8.6.2 第1课时 直线与平面垂直的判定-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线与平面垂直的定义、判定定理及线面角，通过木工检查木棒垂直的情景导入，结合旗杆影子、翻折纸片等问题，构建从直观到抽象的学习支架，衔接定义、定理与应用。 其亮点在于以情景和问题驱动培养数学眼光，通过定理证明和例题解析发展逻辑推理（数学思维），用符号语言和模型表达空间关系（数学语言）。如正方体中证线面垂直的例2，分层训练题设计，助力学生深化理解，教师可高效实施教学。

第一课时　直线与平面垂直的判定 1 1.了解直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念（直观想象、数学抽象）. 2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直（逻辑推理）. 课标要求 　　木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向（但不是相反的方向）检查两次，如图.如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直. 情景导入 知识点一　直线与平面垂直 01 知识点二　直线与平面垂直的判定定理 02 知识点三　直线与平面所成的角 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 直线与平面垂直 01 PART 目 录 问题1　（1）如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察，直 立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC 的位置在不断地变化，旗杆所在的直线AB与其影子 BC所在直线的位置关系如何？ 提示：始终保持垂直. （2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一 结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？ 提示：可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 定义：一般地，如果直线l与平面α内的 直线都垂直，我们 就说直线l与平面α互相垂直，记作 ⁠. 任意一条　 l⊥α　 数学·必修第二册 目 录 2. 相关概念 垂线 直线l叫做平面α的垂线 垂面 平面α叫做直线l的垂面 垂足 直线与平面唯一的公共点 垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，该点与垂足间的线段 点到平面的距离 垂线段的长度 数学·必修第二册 目 录 【例1】　下列结论中正确的个数为（　D　） ①直线l与平面α垂直是直线与平面相交的一种特殊情况；②如果直线l不 垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；③如果一条直线与一 个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 1. 直线与平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实 际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时， 该直线就垂直于这个平面内的任何直线. 2. 由定义可得线面垂直⇒线线垂直，即若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 数学·必修第二册 目 录 训练1　〔多选〕下列说法中，正确的是（　　） A. 若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于α内任一直线 B. 若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也 可能平行 C. 若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b D. 若a⊥b，b⊥α，则a∥α 解析： 　由线面垂直的定义知，A正确；当l⊥α时，l与α内的直线相交 或异面，但不会平行，故B错误；C显然是正确的；而D中，a可能在α内， 故D错误. √ √ 数学·必修第二册 目 录 知识点二 直线与平面垂直的判定定理 02 PART 目 录 问题2　如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上（BD，DC与桌面接触）.观察并思考：折痕AD与桌 面垂直吗？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？ 提示：不一定.折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面垂直. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 文字语言 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α， ＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 两条相交直线　 m∩n　 　　提醒：（1）判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键 性词语；（2）要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平 面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可. 数学·必修第二册 目 录 【例2】　如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点.求证：直线SD⊥平面ABC. 证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点， ∴SD⊥AC. 如图，连接BD，在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD， ∴△ADS≌△BDS， ∴∠ADS＝∠BDS， ∴SD⊥BD. 又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC， ∴SD⊥平面ABC. 数学·必修第二册 目 录 变式　在本例中，若AB＝BC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置 关系是什么？ 解：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点， ∴BD⊥AC. 由例题知SD⊥BD，又AC∩SD＝D，AC，SD⊂平面SAC， 故BD⊥平面SAC. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 证明线面垂直的方法 （1）由线线垂直证明线面垂直： ①定义法（不常用）；②判定定理（最常用），要着力寻找平面内的两条 相交直线（有时需要作辅助线），使它们与所给直线垂直. （2）平行转化法（利用推论）： ①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；②α∥β，a⊥α⇒a⊥β. 数学·必修第二册 目 录 训练2　如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC与BD交于点O，求证：A1O⊥平面MBD. 证明：法一　∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC， 又AA1⊥平面ABCD， ∴AA1⊥BD且AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1O，∴BD⊥A1O， 令正方体的棱长为2，连接OM，A1M（图略），则A1O＝ ，OM＝ ，A1M＝3， ∴A1O2＋OM2＝A1M2，∴A1O⊥OM，又OM∩BD＝O，BD，OM⊂平 面MBD，∴A1O⊥平面MBD. 数学·必修第二册 目 录 法二　连接A1B，A1D，OM（图略）. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B＝A1D，O为BD的中点， ∴A1O⊥BD. 令正方体的棱长为2，在Rt△A1AO和Rt△OCM中，tan∠AA1O＝ ＝ ，tan∠COM＝ ＝ ，故∠AA1O＝∠COM，∴∠AOA1＋∠COM＝ 90°，∴∠A1OM＝90°， ∴A1O⊥OM，∵BD∩OM＝O，BD⊂平面MBD，OM⊂平面MBD， ∴A1O⊥平面MBD. 数学·必修第二册 目 录 03 PART 知识点三 直线与平面所成的角 目 录 问题3　当一个直尺一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，直尺和桌面 所成的角逐渐增大，观察思考直尺和桌面所成的角怎样定义？ 提示：直尺和它在桌面上的射影所成的角. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面 ，但不与这个平面 ，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中 ⁠ ⁠ 斜足 斜线和平面的 ，如图中 ⁠ 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引 ，过 ⁠ 和 ⁠的直线叫做斜线在这个平面上的射 影，如图中斜线PA在平面α上的射影为 ⁠ 相交　 垂 直　 直线 PA　 交点　 点A　 垂线　 垂 足　 斜足　 直线AO　 数学·必修第二册 目 录 有关概念 对应图形 直线与 平面所 成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中 ⁠； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直 线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 ⁠ 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则 ⁠ ∠PAO　 90°　 0°　 0°≤θ≤90°　 　　提醒：（1）斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；（2）斜线在 平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段. 数学·必修第二册 目 录 【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求A1B与平面AA1D1D所成角的大小； 解：∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角， 在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°， ∴A1B与平面AA1D1D所成角的大小是45°. 数学·必修第二册 目 录 （2）求A1B与平面BB1D1D所成角的大小. 解： 如图，连接A1C1交B1D1于点O，连接BO. ∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1， B1D1⊂平面BB1D1D，∴A1O⊥平面BB1D1D， ∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.设正方体 的棱长为1，则A1B＝ ，A1O＝ . 又∵∠A1OB＝90°，∴ sin ∠A1BO＝ ＝ ， 又0°≤∠A1BO≤90°，∴∠A1BO＝30°， ∴A1B与平面BB1D1D所成角的大小是30°. 数学·必修第二册 目 录 变式　例3条件不变，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角. 解：如图，连接BC1，BC1与B1C相交于点O1，连接 A1O1. 设正方体的棱长为a.因为A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B， B1C1∩B1B＝B1，B1C1，B1B⊂平面BCC1B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1. 又因为BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1， A1B1，B1C⊂平面A1DCB1，所以BC1⊥平面A1DCB1， 所以A1O1为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影， 数学·必修第二册 目 录 ∠BA1O1为A1B和平面A1DCB1所成的角. 在Rt△A1BO1中，A1B＝ a，BO1＝ a，所以BO1＝ A1B. 所以∠BA1O1＝30°，所以直线A1B和平面A1DCB1所成的角为30°. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 求直线与平面所成的角的步骤 数学·必修第二册 目 录 训练3　如图，已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝ ∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝ .求OA与平面α所成的角的 大小. 数学·必修第二册 目 录 解：∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°， ∴△AOB，△AOC为正三角形，∴AB＝AC＝1，又BC ＝ ，∴△BAC为等腰直角三角形. ∵OB＝OC＝1，BC＝ ，∴△BOC为等腰三角形. 如图，取BC的点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，AH ＝OH＝ ，∴AH⊥OH，又BC∩OH＝H，BC，OH⊂平面α， ∴AH⊥平面α，∠AOH为OA与α所成的角. ∴在Rt△AOH中，AH＝OH， ∴∠AOH＝45°，即OA与平面α所成的角的大小为45°. 数学·必修第二册 目 录 1. 直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角 为（　　） A. 40° B. 50° C. 90° D. 150° 解析：　若两条直线平行，则它们与同一平面所成的角相等.因为直线a 与平面α所成的角为50°，直线b∥a，所以直线b与平面α所成的角为50°. 故选B. √ 数学·必修第二册 目 录 2. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直 B. 过平面外一点有无数条直线与平面所成的角为30° C. 一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平 面垂直 D. 一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线与这个平面垂直 √ √ √ 数学·必修第二册 目 录 3. （2025·温州月考）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形， PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为 ⁠. 解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB. ∴BC⊥PB，同理得CD⊥PD，故共有4个直角三角形. 4　 数学·必修第二册 目 录 4. 如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，底面ABC是正三角形，AA'⊥底面 ABC，且AB＝1，AA'＝2，求直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值. 数学·必修第二册 目 录 解：如图所示，取A'B'的中点D，连接C'D，BD. 因为底面△A'B'C'是正三角形，所以C'D⊥A'B'.因为AA'⊥ 底面A'B'C'，所以AA'⊥C'D. 又AA'∩A'B'＝A'，AA'，A'B'⊂平面ABB'A'，所以C'D⊥平面 ABB'A'， 所以∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角.因为等边三角形 A'B'C'的边长为1，所以C'D＝ .在Rt△BB'C'中，BC'＝ ＝ ，所以直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 ＝ . 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）直线与平面垂直； （2）直线与平面垂直的判定定理； （3）直线与平面所成的角. 2.应体会 转化与化归思想. 3.避易错 易忽视线面垂直判定定理中平面内两直线“相交”这一条件. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边； ③圆的两条直径；④正六边形的两边，则能推出该直线与平面垂直为真命 题的个数为（　　） A. 0 B. 1 解析：　根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相 交的，①③中给定的平面内的两直线一定相交，能推出直线与平面垂直. 而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，④中正六边形的两 边可能是互相平行的两边，不满足定理条件. C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 2. 若一个正四棱锥的侧棱和底面边长相等，则该正四棱锥的侧棱和底面所 成的角为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析：　设正四棱锥P-ABCD的底面边长为1，连接底面对角线AC（图 略），AC＝ ，易知△PAC为等腰直角三角形.设AC中点为O，由正四 棱锥知PO⊥底面ABCD，即∠PAC为所求角，为45°.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在 △ABC所在平面内的射影O是△ABC的（　　） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 解析：　如图所示，因为PA⊥BC，PO⊥BC，且 PA∩PO＝P，PA，PO⊂平面PAO，所以BC⊥平面 PAO，则BC⊥OA，同理得OB⊥AC，所以O是△ABC的垂心. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直 线l与直线AC的关系是（　　） A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 不确定 解析：　因为AB⊥α，l⊂α，所以AB⊥l，又因为BC⊥β，l⊂β，所以 BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以l⊥平面ABC，又 AC⊂平面ABC，所以l⊥AC. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 已知直线m，b，c和平面α，下列条件中，能使m⊥α的是（　　） A. m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B. m⊥b，b∥α C. m∩b＝A，b⊥α D. m∥b，b⊥α 解析：　m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α，则m与α可能平行或m⊂α，故 A错误；m⊥b，b∥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故B错误； m∩b＝A，b⊥α，则m与α可能平行或相交或m⊂α，故C错误；由线线 平行及线面垂直的判定知选项D正确.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA ＝AB，D为PB的中点，则下列判断正确的是（　　） A. BC⊥平面PAB B. AD⊥PC C. AD⊥平面PBC D. PB⊥平面ADC √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： 　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，PA∩AB＝ A，PA，AB⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面 PAB，得BC⊥AD，BC⊥PB，∵PA＝AB，D为PB的中点， ∴AD⊥PB，从而AD⊥平面PBC，故C正确；∵PC⊂平面PBC， ∴AD⊥PC，故B正确；在平面PBC中，PB⊥BC，∴PB与CD不垂直， 即PB不垂直于平面ADC，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 〔多选〕如图所示，四棱锥S-ABCD的底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论中正确的是（　　） A. AC⊥SB B. AB∥平面SCD C. SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D. AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：对于选项A，由题意得SD⊥AC，AC⊥BD，SD∩BD＝D，SD，BD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，故AC⊥SB，故A正确； 对于选项B，因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥ 平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA与平面SBD所成的角 与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确；由题意得，AB与SC所成的 角为∠SCD，DC与SA所成的角为∠SAB，显然，∠SCD≠∠SAB，故D 不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 设直线l⊂平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有且只 有 条. 解析：如图所示，和α成30°角的直线一定是以A为顶 点的圆锥的母线所在直线，当∠ABC＝∠ACB＝30° 时，直线AC，AB都满足条件. 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. （2025·丽水质检）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是 ⁠. 线段B1C　 解析：如图，连接AC，AB1，B1C，∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与 AC交于点C，CB1，AC⊂平面B1AC，∴ BD1⊥平面 B1AC，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，平面 B1AC∩平面BCC1B1＝B1C，∴P为B1C上任何一点 时，均有AP⊥BD1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一 点，且AD＝ DB，点C为圆O上一点，且BC＝ AC. 点P在圆O所在 平面上的射影为点D，PD＝DB. （1）求证：CD⊥平面PAB； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解：证明：连接CO， 由AD＝ DB知，点D为AO的中点. 又因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB. 由 AC＝BC知，∠CAB＝60°， 所以△ACO为等边三角形，故CD⊥AO. 因为点P在圆O所在平面上的射影为点D，所以PD⊥平面 ABC，又CD⊂平面ABC，所以PD⊥CD， 又PD，AO⊂平面PAB，且PD∩AO＝D，所以CD⊥平面PAB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）求直线PC与平面PAB所成的角. 解：由（1）知∠CPD是直线PC与平面PAB所成的 角.又△AOC是边长为2的正三角形， 所以CD＝ . 在Rt△PCD中，PD＝DB＝3，CD＝ ， 所以tan∠CPD＝ ＝ ，又0 °≤∠CPD≤90°，所以∠CPD＝30°， 即直线PC与平面PAB所成的角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 如图所示，设四面体A-BCD各棱长均相等，E，F分别为AC，AD的中点，则△BEF在该四面体的面ADC上的射影是（　　） 解析：　因为四面体A-BCD是正四面体，所以点B在面ADC上的射影是 △ADC的重心，而重心应在EF的下方. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运 动，则下列说法正确的是（　　） A. 直线BD1⊥平面A1C1D B. 三棱锥P-A1C1D的体积为定值 C. 异面直线AP与A1D所成角的取值范围是 D. 直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析： A项，如图，连接B1D1，由正方体可得A1C1⊥B1D1， 且BB1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，则BB1 ⊥A1C1，因为B1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1⊂平面BD1B1， 所以A1C1⊥平面BD1B1，又BD1⊂平面BD1B1，所以A1C1 ⊥BD1.同理，连接AD1，易证得A1D⊥BD1，因为A1D∩A1C1＝A1，A1D，A1C1⊂平面A1C1D，所以BD1⊥平面A1C1D，故A正确；B项， ＝ ，因为点P在线段B1C上运动，所以 ＝ A1D·AB为定值，且C1到平面A1PD的距离即为C1到平面A1B1CD的距离，也为定值，故三棱锥P-A1C1D的体积为定值，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 C项，当点P与线段B1C的端点重合时，AP与A1D所成 角取得最小值，最小值为 ，故C错误；D项，因为直线 BD1⊥平面A1C1D，所以若直线C1P与平面A1C1D所成 角的正弦值最大，则直线C1P与直线BD1所成角的余弦 值最大，即点P运动到B1C中点处时，直线C1P与直线 BD1所成∠C1BD1的余弦值最大，设正方体棱长为1，在Rt△D1C1B中， cos ∠C1BD1＝ ＝ ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知三棱锥P-ABC的侧棱两两垂直，PA＝PC＝2，PB＝ ，Q为 棱BC上的动点，AQ与侧面PBC所成角为θ，则tan θ的最大值为 ⁠. 解析：如图所示，依题意可知PA⊥PB，PA⊥PC，所 以PA⊥平面PBC，故∠PQA是所求直线与平面所成的 角.由于tan θ＝ ，其中PA＝2，当PQ最小时，正切 值取得最大值.当PQ⊥BC时，PQ最小，BC＝ ＝ ，在Rt△PBC中，利用等面积得 × ×2＝ × ×PQ，解得PQ＝ .此时tan θ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝ 60°，OA＝1，求证：OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线. 证明：如图，过A作AP⊥α于P，连接OP，OP即为直 线OA在平面α内的射影， ∠AOP为直线OA与平面α所成的角. 过P作PM⊥OB于M，PN⊥OC于N，连接AM，AN. 易得OB⊥平面AMP，OC⊥平面ANP， ∵∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝1， ∴AM＝AN＝ ，OM＝ON＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 易得△PAN≌△PAM， ∴PN＝PM，易得△POM≌△PON， ∴∠POM＝∠PON， ∴OP为∠BOC的平分线. ∴OA在平面α内的射影为∠BOC的平分线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1（侧棱与底面垂直的棱柱）中，AC＝ BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝ ，D是A1B1的中点. （1）求证：C1D⊥平面AA1B1B； 解：证明：∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D， 又AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥平面AA1B1B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）当点F在BB1上的什么位置时，AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论. 解：当点F为BB1的中点时，满足AB1⊥平面C1DF. 证 明如下： 设F为BB1的中点时，DF与AB1交于点E，易知A1B1＝ ， ∵AA1＝ ，∴四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点，F为BB1的中点，∴DF⊥AB1， ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1. 又DF∩C1D＝D，DF，C1D⊂平面C1DF，∴AB1⊥平面C1DF. 故当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $