专题14 一次函数与方程（组）、不等式【考点梳理+重点题型+分层强化】 2025-2026学年八年级数学下册（人教版）

**基本信息** 练习围绕一次函数与方程（组）、不等式，通过11个基础题型+2个特训分层，构建从概念理解到中考应用的巩固路径，突出数形结合思想与分层递进设计。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础题型|单一知识点（如方程与函数关系）|例+变式题组巩固基础，强化几何直观| |综合应用|跨知识点综合（如函数与不等式综合）|含多问综合题提升推理能力| |拓展培优|复杂情境应用（如动态平移与面积）|融入开放探究题培养创新意识| |中考衔接|中考真题适配|精选中考真题强化模型意识|

专题14 一次函数与方程（组）、不等式 （重难点题型专训） 【知识考点 一次函数与方程（组）、不等式】 1.一次函数与一元一次方程的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系 ① 从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）的值y=0时自变量x的值方程kx+b=0（k≠0）的解. ② 从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 （2）利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 ① 转化：将一元一次方程kx+b=0（k≠0）转化为一次函数y=kx+b（k≠0） ② 画图象：画出一次函数的图象 ③ 找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，则交点的横坐标x即是一元一次方程的解. 如图1，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴相交于点（﹣1，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是x=-1 如图2：一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，则关于x的方程kx+b＝3的解是x=2 2.一次函数与一元一次不等式的关系 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 从“数”上看 函数的值y>0时自变量x的取值范围不等式的解集 函数的值y<0时自变量x的取值范围不等式的解集 从“形”上看 直线上的点的纵坐标y>0（x轴上方）时对应的横坐标x的取值范围不等式的解集 直线上的点的纵坐标y<0（x轴下方）时对应的横坐标x的取值范围不等式的解集 （2）利用一次函数的图象解一元一次不等式的步骤 ① 转化：将一元一次不等式或转化为一次函数y=kx+b（k≠0） ② 画图象：画出一次函数的图象 ③ 找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，一次函数的函数值大于0或小于0时，在x轴上方或x轴下方的部分所对应的自变量（横坐标）x的取值范围.即是一元一次不等式的解集. 如图1：一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与x轴相交于点（2，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≤2 如图2：一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点A（1,2），则关于x的不等式的解集是 3.一次函数与二元一次方程（组）的关系 （1）一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上每个点的坐标（x,y）都是这个二元一次方程的解；以这个二元一次方程的解（x,y）为坐标的点都在一次函数的图象上． （2）一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组中的方程分别化为两个一次函数和，也对应两条直线（如图）. ① 从“数”上看，解这样的方程组，相当于求当自变量为何值时，相应的两个函数的值相等，以及这个相等的函数值是多少； ② 从“形”上看，解这样的方程组，相当于确定两条直线交点的坐标（交点的横坐标、纵坐标即为方程组的解）。 （3）利用一次函数的图象解二元一次方程组的步骤 ① 转化：把二元一次方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：和． ② 画图象：建立平面直角坐标系，分别画出这两个一次函数的图象． ③ 找交点：求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标x的值，纵坐标y的值即是二元一次方程组的解。 如图，在平面直角坐标系内，一次函数与的图象相交于点（2,1），则关于x，y的方程组的解是 （4）一次函数与二元一次方程组解的情况 二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解（两直线交于一点）、无穷多解（两直线重合）或无解（两直线平行无交点）。 【重难点常考题型概览】 【题型01】利用图象法解一元一次方程 【题型02】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点坐标 【题型03】已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【题型04】利用图象法求一元一次不等式（组）的解集 【题型05】由直线与坐标轴的交点求一元一次不等式的解集 【题型06】根据两条直线的交点求一元一次不等式的解集 【题型07】利用图象法解二元一次方程（组） 【题型08】两直线的交点与二元一次方程组的解 【题型09】一次函数与方程（组）、不等式（组）的综合运用 【题型10】求直线、坐标轴围成的图形面积 【题型11】二元一次方程组解的情况与两直线的位置关系 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】利用图象法解一元一次方程 【例1】（2024-2025八年级下·甘肃天水·期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024-2025八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·湖北·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程的解为 ． 【题型02】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点坐标 【例2】（2023-2024八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023-2024八年级下·河南南阳·月考）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025-2026八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是( ) A． B． C． D． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______． 【题型03】已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【例3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： （1）关于x的方程的解是_______． （2）关于x的方程的解是_______． （3）关于x的方程的解是_______． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·云南昆明·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解是_____． 【变式3-2】（2023-2024八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为_______． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·安徽阜阳·月考）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解． 【题型04】利用图象法求一元一次不等式（组）的解集 【例4】（2024-2025八年级下·四川宜宾·期中）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条线相交于点，则不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025-2026八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 【题型05】由直线与坐标轴的交点求一元一次不等式的解集 【例5】（2024-2025八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b均为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·广西梧州·期末）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移3个单位至位置，点的对应点恰好落在直线上，当时，则的取值范围是 ． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·江西吉安·月考）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点，，且与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴交于点．已知点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)结合图象，不等式的解集为______，不等式的解集为______； (2)若点的横坐标为，求，的值． 【题型06】根据两条直线的交点求一元一次不等式的解集 【例6】（2024-2025八年级下·山西吕梁·期末）根据如图所示图象可得关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025-2026八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·河南驻马店·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【变式6-3】（2023-2024八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【题型07】利用图象法解二元一次方程（组） 【例7】（2022-2023八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025-2026八年级下·河南·专题练习）如图中的两直线、的交点坐标可看作是方程组 的解． 【变式7-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【变式7-3】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积． 【题型08】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例8】（2025-2026八年级下·河南驻马店·月考）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·湖北武汉·期末）若直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ，的解是 ． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·甘肃庆阳·期末）已知方程组的解是，则直线与的交点坐标是 ． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·安徽合肥·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【题型09】一次函数与方程（组）、不等式（组）的综合运用 【例9】（2025-2026八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【变式9-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线上，两条直线相交于点. (1)求直线的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的倍，求出点的坐标． 【变式9-3】（2025-2026八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点B，与直线交于点C． （1）求k，b的值； （2）关于x，y的方程组的解为____；当时，x的取值范围为____； （3）将直线沿y轴正方向向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点D，当时，求t的值． 【题型10】求直线、坐标轴围成的图形面积 【例10】（2025-2026八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． 【变式10-1】（2025-2026八年级上·四川成都·期中）如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 【变式10-2】（2025-2026八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【变式10-3】（2024-2025八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【题型11】二元一次方程组解的情况与两直线的位置关系 【例11】（2025-2026八年级上·广东深圳·期末）方程组没有解，因此直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是______． 【变式11-1】（2025-2026八年级上·安徽安庆·期中）两条直线和的位置关系为____________．由此可知，方程组的解的情况为____________． 【变式11-2】（2024-2025八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【变式11-3】（2025-2026八年级上·广西梧州·期中）直线与的位置关系是互相______． 【特训01】拓展培优强化 1．（2025-2026八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（ ） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 2．（2024-2025八年级下·江苏南通·期中）若点、、．当的值最小时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2024-2025八年级下·江西景德镇·期中）已知关于的方程：只有一个解，则的值是______． 4．（2025-2026八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 5.（2025-2026八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 6．（2025-2026八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 7.（2025-2026八年级上·全国·期末）如图1，直线，相交于点，直线与x轴相交于点，直线与x轴相交于点． (1)求直线和的函数关系式． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于直线的函数值，也小于直线的函数值，求m的取值范围． (3)如图2，若直线与y轴相交于点D，线段上是否存在一点P，使点P ，点 B和点 D为顶点组成的三角形面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 8．（2025-2026八年级上·广东清远·月考）如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 9．（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴于点． (1)请求出B点坐标和直线的函数解析式； (2)将直线向下平移个单位，且经过点；将直线向下平移个单位，且经过点，平移后的两直线交于点；请求出点的坐标； (3)如图，将直线向右平移得到直线，点是与直线的交点，点，分别在射线，上，且轴，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，． 设四边形的周长为，设点的横坐标为，求出与的函数关系式； 当四边形为正方形时，直接写出的值． 10.