山东省泰安市2025--2026学年八年级下学期期末备考专题训练----专题06一元二次方程及其应用

**基本信息** 聚焦一元二次方程全体系，以“概念-解法-性质-应用”为逻辑链，通过分层题型提炼因式分解、配方法等核心解法，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1|定义判断（含未知数个数、次数、整式性）|从方程定义切入，建立一元二次方程的基本认知| |解法应用|单选2/3/解答16/20|因式分解法、配方法、公式法（步骤化呈现）|从直接求解到变形转化，形成解法选择策略| |根的性质|单选4/5/7/9/填空11|判别式应用、根系关系、方程解的代入验证|衔接解法与方程本质，深化代数推理| |实际应用|单选6/8/10/填空13/15/解答17/19/21/23/24|增长率/面积/利润模型（等量关系构建）|强化模型观念，实现数学语言表达现实问题|

山东省泰安市2026年八年级下学期期末备考专题训练----专题06一元二次方程及其应用 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 4．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 5．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 6．如图，某养鸡户用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸡舍，其面积为．在鸡舍的边中间位置留一个宽的门（由其他材料制成），则的长为（　　） A．或 B．或 C． D． 7．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 8．某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 9．已知方程的一个根是另一个根的2倍，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 10．有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值是____． 12．把方程变形为的形式，其中，为常数，则的值为___________． 13．一个三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程的根，则三角形的周长为__________． 14．关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 15．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，且要尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价_________元 三、解答题 16．解方程： (1) (2) 17．如图，有一幅长，宽的矩形照片，现要为这幅照片配一个相框，要求相框的四条边宽度相等，且相框所占面积为照片面积的二分之一． (1)求相框所占面积； (2)求相框的宽度． 18．关于的一元二次方程的两个实数根分别为． (1)求的取值范围； (2)若，求和的值． 19．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元． (1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率； (2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划4月份投入多少万元． 20．解方程 (1)； (2)． 21．如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，如图所示． (1)若设正方形的边长为，则栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为 (用含的代数式表示，要求结果最简)； (2)如果剩余空地面积为，求正方形的边长x的值． 22．计算 习题课上老师给了一道解方程的题目：．嘉嘉和琪琪的解法如下： 嘉嘉的解法 原方程可化为：……第一步 ……第二步 ，……第三步 琪琪的解法 原方程可化为：……第一步 两边都除以……第二步 ……第三步 (1)她们的解法都是错误的，嘉嘉从第________步开始错误，琪琪从第________步开始错误； (2)写出方程正确的解答过程． 23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克．现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 24．如图，在中，，动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，另一动点从点出发，沿向点以的速度匀速运动，点同时出发，当有一点到达终点时，另一点也同时停止运动，设运动时间为，那么经过多长时间，的面积为？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市2026年八年级下学期期末备考专题训练----专题06一元二次方程及其应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A A C D D A C C 1．B 【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据一元二次方程的定义，含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2次的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、没有二次项，不是一元二次方程，不符合题意； 故选B． 2．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， ， 故选：B． 3．A 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程中得：， ， ． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设，则，根据矩形鸡舍的面积为，列出关于的一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又墙长， ， 即的长为， 故选：D． 7．D 【分析】将 代入方程，得到关于 m 的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为零）确定 m 的值．本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 或 ． 又∵ 方程为一元二次方程， ∴ 二次项系数 ，即 ， ∴， 故选D． 8．A 【分析】设出未知量，根据两年前后的单价列方程求解，再舍去不合题意的解即可解答． 【详解】解：设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x， ∵2024年单价为200元，2024年到2026年共经过2年，2026年单价为162元， ∴列方程得， 两边同除以200得， 开平方得 ， ∵降低率x满足， ∴只取，解得， ∴该品牌足球单价平均每年降低的百分率是． 9．C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系；设方程的两个根为r和，利用根与系数的关系求和与积，解出r后求k. 【详解】解：设方程的两个根为r和， ∴两根之和， ∴， ∴， ∴另一个根为， ∵两根之积， ∴. 故选：C. 10．C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题. 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程． 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 11．/0.5 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】解：， ∴， 故答案为：． 12．4 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 根据配方法解方程的一般步骤进行计算即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：4． 13．10 【分析】首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长． 本题主要考查了解一元二次方程以及三角形三边之间的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：解方程 ， 得 ，． ∵三角形两边长分别为3和4， ∴第三边需满足第三边， 因此 符合条件， 不符合， ∴三角形的周长为 ． 故答案为：10． 14． 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 15．20 【分析】此题考查了一元二次方程的应用销售问题，找出题中的等量关系是解本题的关键．解答本题时还应明确：单个利润售价进价，总利润单个利润数量．设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件，根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解． 【详解】解：设每件衬衫应降价x元，则每件盈利为元，每天售出件， 根据题意，得方程：， 展开并整理得， 解得或， 为尽快减少库存，取． 故答案为：20． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元 二次方程的方法是解题的关键． （1）移项，提公因式分解因式解答； （2）用二次三项式的因式分解方法分解因式解答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 提公因式，得， ∴，， ∴． （2）解：， 分解因式，得， ∴， ∴． 17．(1)相框所占面积为 (2)相框的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据相框所占面积为照片面积的二分之一，列式计算即可； （2）设相框的宽度为，根据配上相框的照片面积＝照片面积+相框的面积，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知， ， 答：相框所占面积为； （2）设相框的宽度为， 由题意得：， 整理得：， 解得： (不符合题意，舍去)，， 答：相框的宽度为． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系． （1）根据方程有两个实数根得到，再解不等式即可； （2）先将代入方程求解，一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】（1）解：∵的两个实数根分别为， ， 即， ； （2）解：把代入方程得：， ， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ， ． 19．(1)该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 (2)4月份投入图书购置经费为86.4万元 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，列式，进行计算，即可作答； （2）由（1）知该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为，则列式计算即可解答． 【详解】（1）解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为； （2）解：4月份投入图书购置经费为（万元）， 答：4月份投入图书购置经费为86.4万元． 20．(1)， (2)， 【详解】（1）解：因式分解得， ∴或， ∴，； （2）解：整理得， 因式分解得， ∴或， ∴，． 21．(1)； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为，根据长方形面积公式即可得出结论； （2）根据剩余空地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则空白部分的长为，宽为， ∴栽种鲜花区域(阴影部分)的面积为：， 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：， (不符合题意，舍去)， 答：正方形的边长的值为． 22．(1)二；二 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）根据因式分解法和等式的基本性质求解即可； （2）利用十字相乘法将左边因式分解，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉从第二步开始错误，因为方程左边因式分解出现了错误； 琪琪从第二步开始错误，因为她方程两边同时除以时，没有分情况讨论． （2）解：按嘉嘉的解法：原方程可化为：， ∴， ∴或, 解得：； 按琪琪的解法：原方程可化为：， 当时，， 当时，两边都除以，得， ∴． 23．(1)每次下降的百分率为 (2)每千克应涨价5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出一元二次方程，并正确计算． （1）设每次下降的百分率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价m元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：每次下降的百分率为； （2）解：设每千克应涨价m元， 由题意得， 解得，， ∵每千克涨价不能超过8元， ∴。 ∴不合题意，舍去。 又∵要尽快减少库存，即销售量要尽可能大， 当时，销售量为千克，符合题意。 ∴。 即该商场要保证水果每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价5元． 24． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据的面积为列方程求解即可． 【详解】解：由题意，得， ， ， 整理，得 解得， ，则， ， 经过，的面积为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $