精品解析：河南省许昌市襄城县名校联考2025-2026学年高三下学期4月期中数学试题

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合， {质数}，则（ ） A. B. C. D. 2. 虚数满足等式是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知抛物线 的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 若既能被 整除又能被 整除，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 8. 已知为无穷递增数列，为递减数列，则下列选项中正确的是（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，都有 D. ，使得 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列论述正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C. 记两个变量的样本相关系数为 ，若越接近0，线性相关程度越强 D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中表示概率值0.05所对应的临界值 10. 若存在，使得对任意恒成立，则函数 在 上有下界，其中为函数 的一个下界；若存在 ，使得对任意恒成立，则函数 在 上有上界，其中 为函数 的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个下界 B. 函数有下界，无上界 C. 函数有下界，无上界 D. 函数有界 11. 已知双曲线，，为C的左、右焦点，点，，过作实轴的垂线l与C从下到上依次交于A，B两点，线段与C的虚轴长相等．则（ ） A. 双曲线C的离心率 B. 以为直径的圆与C的渐近线相切 C. 若点P是C上任意一点，则直线，的斜率之积的范围是 D. 若点P是C上任意一点，l分别与，交于点E，F，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调减区间是_____． 13. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 14. 如图，已知正四棱锥中，在平面内，正四棱锥可绕着任意旋转， 平面．若，则正四棱锥在平面内的投影面积的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为. （1）若，求角 ； （2）若的面积为，且 为锐角，求的值. 16. 如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点 在线段上，且满足，点为的中点. （1）当时，证明： 平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为 的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量 ，求 的分布列及数学期望. 18. 若函数在开区间I内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为I内的“ 缘分函数”． （1）判断是否为 内的“缘分函数”，并说明理由； （2）若为内的“缘分函数”，求实数a的取值范围； （3）证明：不是 内的“缘分函数”． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 ：的两个焦点分别为，，为椭圆 上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点的直线与椭圆 交于不同的两点 ， （点 在点 ， 之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆 上一点，且，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合， {质数}，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】，集合里的质数只有2,3,5，所以. 2. 虚数满足等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的乘除运算结合共轭概念即可判断； 【详解】解：因为， 所以 故选：B 3. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据作差法即可求解A，根据不等式的性质即可求解B，根据基本不等式可求解C，利用指数函数的单调性即可求解D. 【详解】对于A，，由于，故，所以，即，A正确， 对于B，由于，故，B正确， 对于C，由于，故，故C正确， 对于D，因为在上单调递减，又，所以，故D错误， 故选：D. 4. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立、绝对值、数集及一元二次方程根的判别式逐项分析判断即可. 【详解】选项A：，因为恒成立，所以，即恒成立，故不存在实数使原式小于0，为假命题，A错误； 选项B：当时，，不满足，为假命题，B错误； 选项C：是整数集，自然数集是非负整数集，故为真命题，C正确； 选项D：一元二次方程的，方程无实数根，不存在实数使方程成立，为假命题，D错误. 故选：C. 5. 已知抛物线 的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先设 ，由抛物线的定义可知 ，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以，得到 【详解】设 ,准线为 ， 由抛物线的定义可知点M到准线距离为 ， M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，所以 即，得到 故选：C 6. 若既能被 整除又能被整除，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知能被 整除，可得出，结合二项式定理可知能被 整除，即可得出合适的选项. 【详解】因为既能被 整除又能被整除，故能被 整除， 因为 ， 且能被 整除，故能被 整除， 设，可得，故的最小值为. 故选：D.. 7. 定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】令，根据为偶函数得，进而判断即可得答案. 【详解】由函数为定义在上的函数，故函数的定义域也是， 令， 则，即为偶函数， 所以也是偶函数，即， 所以，即是偶函数， 对于函数无法判断函数的奇偶性. 故选：B 8. 已知为无穷递增数列，为递减数列，则下列选项中正确的是（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，都有 D. ，使得 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得，因此，都有，判断A；由得，，判断BD；由两边同时乘以判断C. 【详解】因为为无穷递增数列，所以①； 由为递减数列，，即②；联立不等式①和②， 可得③，因此，都有，故A错误； 对③两边取相反数得：，，即， 由递推关系得，故B错误； 由， ，两边同时乘以得，，故C正确； 因为，所以，所以，故D错误. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列论述正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C. 记两个变量的样本相关系数为 ，若越接近0，线性相关程度越强 D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中表示概率值0.05所对应的临界值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式、下四分位数的定义，结合相关系数的性质、独立性检验原理逐一判断即可. 【详解】A：因为，所以，因此本选项论述正确； B：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大排列为1，3，4，5，7，9，11 ，16 ， 因为，所以数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为，因此本选项论述正确； C：根据相关系数的性质可知越接近1，线性相关程度越强，所以本选项论述不正确； D：当，有的把握能推断零假设不成立，所以本选项论述不正确， 故选：AB 10. 若存在 ，使得对任意恒成立，则函数 在上有下界，其中 为函数 的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数 在上有上界，其中为函数 的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个下界 B. 函数有下界，无上界 C. 函数有下界，无上界 D. 函数有界 【答案】BD 【解析】 【分析】由基本不等式可判断A；利用导数可确定，即可判断B；根据趋近问题理解即可判断C；利用放缩法即可判断D. 【详解】对于选项A：当 时，， 当且仅当时，等号成立， 可得恒成立，可知是的一个上界，故A错误； 对于选项B： 的定义域为，且， 当时，；当，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，可知有下界， 且当x趋近于 时，趋向于 ，可知无上界， 综上所述：有下界，无上界，故B正确； 对于选项C：当 ，x趋近于0时，趋向于， 可知无下界，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，，即， 所以有界，故D正确． 故选：BD． 11. 已知双曲线，，为C的左、右焦点，点，，过作实轴的垂线l与C从下到上依次交于A，B两点，线段与C的虚轴长相等．则（ ） A. 双曲线C的离心率 B. 以为直径的圆与C的渐近线相切 C. 若点P是C上任意一点，则直线，的斜率之积的范围是 D. 若点P是C上任意一点，l分别与，交于点E，F，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知有，即得，应用离心率求法判断A；根据已知以为直径的圆的圆心为，半径为，且渐近线为，利用点线距离公式确定圆心到渐近线距离与半径大小关系判断B；令且，，应用两点式求斜率，得到，即可判断C；写出直线，并求出的纵坐标，即可判断D. 【详解】由题设，则代入双曲线，有，可得， 所以，可得，故，A对； 以为直径的圆的圆心为，半径为，且渐近线为， 所以到的距离，即 ，B对； 令且，，则，，， 所以，又，，则，显然取不到1，C错； 令 ，则，，又，， 则，，， 所以， 所以，D对. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调减区间是_____． 【答案】 【解析】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 13. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的知识可得，即可计算夹角. 【详解】在上的投影向量为，则， 因，则，则， 因，则， 则平面向量和的夹角为. 故答案为：. 14. 如图，已知正四棱锥中，在平面内，正四棱锥可绕着任意旋转， 平面．若，则正四棱锥在平面内的投影面积的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设正四棱锥的底面所在平面与平面所成角为，分别讨论：，，时，正四棱锥投影面积表达式，利用三角恒等变换和三角函数的性质即可求出范围. 【详解】 如图，正四棱锥，点为地面中心，连接，则平面， 取的中点，连接，易得，则为侧面与底面所成的角， 在中，，， 在中，由可得侧面与底面所成角为. 当正四棱锥绕着旋转时，设底面与平面所成角为， 此时正四棱锥在平面内的投影面积为，分别过点作平面的垂线， 垂足分别为，连接，则. ① 当时，如图1，投影为矩形， 因，则； ② 当时，作于点，连接 ，如图2，投影为矩形和 ， 此时，平面与平面所成角为， 则， ③ 当时，此时底面与侧面在平面的投影在同一侧， 若底面在平面投影面积为，侧面在平面的投影面积为，重叠部分面积为， 由，在平面上投影与距离， 则，， 所以， 则， ， 所以， 综上，正四棱锥在平面的投影面积的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为. （1）若，求角； （2）若的面积为，且 为锐角，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求解即可； （2）先根据三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，， 由，得， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 因为，所以，解得， 因为 为锐角，所以， 所以，所以. 16. 如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. （1）当时，证明： 平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，首先证明线线平行，即证明； （2）首先以的中点为原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法，代入二面角的向量法公式，求边长的关系，再代入异面直线所成的角. 【小问1详解】 在直棱柱中，令 ，则是的中点， 由，，得是的中点，而点为的中点，则， 即，而 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 分别取，的中点，， 则。 又平面 ， 平面 ，由，得 ，则直线 ， ，两两垂直， 以点为原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令，， 则，，，，，，，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则 令 ，得， ， 令，得， 由平面与平面所成角的余弦值为， 得， 解得或， 由是锐角三角形，得，即，则，即， 又，则， 而 ，因此， 异面直线与所成的角为. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件 ， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】 设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； 【小问3详解】 设A，B，C三款模型能成功上线为事件 ， 则，，， 的可能取值为 ， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 18. 若函数在开区间I内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为I内的“ 缘分函数”． （1）判断是否为 内的“缘分函数”，并说明理由； （2）若为内的“缘分函数”，求实数a的取值范围； （3）证明：不是 内的“缘分函数”． 【答案】（1）不是，理由见解析 （2） （3）证明过程见解析 【解析】 【分析】（1）由题意只需判断在 内是否有两个不同的解，结合函数单调即可说明； （2）原条件等价于在内有两个不同的解，分离参数并结合对勾函数的性质即可得解； （3）分析得知只需证明最多有一根，即只需证明的最小值或最大值即可. 【小问1详解】 求导得， 为 内的“缘分函数”当且仅当方程在 内有两个不同的解， 而在 上单调递减，即在 上单调递减， 故方程在 内最多有一个解， 从而不是 内的“缘分函数”； 【小问2详解】 原条件等价于在内有两个不同的解， 即在内有两个不同的解， 设， 由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增， 注意到， 故所求为； 【小问3详解】 由题意只需证明在 内最多有1个根， 令， 即证最多有一根， 求导得， 当时，在 上都单调递增， 设，注意到， 从而当时，存在唯一的，使得，即有成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有最小值， 这表明最多有一根， 综上所述，命题得证. 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆 ：的两个焦点分别为，，为椭圆 上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆 的标准方程； （2）过点的直线与椭圆 交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆 上一点，且，求四边形的面积． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设，则，设为椭圆 的半焦距，则，可求出，求的面积的最大值就是求的最大值，根据的范围可得，由得到，通过解方程组得到的值，从而得到椭圆 的标准方程； （2）（i）设直线的方程，直线和椭圆联立方程组，消去，得到的一元二次方程，设的坐标，由题意可知的一元二次方程的，从而解出的取值范围，利用韦达定理求出和，从而得到同号，求出，由和求出，由的范围求出的范围，换元法设，由点在点，之间得到， 由的范围求出 的范围，即得到的范围，继而得到的范围即为所求；（ii）得到和四边形为平行四边形，求出即得的坐标，将点代入椭圆 的方程求出的值，利用弦长公式求出，设点直线的距离为，利用点到直线的距离公式求出，则代入数集求解即可. 【小问1详解】 设，则，设为椭圆 的半焦距，则， ， 当取最大值时，的面积取得最大值时， ，时，取最大值，此时，或， 的最大面积为，的最大面积为， ，此时，则， ，， 又，联立，解得， 椭圆 的标准方程； 【小问2详解】 （i）如图，直线的方程为 时，不存在，不满足题意， 设直线的方程为， 联立，消去，得到， 整理得， 设 ，，， 过点的直线与椭圆 交于不同的两点，， ，， ，，同号， ， ，同号，， ，， ，，， ， 设， 点在点，之间，则， 转化为， ，，，， ，，，， 的取值范围. （ii）如图，作出符合题意的图形， ，， ，，且四边形为平行四边形， ，， ，为椭圆 上一点，， ，， ， ，， 设点直线的距离为，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $