8.6.2直线与平面垂直（第1课时）课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的定义、判定定理及直线与平面所成的角，通过旗杆与地面等生活实例导入，结合影子垂直问题链引发思考，以折纸实验探究判定条件，构建从感性认知到理性分析的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活现象，如旗杆影子问题抽象出垂直关系，通过折纸实验培养数学思维，引导学生自主发现线面垂直判定条件。例题设计结合正方体、四棱锥等模型，用符号语言和图形语言表达推理过程，强化数学语言运用。学生能在探究中深化空间观念，教师可借助互动素材提升课堂效率。

第八章 立体几何初步 8.6空间直线、平面的垂直 第2课时 直线与平面垂直 在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系(如图)，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象. 提示　始终保持垂直. 如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，则旗杆AB与影子BC的位置关系如何？ 问题1 提示　可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 问题2 提示　不能. 我们能说直线与平面α内的无数条直线垂直，则直线与平面α垂直吗？ 问题3 一条直线垂直于平面内一组平行线， 但与平面斜交 1.直线与平面垂直的定义及画法 定义 如果直线l与平面α内的　　　　　直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 ______ 注 线面垂直是“线线垂直”的拓展，线面垂直则一定能推出线与平面内所有直线垂直（逆用可用于证明线线垂直）； 任意一条 l⊥α “任意一条直线”≠“无数条直线” 图示 有关 概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们的交点叫做垂足。 2.过一点垂直于已知平面的直线　　　　　一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的　　　　，垂线段的长度叫做这个点到该平面的 　　　. 有且只有 垂线段 距离 垂足 m 直线a的垂面 平面α 的垂线 　　　 (多选)下列命题中，不正确的是 A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线 C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直 D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 例 1 √ √ √ 当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以A不正确； 当l与α不垂直时，若l在α内，则l可能与α内的无数条直线垂直，所以B，D不正确，C正确. 8 (多选)下列说法正确的是 A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的任一直线 B.若直线l垂直于平面α，则直线l与平面α内的直线可能相交，可能异面， 　也可能平行 C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D.若a⊥b，b⊥α，则a∥α 跟踪训练 1 √ √ 9 由线面垂直的定义知，A正确； 当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，B错误； C显然是正确的； 而D中，a可能在α内，D错误. 10 互动探究 三角形纸板翻折 ① 当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面内的BD、DC是什么位置关系？此时AD与桌面是否垂直？ ② 当折痕AD不是BC边上的高时，AD与桌面还垂直吗？ ③ 结合操作，你认为要使一条直线与一个平面垂直，需要满足什么条件？ 文字语言 如果一条直线与一个平面内的　　　　　　　　垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，　　　=P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言   简记 线线垂直，线面垂直 两条相交直线 m∩n 知识梳理 12 反 思 感 悟 (1)由线线垂直证明线面垂直： ①定义法(不常用)；②判定定理(最常用)，要着力寻找平面内的两条相交直线(有时需要作辅助线)，使它们与所给直线垂直. (2)平行转化法(利用推论)： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 证明线面垂直的方法 (1)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=.求证：PA⊥平面ABCD. 例 2 因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA=1，PD=，所以PD2=PA2+AD2，所以PA⊥AD， 又PA⊥CD，AD∩CD=D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD. 14 (2)已知在三棱锥P-ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 √ 15 如图，连接AO并延长，交BC于点D，连接BO并延 长，交AC于点E. 因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，PB⊂平面PBC， PC⊂平面PBC，故PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC， 故PA⊥BC. 因为PO⊥平面ABC，］ 又BC⊂平面PBC，故PO⊥BC，因为PA∩PO=P，PA⊂平面PAO，PO⊂平面PAO， 故BC⊥平面PAO，又AO⊂平面PAO， 故AO⊥BC，即AD⊥BC；同理BE⊥AC，故点O是△ABC的垂心. 16 　　　　　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1. 跟踪训练 2 17 如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，易证AE=CE. 因为AO=OC，所以OE⊥AC. 在正方体中易求出： D1O= ==a， OE===a， 18 D1E===a. 因为D1O2+OE2=D1E2，所以D1O⊥OE. 因为D1O∩AC=O，D1O⊂平面ACD1，AC⊂平面ACD1， 所以OE⊥平面ACD1. 19 当一支铅笔的一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，铅笔和桌面所成的角逐渐增大，观察并思考铅笔和桌面所成的角应怎样定义？ 提示　 铅笔和它在桌面上 的射影所成的角. 问题5 20 直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面α　　　，但不与这个平面　　　，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中________   斜足 斜线和平面的　　　，如图中_____ 相交 垂直 直线PA 交点 点A 有关概念 对应图形 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引　　　，过　　　和　　　的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为_________   垂线 垂足 斜足 直线AO 22 有关概念 对应图形 直线与平面所成的角　 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中 　　　　； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是　　；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是____ 取值 范围 设直线与平面所成的角为θ，则_____________ ∠PAO 90° 0° 0°≤θ≤90° 23 　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值. 例 3 24 如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM， 因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以 EM∥AD.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面 ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE 在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角. 设正方体的棱长为2， 则EM=AD=2，BE==3. 于是在Rt△BEM中，sin∠EBM==，即直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值为. 25 　　　　 在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？ 延伸探究 ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1， ∴BE与平面ABCD所成的角与所求的角相等. 连接BD(图略)，则∠EBD即为直线BE与平面ABCD所成的角. 设正方体的棱长为2，则DE=1， 则在Rt△BDE中，sin∠EBD==，即直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为. 26 EV录屏5.4.2软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn EV录屏5.4.2软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn EV录屏5.4.2软件录制 Lavf58.33.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制, www.ieway.cn $