（2024-2025八年级下·山东济南·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【特训02】直通中考真题 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 5.（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 6.（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 8．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 9.（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 10．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 11.（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14 一次函数与方程（组）、不等式 （重难点题型专训） 【知识考点 一次函数与方程（组）、不等式】 1.一次函数与一元一次方程的关系 （1）一次函数与一元一次方程的关系 ① 从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）的值y=0时自变量x的值方程kx+b=0（k≠0）的解. ② 从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴的交点的横坐标方程kx+b=0（k≠0）的解 （2）利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 ① 转化：将一元一次方程kx+b=0（k≠0）转化为一次函数y=kx+b（k≠0） ② 画图象：画出一次函数的图象 ③ 找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，则交点的横坐标x即是一元一次方程的解. 如图1，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴相交于点（﹣1，0），则关于x的方程kx+b＝0的解是x=-1 如图2：一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点A，则关于x的方程kx+b＝3的解是x=2 2.一次函数与一元一次不等式的关系 （1）一次函数与一元一次不等式的关系 一次函数与一元一次不等式的关系 从“数”上看 函数的值y>0时自变量x的取值范围不等式的解集 函数的值y<0时自变量x的取值范围不等式的解集 从“形”上看 直线上的点的纵坐标y>0（x轴上方）时对应的横坐标x的取值范围不等式的解集 直线上的点的纵坐标y<0（x轴下方）时对应的横坐标x的取值范围不等式的解集 （2）利用一次函数的图象解一元一次不等式的步骤 ① 转化：将一元一次不等式或转化为一次函数y=kx+b（k≠0） ② 画图象：画出一次函数的图象 ③ 找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，一次函数的函数值大于0或小于0时，在x轴上方或x轴下方的部分所对应的自变量（横坐标）x的取值范围.即是一元一次不等式的解集. 如图1：一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与x轴相交于点（2，0），则关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≤2 如图2：一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象经过点A（1,2），则关于x的不等式的解集是 3.一次函数与二元一次方程（组）的关系 （1）一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上每个点的坐标（x,y）都是这个二元一次方程的解；以这个二元一次方程的解（x,y）为坐标的点都在一次函数的图象上． （2）一次函数与二元一次方程组的关系 二元一次方程组中的方程分别化为两个一次函数和，也对应两条直线（如图）. ① 从“数”上看，解这样的方程组，相当于求当自变量为何值时，相应的两个函数的值相等，以及这个相等的函数值是多少； ② 从“形”上看，解这样的方程组，相当于确定两条直线交点的坐标（交点的横坐标、纵坐标即为方程组的解）。 （3）利用一次函数的图象解二元一次方程组的步骤 ① 转化：把二元一次方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：和． ② 画图象：建立平面直角坐标系，分别画出这两个一次函数的图象． ③ 找交点：求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标x的值，纵坐标y的值即是二元一次方程组的解。 如图，在平面直角坐标系内，一次函数与的图象相交于点（2,1），则关于x，y的方程组的解是 （4）一次函数与二元一次方程组解的情况 二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两条平行直线，因此，方程组可能有唯一解（两直线交于一点）、无穷多解（两直线重合）或无解（两直线平行无交点）。 【重难点常考题型概览】 【题型01】利用图象法解一元一次方程 【题型02】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点坐标 【题型03】已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【题型04】利用图象法求一元一次不等式（组）的解集 【题型05】由直线与坐标轴的交点求一元一次不等式的解集 【题型06】根据两条直线的交点求一元一次不等式的解集 【题型07】利用图象法解二元一次方程（组） 【题型08】两直线的交点与二元一次方程组的解 【题型09】一次函数与方程（组）、不等式（组）的综合运用 【题型10】求直线、坐标轴围成的图形面积 【题型11】二元一次方程组解的情况与两直线的位置关系 【特训01】拓展培优强化 【特训02】直通中考真题 【题型01】利用图象法解一元一次方程 【例1】（2024-2025八年级下·甘肃天水·期中）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了两直线的交点问题，根据一次函数的图像即可知两直线交点的横坐标即方程的解． 【解答】解：∵一次函数与一次函数的图象交于点， ∴关于的方程的解是， 故选：C 【变式1-1】（2024-2025八年级下·广西南宁·期中）如图，一次函数（为常数，且）与正比例函数（k为常数，且）的图象交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． 由的函数图象与函数的图象相交交点坐标横坐标为，从而可得到方程的解． 【解答】解：∵从图象可看出的函数图象与函数的图象相交的交点坐标横坐标为， ∴方程的解是． 故选：A． 【变式1-2】（2024-2025八年级下·福建福州·期末）如图，直线过点和点，则方程的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握该知识点是关键． 先求出一次函数解析式，再计算时方程的解即可． 【解答】解：设直线解析式为，代入点得：， 解得， 直线解析式为， 方程转化为， 当时，， 解得． 【变式1-3】（2024-2025八年级下·湖北·期末）如图，直线与直线相交于点，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点求方程的解，理解图示中两直线交点的含义是关键，根据图形中两直线的交点为，由得到，即可求解． 【解答】解：直线与直线相交于点， ∴， ∵变形得，即， ∴方程的解为 故答案为： ． 【题型02】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点坐标 【例2】（2023-2024八年级下·广东广州·期末）若是方程的解， 则直线的图象与x轴交点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握方程的解就是一次函数与轴交点的横坐标值．根据一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为（，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线确定它与轴交点的横坐标即可得答案． 【解答】解：一元一次方程的解是， 当时，， 故直线的图像与x轴的交点坐标是． 故选：A． 【变式2-1】（2023-2024八年级下·河南南阳·月考）若关于x的方程的解为，则直线一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程解的定义，一次函数的性质，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案． 【解答】解：∵关于x的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∴当时，，即直线一定经过点， 故选：A． 【变式2-2】（2025-2026八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【解答】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 【变式2-3】（2024-2025八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵关关于x的方程的解为， ∴， 解得：． ∴一次函数为， 令，得． 解得：， ∴一次函数与x轴交点的坐标为． 故答案为． 【题型03】已知直线与坐标轴交点求一元一次方程的解 【例3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象如图所示，利用图象解决下列问题： （1）关于x的方程的解是_______． （2）关于x的方程的解是_______． （3）关于x的方程的解是_______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是能利用图象解决问题． （1）（2）（3）都可利用函数图象直接得到答案． 【解答】解：（1）解：由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （2）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． （3）由图象知，一次函数的图象过点， ∴是方程的解， 故答案为：． 【变式3-1】（2024-2025八年级下·云南昆明·期中）如图，已知直线，则关于的方程的解是_____． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握函数图象法是解题关键．根据一次函数的图象可得当时，，由此即可得． 【解答】解：由一次函数的图象可知，当时，， 则关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式3-2】（2023-2024八年级下·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线分别与x的负半轴和y的正半轴交于点A和点B，若，，则关于x的方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系，勾股定理，先根据勾股定理求出，根据直线与x轴的交点的横坐标，即为关于x的方程的解，然后数形结合求解作答即可． 【解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴方程的解是一次函数与x轴的交点的横坐标， ∴关于x的方程的解为． 故答案为：． 【变式3-3】（2024-2025八年级上·安徽阜阳·月考）如图，一次函数的图象为直线，求关于的方程的解． 【答案】关于x的方程的解为． 【分析】根据一次函数图象可得一次函数的图象经过点，，利用待定系数法即可求得m、n的值，从而得到方程，解方程即可． 【解答】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴，解得， ∴关于x的方程为， ∴， 故关于x的方程的解为． 【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数的解析式，解一元一次方程，求得m、n的值是解题的关键． 【题型04】利用图象法求一元一次不等式（组）的解集 【例4】（2024-2025八年级下·四川宜宾·期中）如图，直线交轴于点，直线交轴于点，这两条线相交于点，则不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，读懂图象信息是解答本题的关键． 根据图象可得，，则，，则，即可求解． 【解答】解：根据图象可得，，则，，则， ∴不等式组的解集为：， 故选：A． 【变式4-1】（2025-2026八年级上·安徽·期末）一次函数与的图像如图所示，则不等式组的解集为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 不等式组，再结合图像可得其解集为满足且的部分为直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值范围即可解答． 【解答】解：不等式组的解集由图像可知满足且， 即直线在下方且在x轴上方部分对应的自变量取值，即． 故答案为：． 【变式4-2】（2024-2025八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于x的不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键． 根据得，结合直线与直线交于点，可得的值，再利用数形结合思想解答即可． 【解答】解：由，得， ∵直线与直线交于点， ∴， 解得， ∴直线与直线交于点， 又∵， ∴根据图像得：， 故答案为：． 【变式4-3】（2025-2026八年级上·广西百色·期中）如图，已知一次函数（k、b为常数，）的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，若，，结合图象求： (1)关于x的方程的解； (2)关于x的不等式的解集； (3)当x的取值在什么范围时，? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围． （1）写出点坐标，即可解答； （2）写出点坐标，即可解答； （3）写出点坐标，即可解答． 【解答】（1）解：， ， 关于x的方程的解为； （2）解：结合图象可得， 关于x的不等式的解集为； （3）解：由，，可得， ， 所以当x的取值在时，． 【题型05】由直线与坐标轴的交点求一元一次不等式的解集 【例5】（2024-2025八年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，一次函数（a、b均为常数，且）的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察函数图象，写出函数值不小于0所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵一次函数的图象与x轴交于点，且y随x的增大而减小， ∴不等式的解集是． 故选：B． 【变式5-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）如图，若一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点的坐标为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的坐标求出直线解析式，然后求出点坐标，根据直线与横轴的交点坐标即可得出不等式的解集． 【解答】解：一次函数的图象经过点， ， ∴函数表达式为． 当时，， 解得， ， 由题图得，关于的不等式的解集为． 【点评】重点掌握待定系数法和数形结合的思想． 【变式5-2】（2024-2025八年级上·广西梧州·期末）如图，点的坐标是，将沿轴向右平移3个单位至位置，点的对应点恰好落在直线上，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，根据题意得出点的对应点为，待定系数法求得直线解析式，进而根据，得出不等式，解不等式即可求解． 【解答】解：∵点的坐标是，将沿轴向右平移3个单位至位置 ∴点的对应点为 ∵点恰好落在直线上， ∴ 解得： ∴直线 当时，即 解得： ∴当时，则的取值范围是 故答案为：． 【变式5-3】（2024-2025八年级下·江西吉安·月考）如图，一次函数的图象分别与轴、轴相交于点，，且与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与轴交于点．已知点的坐标为，点与点关于轴对称． (1)结合图象，不等式的解集为______，不等式的解集为______； (2)若点的横坐标为，求，的值． 【答案】(1)，或 (2)的值为，的值． 【分析】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，一次函数与一元一次不等式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由一次函数的图象过点，得，从而可得点，又点与点关于轴对称，故有点，然后结合图象即可求解； （）求出点，然后通过待定系数法即可求解． 【解答】（1）解：∵一次函数的图象过点， ∴， ∴直线解析式为， 当时，，解得：， ∴点， ∵点与点关于轴对称， ∴点， ∴结合图象得不等式的解集为，不等式的解集为或， 故答案为：，或； （2）解：由（）得，直线解析式为，点， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点， ∴，解得：， ∴的值为，的值． 【题型06】根据两条直线的交点求一元一次不等式的解集 【例6】（2024-2025八年级下·山西吕梁·期末）根据如图所示图象可得关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两个函数的交点坐标及图象确定不等式的解集是解题的关键 将不等式变形为，找出直线在直线下方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：不等式变形为， 根据图象可得，不等式的解集为， ∴不等式的解集是． 故选：B 【变式6-1】（2025-2026八年级下·山东青岛·期中）如图，一次函数与的图象交于点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入求出的值，确定交点坐标，再将不等式变形为，结合图象找出直线在直线上方时对应的的取值范围即可． 【解答】解：点在一次函数的图象上， ， 解得， 交点的坐标为. 不等式可变形为，即， 由图象可知，当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 【变式6-2】（2024-2025八年级下·河南驻马店·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查由一次函数图象解不等式，由题意可知关于的不等式的解集是指一次函数图象在的图象上方部分对应的取值范围，由此可解． 【解答】解：将代入，得：， 解得， ， 由图可知，当时，的图象在图象的上方， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 【变式6-3】（2023-2024八年级下·山东滨州·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【解答】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得， 解得：， 把代入， 得， 解得：， ∴直线：， 当时，则 ， 解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3）， 即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 【题型07】利用图象法解二元一次方程（组） 【例7】（2022-2023八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【解答】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 【变式7-1】（2025-2026八年级下·河南·专题练习）如图中的两直线、的交点坐标可看作是方程组 的解． 【答案】 【分析】先分别求出直线和的解析式，根据两直线交点坐标是两直线解析式组成的方程组的解，求出解析式后就能得到对应的方程组．本题主要考查一次函数解析式的求解及两直线交点与方程组的关系，熟练掌握用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 【解答】解：设直线的解析式为． 把，代入得 ， 解得， 直线的解析式为； 同理 ∴直线的解析式为， 两直线、的交点坐标可看作是方程组的解． 故答案为： 【变式7-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）利用函数图象解下列二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1)无数解 (2)无解 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图象交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． （1）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解； （2）在同一坐标系中作出函数和的图象，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解，无交点则为无解，重合则为无数解． 【解答】（1）解：画出图象如图①所示． 两条直线重合，有无数个交点，故方程组有无数组解． （2）解：新画出图象如图②所示． 两条直线平行，没有交点，故方程组无解． 【变式7-3】（2025-2026八年级下·全国·专题练习）（1）在如图所示的平面直角坐标系中，用图象法求二元一次方程组，的解； （2）求（1）中图象与x轴所围成的三角形的面积． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键． （1）作出函数和函数的图象，由二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标即可求解； （2）分别由图象得出两函数与轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中作出函数和函数的图象： ∵二元一次方程组，的解即函数和函数的图象的交点的横、纵坐标， ∵由图象知：函数和函数的图象的交点坐标为， ∴二元一次方程组的解为； （2）由图象知：函数与轴的交点坐标为， 当时，即， ∴， ∴函数的图象与轴的交点坐标， ∴（1）中图象与轴所围成的三角形的面积为：． 【题型08】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例8】（2025-2026八年级下·河南驻马店·月考）如图，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把代入直线求出的值，从而得到点坐标，再根据“两函数图像的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解”可得答案． 【解答】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴关于，的方程组的解是． 【变式8-1】（2024-2025八年级下·湖北武汉·期末）若直线与交于点，则关于，的方程组的解是 ，的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，根据一次函数与二元一次方程组的关系可知，方程组的解对应两个一次函数的交点坐标，从而可写出方程组的解，明确一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键． 【解答】解：∵直线与交于点， ∴关于，的方程组的解是，的解是， ∴， 故答案为：，． 【变式8-2】（2024-2025八年级下·甘肃庆阳·期末）已知方程组的解是，则直线与的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，关键是掌握二者之间的关系． 二元一次方程组的解对应的坐标就是两个一次函数图象的交点． 【解答】解：∵方程组的解是， 即方程组的解为， ∴直线与的交点坐标是， 故答案为：． 【变式8-3】（2025-2026八年级上·安徽合肥·期中）一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知，，，观察图象回答下列问题： (1)关于的一元一次方程的解是 ； (2)关于，的方程组的解是 ． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组、一次函数与一元一次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （）由题意得，关于的方程的解是； （）由图可得答案． 【解答】（1）解：∵点坐标为， ∴关于的一元一次方程的解是， 故答案为：； （2）解：由图可得，一次函数和一次函数图象的交点为， ∴关于，的方程组的解是， 故答案为：． 【题型09】一次函数与方程（组）、不等式（组）的综合运用 【例9】（2025-2026八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【解答】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式9-1】（2025-2026八年级下·全国·课后作业）在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个平面直角坐标系中分别作出了一次函数和的图象，分别与x轴交于点A，B，两直线相交于点C．已知点，，观察图象并回答下列问题： (1)关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ； (2)求关于x的不等式组的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用数形结合思想解答即可． 【解答】（1）解：∵一次函数与x轴交于点， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 观察图象得：当时，函数的图象在x轴的下方， 即关于x的不等式的解集为； 故答案为：，； （2）解：根据图象得，当时，一次函数和的图象均在x轴的上方， ∴关于x的不等式组的解集为． 【变式9-2】（2024-2025八年级下·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线的表达式为，交轴于点．点，分别在直线上，两条直线相交于点. (1)求直线的表达式； (2)直接写出不等式的解集； (3)若直线上存在一点，使得的面积等于的面积的倍，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）联立函数解析式求出点坐标，再结合函数图象解答即可求解； （）连接，可得，设点的纵坐标为，得，得到，进而代入即可求出点的坐标； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，一次函数的几何应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 【解答】（1）解：∵点，分别在直线上， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：由，解得， ∴， 由函数图象可知，当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为； （3）解：如图，连接， ∵点， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， 设点的纵坐标为， ∵的面积等于的面积的倍， ∴ 解得， ∵点在直线上， ∴点的坐标为或． 【变式9-3】（2025-2026八年级下·河北秦皇岛·月考）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点B，与直线交于点C． （1）求k，b的值； （2）关于x，y的方程组的解为____；当时，x的取值范围为____； （3）将直线沿y轴正方向向上平移t个单位长度（）得到，若与x轴交于点D，当时，求t的值． 【答案】（1），；（2），；（3） 【分析】（1） 利用待定系数法，将已知点坐标代入直线方程求和． （2） 联立方程组求解，利用函数图象性质解不等式． （3） 根据平移规律写出的解析式，求与轴交点，利用距离公式求． 【解答】解：（1）解：直线与轴交于点， ， 解得：， 直线与轴交于点， ， 解得：． （2）解：联立， 得：， ， 解得：， ， 方程组的解为， 当时，即， 由函数图象可知， 解得：． （3）解：直线沿轴正方向平移个单位， 得， 令，得， 解得：， ， ， ， 由得： ， 解得：． 【题型10】求直线、坐标轴围成的图形面积 【例10】（2025-2026八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与直线相交于点． (1)求a的值． (2)直线与直线与x轴分别相交于A、B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了一次函数与三角形面积计算，解题的关键是能够根据题意确定直线的解析式，求出直线与x轴的交点坐标． （1）将代入，得出； （2）分别求得的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可求解． 【解答】（1）解：将代入， ∴ ∴； （2）解：∵， ∴， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， 又∵， ∴的面积为． 【变式10-1】（2025-2026八年级上·四川成都·期中）如图，直线是一次函数的图象，与两坐标轴所围成的三角形的面积为___________． 【答案】/ 【分析】本题考查的是一次函数图象上点坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据待定系数法求出直线解析式，进而求出直线与坐标轴的交点，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：由题意，；，， ∴ 解得： ∴， 把代入得：，解得： ∴直线与坐标轴的交点分别为，， ∴函数与两坐标轴围成三角形的面积为：． 故答案为：． 【变式10-2】（2025-2026八年级下·黑龙江绥化·开学考试）已知，直线与直线． (1)求两直线与y轴交点A，B的坐标； (2)求两直线交点C的坐标； (3)求的面积． (4)根据图象，写出关于x的不等式的解集 【答案】(1)， (2) (3)2 (4) 【分析】（1）根据坐标轴上点的特征，代入求解即可； （2）根据一次函数图象与二元一次方程组的关系，联立方程组，求解即可； （3）根据点的坐标，可求线段，再根据点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可求出三角形的高，计算即可； （4）根据一次函数与不等式的关系，结合图象可得，当时，． 【解答】（1）解：由图可知，直线与直线分别交y轴于点A、B， 当时，，即； 当时，，即； （2）解：直线与直线交于点C， ，解得， 则； （3）解：，，， ， 则的面积为2； （4）解：如图，当时，． 【变式10-3】（2024-2025八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【解答】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 【题型11】二元一次方程组解的情况与两直线的位置关系 【例11】（2025-2026八年级上·广东深圳·期末）方程组没有解，因此直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是______． 【答案】平行 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据方程组无解表明两条直线没有交点，即可得出结论． 【解答】解：∵没有解，即没有解， ∴直线和直线在同一平面直角坐标系中的位置关系是平行； 故答案为：平行． 【变式11-1】（2025-2026八年级上·安徽安庆·期中）两条直线和的位置关系为____________．由此可知，方程组的解的情况为____________． 【答案】 平行 无解 【分析】本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线的相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况． 【解答】解：∵对于两条直线和，， ∴两条直线平行； 方程组可化为， ∵两条直线平行，没有交点， ∴方程组无解， 故答案为：平行，无解． 【变式11-2】（2024-2025八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【解答】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 【变式11-3】（2025-2026八年级上·广西梧州·期中）直线与的位置关系是互相______． 【答案】垂直 【分析】此题考查了两条直线的位置关系，勾股定理，首先画出两个函数的图象，然后求出，然后根据勾股定理得逆定理求解即可． 【解答】如图所示，画出两个函数的图象， 联立直线与得， 解得 ∴ ∵， ∴，， ∴ ∴是直角三角形，且 ∴ ∴直线与的位置关系是互相垂直． 故答案为：垂直． 【特训01】拓展培优强化 1．（2025-2026八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（ ） A．直线与直线的交点在第一象限 B．直线与直线的交点为 C．直线不经过第一象限 D．直线交轴于负半轴 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键． 根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误． 【解答】解：∵关于的方程组无解， ∴直线与直线平行， 即，解得， 两直线平行，无交点，故A、B错误； 将代入，得， ∵斜率，截距， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确； 将代入，得，当时，， 即直线交y轴于正半轴，故D错误． 故选：C． 2．（2024-2025八年级下·江苏南通·期中）若点、、．当的值最小时，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由点的坐标特征确定其在直线上，为使最小，作点关于直线的对称点，根据轴对称性质将转化为，则的最小值为的长度，此时点为直线与直线的交点；再通过直线与坐标轴的交点及轴对称性质求出的坐标，用待定系数法求得直线的解析式，最后联立直线与的方程，解方程组得到点的坐标． 【解答】解：∵点的坐标满足， ∴点在直线上． 如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为所求的点，此时，为最小值． 设直线与轴交于点，与轴交于点，则，为等腰直角三角形，． 点与点关于直线对称， ，，，． ，即轴， ，即轴， ． 设直线的解析式为， 将、代入：，解得， ∴直线的解析式为． 联立直线与直线的方程：，解得， ∴点的坐标为． 3．（2024-2025八年级下·江西景德镇·期中）已知关于的方程：只有一个解，则的值是______． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，令，进而得到两个函数图象只有一个交点，根据题意，画出函数图象，利用数形结合的思想进行求解即可． 【解答】解：令， ∵只有一个解， ∴两个函数图象只有一个交点， 画出函数图象如下： 由图可知，当直线过图象的最低点时，满足题意， ∵， ∴当时，， 把代入，得：， 故答案为：1． 4．（2025-2026八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，是轴上任意一点． （1）当，时，点的坐标是___________． （2）当的值最大时，点的坐标是____________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质与判定． （1）过点作轴于点，证明得出，即可求解； （2）根据题意得出在的延长线上时，的值最大，待定系数法求得直线的解析式，令，得出的坐标，即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点作轴于点， ∵点，， ∴ ∵ ∴，， 又∵ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴点的坐标是， 故答案为：． （2）如图，连接并延长交轴于点， 根据两点之间线段最短可得：， ∴当在的延长线上时，的值最大 设直线的解析式为，代入，， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时， ∴当的值最大时，点的坐标是 故答案为：． 5.（2025-2026八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)连接，求的面积； (3)根据图象，直接写出不等式组的解集． 【答案】(1)直线为，直线； (2)3； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键． （1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可； （2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可； （3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解． 【解答】（1）解：∵直线和直线相交于点， ∴将代入直线中，得，即， 将代入直线中，得，即， ∴直线为，直线． （2）解：连接， ∵直线与轴和轴相交于点和点， ∴当时，解得，即点，， 当时，得，解得，即点，， ∵直线与轴相交于点， ∴当时，得，解得，即点，， ∴， ∴． （3）解：法一： 依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围， ∵， ∴结合函数图象可得，． 法二： ∵， ∴， 得， 由①得， ， ， ， 由②得， ， ， 综上，． 6．（2025-2026八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C． (1)求k，b的值； (2)关于x，y的方程组的解为 ； (3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长． 【答案】(1)， (2) (3)3或9 【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解； （2）联立方程组，解方程组，进而可以得解； （3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可． 【解答】（1）解：∵直线与x轴交于点， ∴，解得：， ∵直线与y轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：由题意，结合（1）联立方程组， 解得：， ∴方程组的解为． （3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1， ∴令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 令，则；，则， 故直线被，所截得的线段长为； 答：直线被，所截得的线段长为3或9． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、待定系数法求一次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 7.（2025-2026八年级上·全国·期末）如图1，直线，相交于点，直线与x轴相交于点，直线与x轴相交于点． (1)求直线和的函数关系式． (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于直线的函数值，也小于直线的函数值，求m的取值范围． (3)如图2，若直线与y轴相交于点D，线段上是否存在一点P，使点P ，点 B和点 D为顶点组成的三角形面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）采用待定系数法，分别设​、​的一次函数解析式为，将​经过的、，​经过的、代入解析式，列方程组求解系数，得到​和​的函数关系式． （2）分析时的函数值约束：当过时，与​平行时；结合图象可知，当时，时的值小于、​的函数值． （3）先求​与y轴交点D的坐标，计算的面积，进而得到的面积；平移​得到过P的直线，结合面积求出该直线与x轴的交点，确定其解析式；最后联立该直线与​的解析式，解方程组得到P点坐标． 【解答】（1）解：已知过、， 设解析式为​，代入得： ， 解得，， 故​：． 已知过、， 设解析式为 ​，代入得： ， 解得，， 故​：． （2）解：当时，、​的函数值均为4，此时需满足． 当与:平行时，，此时时恒成立． 当过点时，，此时时（即小于​、​的函数值）． 结合图象，得． （3）解：直线​：与y轴交点，令，得． ∵， ∴， ∴ ， 平移​得直线（过P点），设​与x轴交于E，连接，则． ∵ ， ∴， ∴E点坐标为 ． 设​：， 代入得， 即​：， ∴ ， 解得​，， 即 ． 【点评】本题考查一次函数解析式求解、函数值大小比较、坐标与三角形面积的综合应用，解题中运用待定系数法（通过直线上的点列方程组求函数式）、函数图象分析法（结合关键点与平行线确定参数范围）、直线平移法（转化面积条件）及方程组法（求直线交点），解题关键是熟练利用直线上的点坐标建立关系，结合函数图象与面积公式，将坐标运算与图形性质结合，逐步推导得出结果。 8．（2025-2026八年级上·广东清远·月考）如图，直线 与x轴相交于点A，直线 经过点，与x轴相交于，与y轴相交于C，与直线 相交于点D． (1)求直线 的函数关系式； (2)点P是l2上一点， 且 ，求点P的坐标： (3)设点Q的坐标为，是否存在m值，使的值最小?若存在．请求出点Q坐标，如不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或； (3)存在，，见解析 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标，据此求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标即可得到答案； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【解答】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）解：联立， 解得：， ∴点的坐标为； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在，理由如下： 如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小． ∴存在，． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 9．（2024-2025八年级下·湖北宜昌·期末）如图，直线交轴于点，交轴于点，直线经过点，交轴于点． (1)请求出B点坐标和直线的函数解析式； (2)将直线向下平移个单位，且经过点；将直线向下平移个单位，且经过点，平移后的两直线交于点；请求出点的坐标； (3)如图，将直线向右平移得到直线，点是与直线的交点，点，分别在射线，上，且轴，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，． 设四边形的周长为，设点的横坐标为，求出与的函数关系式； 当四边形为正方形时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2) (3)①；②或 【分析】（1）先求出点B的坐标，再利用待定系数法求解； （2）先求出两条直线平移后的解析式，再将两个解析式联立，解二元一次方程组即可； （3）先求出点E的坐标，设，，分和两种情况，用含m的式子表示出和，即可求解；当四边形为正方形时，，分和两种情况，分别求出m的值即可． 【解答】（1）解：对于直线， 当时，， ， 将，代入，得： ， 解得， 直线的函数解析式为； （2）解：对于， 当时，， ， 将直线向下平移个单位，所得直线的解析式为：， 将代入，得：， 解得， 直线平移后所得直线的解析式为：； 将直线向下平移个单位，所得直线的解析式为：， 将代入，得：， 解得， 直线平移后所得直线的解析式为：， 将两条平移后直线的解析式联立，得：， 解得， 点的坐标为； （3）解：直线向右平移得到直线， 直线的解析式为：， 将直线与直线的解析式联立，得：， 解得， 点的坐标为． 点的横坐标为，轴， ，， 当时，，， ； 当时，，， ， 综上可知，与的函数关系式为：； 当四边形为正方形时，， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，m的值为或． 【点评】本题考查两条直线的交点问题，一次函数图象的平移，求一次函数解析式，正方形的性质等，注意分情况讨论是解题的关键． 10.（2024-2025八年级下·山东济南·期中）【问题提出】如何解不等式？ 预备知识1：同学们学习了一元一次方程、一元一次不等式和一次函数，利用这些一次模型和函数的图象，可以解决一系列问题． 图①中给出了函数和的图象，观察图象，我们可以得到： （1）当时，函数的图象在图象上方，由此可知：不等式的解集为___________． 预备知识2：函数，称为分段函数，其图象如图②所示．实际上对带有绝对值的代数式的化简，通常采用“零点分段”的办法，将带有绝对值符号的代数式在各“取值段”化简，即可去掉绝对值符号．比如化简时，可令和，分别求得（称1，3分别是和的零点值），这样可以就，，三种情况进行讨论： （1）当时，； （2）当时，； （3）当时，． 就可以化简为． 预备知识3：函数(为常数)称为常数函数，其图象如图③所示． （2）【知识迁移】如图④，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集是___________． 【问题解决】结合前面的预备知识，我们来研究怎样解不等式． （3）先化简，再作图，在图⑤所示的平面直角坐标系中作出函数和的图象．并通过观察图象，求出不等式的解集 【答案】[问题提出] （1）；[知识迁移] （2）；[问题解决]（3）作图见解析；或． 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，熟练掌握函数的性质，数形结合是解题的关键． [问题提出]：（1）根据函数图象可得答案； [知识迁移]：（2）先求解的值，再根据函数图象可得答案； [问题解决]：（3）把函数化为，再画图即可；在同一坐标系内画的图象，并求解两个函数的交点坐标，根据函数图象可得答案； 【解答】解：[问题提出]，（1）如图， ∵当时，函数的图象在的图象上方， ∴不等的解集为：， [知识迁移]，（2）如图， ∵点在上， ∴， 解得：， ∴， ∵当时，直线的图象在的图象的上方， ∴不等式， 即的解集为：， [问题解决] （3）根据题意得： ， 画图如下： 再在同一坐标系内画的图象如下： 由函数图象得：与有交点， 则， 解得：， 与有交点， 则 解得： ∴与的两个交点坐标分别为：，； 由函数图象可知，当时，的图象在的上方， 当时，的图象在的上方， 故不等式的解集为：或． 【特训02】直通中考真题 1．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【解答】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 2．（2024·广东·中考真题）已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当函数图象位于x轴的下方的图象即可． 【解答】解∶∵不等式的解集是， ∴当时，， 观察各个选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【解答】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 4．（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可． 【解答】解：∵， ∴当时，， 故选：B． 【点评】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键． 5.（2023·宁夏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于，的方程组的解为 【答案】C 【分析】结合图象，逐一进行判断即可． 【解答】解：A、随的增大而增大，故选项A正确； B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确； C、由图象可知：当时，，故选项C错误； D、由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为； 故选项D正确； 故选C． 【点评】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键． 6.（2025·宁夏·中考真题）如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【解答】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 7．（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【解答】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 8．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【解答】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 9.（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为_______ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【解答】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 10．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【解答】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 11.（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 【解答】（1）解：由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $