践三十号星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务取得圆满成功．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展了“航空航天”知识问答系列活动，为了解活动效果，从七、八年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取12名学生的成绩（单位；分）进行统计分析，并绘制如图所示的箱线图（不完整）． 七年级：60，70，70，80，83，89，91，93，95，97，98，100； 八年级：70，77，79，81，88，89，91，92，93，93，95，96． 七八年级抽取的学生的成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85.5 70 八年级 (1)上表中，___________，___________；___________； (2)请补全七年级学生成绩数据的箱线图，并通过对比两个箱线图，初步判断哪个年级12名学生的成绩更集中、稳定． 【变式11-3】（2025-2026八年级下·浙江·期中）为了增强全民国家安全意识，我国将每年4月15日确定为全民国家安全教育日．某校为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息． 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差/分 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________； (2)求甲组学生竞赛成绩的下四分位数________，上四分位数________，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； (3)根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【题型12】箱线图与四分位数的综合运用 【例12】（2025-2026八年级上·山东济南·期中）在综合与实践活动中，为比较西安和济南哪个城市夏天更热，小明选取了近两年7~8月每天的最高温度数据进行分析．下图反映了西安和济南在此时间段内每天的最高温度分布情况，则下列结论正确的个数是（   ） ①在此时间段内，济南每天的最高温度的下四分位数为； ②在此时间段内，济南每天的最高温度的中位数小于西安每天的最高温度的中位数； ③在此时间段内，西安每天的最高温度都高于济南每天的最高温度； ④在此时间段内，西安有超过一半的天数最高温度不低于； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式12-1】（2025-2026八年级上·陕西汉中·期末）某市12月某周空气质量指数（）的箱线图如图所示，则这组数据的下四分位数为（   ） A．102 B．98 C．114 D．106 【变式12-2】（2025-2026八年级上·全国·专题练习）已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班的成绩箱线图如图所示． (1)甲班成绩的中位数为___________，乙班成绩的上四分位数为___________． (2)图中甲班对应的“箱子”被128分成两部分，其中“下半截箱子”较长，这说明了什么？ (3)由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？ 【变式12-3】（2025-2026八年级下·浙江台州·期中）某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下： A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10． B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91． 某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）： 公司 A 3.195 a 4.44 B b 3.890 c 请根据以上信息完成下列问题： (1)表中______，______，______； (2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价． 【题型13】数据的分组优化 【例13】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）某校舞蹈队共10名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：），数据整理如下：161，162，162，163，166，168，168，168，169，169． (1)上述数据中，中位数为__________，众数为__________． (2)通常组内学生身高越整齐则认为该组舞台呈现效果越好，按照“组内离差平方和最小”的方法，将学生按身高分为两组．嘉嘉和琪琪的分组方法如下： 嘉嘉的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163，166； 乙组学生的身高：168，168，168，169，169． 琪琪的分组方法： 甲组学生的身高：161，162，162，163； 乙组学生的身高：166，168，168，168，169，169． 请通过计算，比较嘉嘉和琪琪谁的分组方法更好． 【变式13-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）数据7，9，11，13，15按组内离差平方和最小原则分两组（一组2个、一组3个），正确分组是（   ） A．{7，9}与{11，13，15} B．{7，11}与{9，13，15} C．{7，15}与{9，11，13} D．{11，15}与{7，9，13} 【变式13-2】（2025-2026八年级上·福建宁德·期末）已知有8个苹果，它们的直径（单位：）分别为：71，72，73，76，78，80，80，81． (1)直接写出这8个苹果直径的众数、中位数和上四分位数； (2)现要将这8个苹果按直径大小分成两组，使得每组苹果的“个头”差不多．下表是两种不同的分法，请按照“组内离差平方和最小”原则，判断下表哪种分法更合理． 分法 第一组苹果直径（mm） 第二组苹果直径（mm） 组内离差平方和 第一种分法 71，72，73，76 78，80，80，81 18．75 第二种分法 71，72，73 76，78，80，80，81 【变式13-3】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）苹果作为一种广受欢迎的水果，不仅因其鲜甜多汁的口感而备受喜爱，更因其丰富的营养价值而备受推崇．按照组内离差平方和达到最小的方法，把图中的10个苹果按直径大小分成两组．（计算过程结果保留整数） 【特训01】拓展培优强化 1．（2025-2026八年级下·浙江宁波·期中）为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． (2)经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． (3)该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 2．（2025-2026八年级下·广东江门·阶段检测）面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 3．（2025-2026八年级上·山东淄博·期末）为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级级部以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该级部随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 8 c 乙班 8 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)小明对小刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____班的学生．（填“甲”或“乙”） (3)你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由． 4．（2024-2025八年级下·重庆·期中）“清明”是二十四节气之一，二十四节气都有哪些？它们分别有哪些习俗？你对二十四节气知道多少？为了弘扬传统文化，校文学社联合校团委开展了“二十四节气传统文化知识竞赛”．现从七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分）进行整理和分析（分数用表示，总分分，共分成四组：A．；B．；C．；D．）相关数据统计、整理如下： 抽取的七年级学生竞赛成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级20名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：，，，，，． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中， ， ， ； (2)通过以上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有人，八年级有人，若测评成绩不低于分的记为优秀，请估计这名学生的成绩为优秀的人数共是多少？ 5.（2025-2026八年级上·广东深圳·期末）在某次射击训练中，甲、乙、丙三人的成绩如图所示，利用图中提供的数据，解决下面的问题： (1)小亮将3人成绩进行统计，得到甲、乙、丙成绩的部分统计量如表： 平均数 众数 最小值 下四分位数 中位数 上四分位数 最大值 甲 7 7 4 7 a 10 乙 7 b 6 6 7 7 10 丙 7 7 5 6 c 8 9 表中______，______，______． (2)小亮发现3人的平均成绩相同，为了选出发挥更稳定的选手参加比赛，小亮计算各组成绩的离差平方和，得到以下结果： ； ； ． 因此，小亮觉得乙成绩的离差平方和与丙的相同，射击水平一样稳定，你同意小亮的说法吗？请说明理由． (3)请结合统计量，评价这三名同学的射击情况． 6．（2025-2026八年级上·福建宁德·月考）某校组织校园安全知识竞赛，甲、乙两组的测试成绩如下： 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98； 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． (1)求甲组数据的下四分位数、中位数、上四分位数； (2)根据四分位数可绘制如图所示的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图； (3)请根据你对箱线图和四分位数的理解，谈谈你对这两组成绩的看法． 7．（2025-2026八年级下·浙江杭州·期中）2026年央视春节联欢晚会中，多款智能机器人登台完成高难度武术与舞蹈协同表演．为检测机器人表演的动作稳定性，技术人员对两种型号机器人完成一次标准空翻动作的耗时（单位：秒）进行统计，抽取10台型号机器人，测得完成标准动作的耗时数据：，，，，，，，型号机器人的耗时数据如箱线图所示．（注：表示下四分位数，表示中位数，表示上四分位数） (1)求型号机器人耗时数据的下四分位数，中位数，上四分位数； (2)根据上述信息，比较两种型号机器人完成动作的稳定性，并说明理由． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·四川宜宾·中考真题）一组数据：，，，，的平均数为6，则的值是（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2025·黑龙江绥化·中考真题）小新同学参加某次诗朗诵比赛，七位评委的打分是：，工作人员根据评委所打的分数对平均数、方差、众数、中位数进行了统计，如果去掉一个最高分和一个最低分，那么下列统计量中一定不发生变化的是（   ） A．平均数 B．方差 C．众数 D．中位数 3．（2025·山东烟台·中考真题）求一组数据方差的算式为：．由算式提供的信息，下列说法错误的是（   ） A．的值是5 B．该组数据的平均数是7 C．该组数据的众数是6 D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小 4．（2025·山西·中考真题）下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（   ） 日期 气温 2月2日 2月3日 2月4日 2月5日 2月6日 最高 12 6 10 9 8 最低 1 0 2 A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大 C．一样大 D．无法比较 5．（2024·四川巴中·中考真题）一组数据，若去掉数据11，下列会发生变化的是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差 6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）某品牌女运动鞋专卖店，老板统计了一周内不同鞋码运动鞋的销售量如表： 鞋码 平均每天销售量/双 如果每双鞋的利润相同，你认为老板最关注的销售数据是下列统计量中的（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 7．（2024·江西·中考真题）如图是某地去年一至六月每月空气质量为优的天数的折线统计图，关于各月空气质量为优的天数，下列结论错误的是（   ） A．五月份空气质量为优的天数是16天 B．这组数据的众数是15天 C．这组数据的中位数是15天 D．这组数据的平均数是15天 8．（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（   ） A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于 C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于 9．（2023·湖南·中考真题）某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 10．（2025·四川遂宁·中考真题）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试，测试成绩如下表： 项目 应聘者 甲 乙 丙 学历 经验 能力 态度 公司将学历、经验、能力和态度得分按的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则 将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙） 11．（2023·江苏南京·中考真题）某校九年级有8个班级，人数分别为37，a，32，36，37，32，38，34．若这组数据的众数为32，则这组数据的中位数为 ． 12．（2025·河南·中考真题）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计图 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 c 根据以上信息，回答下列问题． (1)表格中的________，________，_________． (2)你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． 13．（2025·甘肃平凉·中考真题）某校要从甲、乙两位射击队员中挑选一人参加比赛．在最近10次的选拔赛中，他们的射击成绩（单位：环）信息如下： 信息一：甲、乙队员的射击成绩 甲：10，8，8，10，6，8，6，9，10，8 乙：8，9，10，9，6，7，7，9，10，8 信息二：甲、乙队员射击成绩的部分统计量 队员 平均数 中位数 众数 方差 甲 8.3 8 n 2.01 乙 8.3 m 9 1.61 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，n的值：______，______； (2)______队员在射击选拔赛中发挥的更稳定（填“甲”或“乙”）； (3)小瑜认为甲、乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以，你认为他说的对吗？请说明理由（写出一条合理的理由即可） 14．（2025·福建·中考真题）甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适； (3)若要从中选择一人参加进一步的培养，从发展潜能的角度考虑，你认为选谁更合适？为什么？ 15．（2025·贵州·中考真题）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）： 根据以上信息，回答下列问题： (1)甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环； (2)你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）； (3)若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可） 16．（2024·黑龙江大庆·中考真题）根据教育部制定的《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织学生参加了国防知识竞赛，将学生的百分制成绩（x分）用5级记分法呈现：“”记为1分，“”记为2分，“”记为3分，“”记为4分，“”记为5分．现随机将全校学生以20人为一组进行分组，并从中随机抽取了3个小组的学生成绩进行整理，绘制统计图表，部分信息如下： 平均数 中位数 众数 第1小组 3.9 4 a 第2小组 b 3.5 5 第3小组 3.25 c 3 请根据以上信息，完成下列问题： (1)①第2小组得分扇形统计图中，“得分为1分”这一项所对应的圆心角为______度； ②请补全第1小组得分条形统计图； (2)______，______，______； (3)已知该校共有4200名学生，以这3个小组的学生成绩作为样本，请你估计该校有多少名学生竞赛成绩不低于90分？ 17．（2024·山西·中考真题）为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 a 7 4.48 乙组 7.625 7 b 0.73 c 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空： ， ， ； (2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）． 18．（2024·北京·中考真题）某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分：           .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； (2)决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中（为整数）的值为____________. 学科网（北京）股份有限公司 $