精品解析：河南湘豫名校2026届高三下学期5月预测联考数学试卷

5月高三数学 注意事项： 1.本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题得，，则，， ，所以A，C，D错误，B正确． 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，所以. 3. 已知，， 在上单调递增，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对于，通过分离参数由基本不等式求出另一侧的取值范围进而得到的范围，对于，通过二次函数单调性得到的范围，通过两个范围的推出关系即可求解. 【详解】，，所以在上有解， 又，当且仅当时等号成立，所以等号取不到，即， 所以. 对于图象的对称轴为直线，所以的递增区间是， 故当在上单调递增时，. 因为小范围可以推出大范围，大范围推不出小范围，所以是的充分不必要条件. 4. 已知等边的边长为2，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以分别为的三等分点， 因此， ， 所以 . 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角三角函数的定义以及三角恒等变换公式即可求解. 【详解】因为，所以，，所以为第四象限角. 因为，又，所以. 6. 将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（ ） A. B. C. 28 D. 84 【答案】C 【解析】 【分析】本题可采用隔板法求解，通过“借元”将原问题转化为每个盒子非空的情形进行计算. 【详解】将6个相同的小球放入3个不同的盒子中，盒子可空， 等价于将9个相同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子不空， 只需在9个相同的小球中间所形成的8个空位中插入2块板即可， 所以不同的放法种数为（种）. 7. 若函数，则（ ） A. 6322 B. C. 6321 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件易得首末项自变量之和为常数2，可得，进而利用倒序相加求解即可. 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 8. 已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，的斜率为，，，进而根据点差法求得，进而求得点的轨迹方程为，进而得，进而利用二次函数的最值的求法可求得的最大值. 【详解】当直线的斜率不存在时，，； 当直线的斜率存在时，设，的斜率为，，， 则，两式相减整理得.又， 两式消去化简得点的轨迹方程为， 则. 由，得，所以. 而二次函数图象的对称轴为直线， 所以当时，可取到最大值为.又，故的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，由，解得，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误. 10. 如图，在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 直线平面 D. 直线与平面所成的角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设的中点为，由线面垂直的判定、性质证得平面，再由面面垂直的判定判断A，根据A的分析得平面平面，结合平面平面及平面的基本性质判断B，连接交于点，由相似比得，根据线面平行的判定判断C，首先找到线面角的平面角，再由已知确定其大小判断D. 【详解】A，由题，，，所以，则， 如图，设的中点为，由， 易得 且，所以四边形为矩形， 所以 ，可得，. 所以，又， 所以，则. 因为，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，又，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面，A正确. B，由A得平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面与平面不垂直，B错误. C，连接交于点， 因为， 所以，可得， 由平面，平面， 所以平面，C正确. D，由平面，可知为直线与平面所成的角， 由A易知，D正确. 11. 已知且，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为增函数 B. 若，则的解集为 C. 若，则的图象关于直线对称 D. ，，恒为常数 【答案】ABD 【解析】 【分析】作出分段函数的图象可判断AB；举反例可判断C；构造函数，利用零点存在定理证明存在使得，即方程有解即可判断D； 【详解】对于A，B，当时，的图象如图，可知A，B正确； 对于C，，，可得点，连线的斜率并不恒为，C错误； 对于D，若存在满足，则对任意正整数，次复合后结果恒为，是常数. 当时，令，是连续函数， 当时，，故；且， 由零点存在定理，存在使得，即，因此存在满足要求的， D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最大值为________. 【答案】 【解析】 【详解】，其中，所以的最大值为. 13. 在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，结合可证得平面，可得，取的中点为，推理得出点到A，B，M，N四点的距离相等，即得点为四面体的外接球的球心，进而可求得其半径. 【详解】在与中，可得，，即， 因 ，所以 ，故，即. 又平面，平面，则. 因平面，所以平面，而平面，故. 如图，取的中点为，在中， ，在中， ， 所以，即点到A，B，M，N四点的距离相等，所以点为四面体的外接球的球心， 可得外接球的直径， 所以四面体的外接球的半径为. 14. 已知抛物线上有点，其中.又点，，若，分别交抛物线于另一点，，且直线的斜率为，则________. 【答案】 【解析】 【分析】设直线方程为，与抛物线方程联立，可求得，进而可得，利用裂项相消法可求值. 【详解】设直线方程为，代入，得. 由根与系数的关系可得，得，同理可得. 所以，则， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. （1）若，，求的面积； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由角平分线性质，结合三角形面积公式即可求解； （2）由角平分线的性质，结合两角和差的余弦公式化简可得的值，再根据正切的诱导公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以在中，. 又 ，即 ，所以. 因为，所以，即，解得. 因为平分，所以， 解得， 所以 所以. 【小问2详解】 设， 则， 即， 整理得， 又， 故，即，解得. 16. 如图，在三棱台中，，，，平面平面，且，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理推导平面得到，再结合给定的边长关系，通过勾股定理逆定理及线线平行性质证明，最终由线面垂直判定定理得证. （2）在第一问结论的基础上建立空间直角坐标系，求得两个平面对应的法向量，先通过向量点积公式计算两法向量夹角的余弦值，再利用同角三角函数的基本关系求出两平面夹角的正弦值. 【小问1详解】 因为，所以. 又平面平面，且平面平面，平面,所以平面. 因为平面，平面，所以，. 又，所以. 又，平面,所以平面，平面,所以. 因为在中，，，所以. 因为在中，，， 所以. 又，所以. 又，且，平面, 所以平面. 【小问2详解】 如图，以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则有不妨取， 则平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则有不妨取， 则平面的一个法向量为， 所以，所以. 故平面与平面夹角的正弦值为. 17. 在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. （1）求中点的轨迹的方程； （2）若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角形面积为4，建立，两点坐标之间的等量关系；设中点的坐标，利用中点坐标公式将点坐标用，两点坐标表示，即可求出点的轨迹的方程； （2）联立方程组，分别根据弦长公式表示出，再根据点到直线的距离公式求出距离，根据面积为建立等量关系即可求出. 【小问1详解】 解：设，，由题知， 则， 设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. 【小问2详解】 解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 18. 已知函数. （1）若时，恒成立，求实数的最大值. （2）当时，有两个极值点，，且. （ⅰ）用表示，； （ⅱ）证明：所有零点之和大于. 【答案】（1）2 （2）（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，结合，可得，据此分、两种情况进行求解； （2）（ⅰ）令，得到，； （ⅱ）由，可得，进而计算可得，结合的单调性可得． 【小问1详解】 由题易得，所以当时，.所以. 而，所以，可得. 当时，令，得. 所以函数有两个零点，，且. 又函数图象的对称轴，所以当时，， 即在上单调递增，所以存在，使得，矛盾. 以下证的充分性：， ，所以为减函数，， 故的最大值为2； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知. 令，即， 可得的两个极值点，. （ⅱ）因为，当时，， 又，，分别为的单调递减、单调递增、单调递减区间， 当时，；当时，， 所以在区间，，上分别有一个零点，1，. 因为，则. 所以， 易知在上单调递减，且， 所以． 19. 某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. （1）前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. （2）若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用独立事件乘法公式求丙组队员一次未投的概率； （2）（i）根据已知及概率的性质得到，构造法确定为等比数列，从而写出其通项公式；（ii）由题设，，两式作差且令，应用累加法、等比数列的前n项和公式求，从而得到的通项，应用分类讨论判断证明结论. 【小问1详解】 若前4次投篮结束，丙组队员一次未投， 则前3次投篮情形为1号中，2号未中，4号中，其概率为. 【小问2详解】 （i）由题意知， 且， 所以，， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （ⅱ）依题意，，， 所以. 两边同乘，得. 令，则. 当时， ，其中， ， 所以. 当为奇数且时，即 时，. 当为偶数且时，， 当为偶数且时，令，可化为. 因为，所以 ， 故存在，使得当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5月高三数学 注意事项： 1.本试卷共6页．时间120分钟，满分150分．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，， 在上单调递增，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知等边的边长为2，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 将6个相同的小球放入3个不同盒子里，盒子可空，则不同的放法种数为（ ） A. B. C. 28 D. 84 7. 若函数，则（ ） A. 6322 B. C. 6321 D. 8. 已知椭圆，点，过点的直线交椭圆于，两点，的中点为，定点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 随机变量的分布列如下： X 1 2 P 0.1 0.2 0.3 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在四棱锥中，，，，，，则下列结论正确的是（ ） A. 平面平面 B. 平面平面 C. 直线平面 D. 直线与平面所成的角为 11. 已知且，函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为增函数 B. 若，则的解集为 C. 若，则的图象关于直线对称 D. ，，恒为常数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的最大值为________. 13. 在长方体中，M为的中点，N为的中点，，，，则四面体的外接球的半径为________. 14. 已知抛物线上有点，其中.又点，，若， 分别交抛物线于另一点，，且直线的斜率为，则 ________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在中，，D，E为线段上两点，且平分，（在的左侧）. （1）若，，求的面积； （2）若，，求的值. 16. 如图，在三棱台中，，，，平面平面，且，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值. 17. 在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. （1）求中点的轨迹的方程； （2）若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 18. 已知函数. （1）若时，恒成立，求实数的最大值. （2）当时，有两个极值点，，且. （ⅰ）用表示，； （ⅱ）证明：所有零点之和大于. 19. 某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. （1）前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. （2）若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $