2026年高考数学考前平稳发挥练手卷01（全国Ⅰ卷）

**基本信息** 高考数学模拟卷，结构规范，覆盖集合、复数等核心知识，通过分层设计与射击训练等实际情境考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、数列、立体几何等|多选题（如向量题）考查思辨，动态立体几何（正方体动点）体现空间观念| |填空题|3题/15分|概率、导数几何意义、数列求和|排列组合概率题需分类讨论，考查抽象能力| |解答题|5题/77分|解三角形、立体几何、函数导数、解析几何、概率统计|概率统计题（射击训练）结合实际情境，考查数据意识与期望计算；函数导数题（单调区间与参数范围）体现逻辑推理|

2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．16 B．18 C．24 D．32 4．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 5．定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 7．已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 8．已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为， C．的对称中心为， D．的对称轴为， 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（   ） A．直线与所成角的余弦值为 B．用平面截该正方体，所得截面面积为 C．若与交于点，则长度的取值范围是 D．若三棱锥与三棱锥体积相等，则动点的轨迹长度为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____． 13．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 14．已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 16．如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 17．已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 18．已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 19．近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击． (1)若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率； (2)求小明第次在场景A下射击的概率； (3)求小明在次射击后总得分的期望． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， ， 则. 2．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点的坐标特征判断其所在象限. 【详解】解：由，所以在复平面内对应的点的坐标为，因此，点在第一象限. 3．记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．16 B．18 C．24 D．32 【答案】C 【分析】根据等比数列通项公式和求和公式求解即可. 【详解】若公比，则，此时，， 显然，因此. 由等比数列前项和公式， 代入得： 则，整理得， 所以. 4．已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则该圆台的侧面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件结合图形求出圆台母线长，再利用圆台侧面积公式计算即可. 【详解】设圆台母线长为，上、下底面半径分别为和，高为，如图所示： 则， 所以圆台的侧面积为. 5．定义在上的奇函数，其导函数为，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数定义，两边取导数可得，据此求解即可. 【详解】因为定义在上的奇函数，所以， 两边取导数可得，即， 所以， 因为时，，所以时，， 所以. 6．已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设原样本为，则去掉数据后的平均值为， 又，所以， 所以去掉数据后的方差为. 7．已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 8．已知两点，若圆上存在点使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，点在以为直径的圆上，根据圆与圆的位置关系可得的范围. 【详解】因为，所以点在以为直径的圆上， 又因为点在圆上，所以， 即， 所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 【答案】AD 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D. 【详解】对A，，则，解得，A正确； 对B，，若，则， 即，故不存在，使，B错误； 对C，当时，，， 在方向上的投影向量为，C错误； 对D，当与夹角为锐角时，且不共线， 即且，解得，D正确． 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的单调递增区间为， C．的对称中心为， D．的对称轴为， 【答案】AC 【分析】由函数的图象与性质，根据选项利用性质逐一判断即可. 【详解】对于A，函数最小正周期为，故A正确； 对于B，函数的单调递增区间满足， 解得，所以的单调递增区间为，故B错误； 对于C，函数的对称中心满足， 解得，此时，所以对称中心为， 故C正确； 对于D，函数的对称轴满足， 解得，故D错误. 11．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（   ） A．直线与所成角的余弦值为 B．用平面截该正方体，所得截面面积为 C．若与交于点，则长度的取值范围是 D．若三棱锥与三棱锥体积相等，则动点的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】对于A：建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法求解即可；对于B：取中点，判断四边形为平面截该正方体所得截面，求等腰梯形的面积即可；对于C：根据两点间距离公式求出最小值，结合勾股定理判断最大值；对于D：取、中点、，证出平面平面，得到动点的轨迹为线段，求出即可. 【详解】以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 对于A：因为为棱的中点，所以，，. 设直线与所成角为， 所以，A错误. 对于B：取中点，连接，，，易知为平行四边形，所以. 又，为中点，所以，即，所以、、、四点共面， 即平面截该正方体所得截面为四边形. 易知，，， 所以四边形为等腰梯形，设高为，则， 所以面积为，B正确. 对于C：正方体中，，所以，所以. 设，则，所以. 设，. 则. 易知当，时，取得最小值，为， 由于故时，故取得最大值，所以， 故长度的取值范围是，C正确. 对于D：取、中点、，连接、、、、， 则，. 正方体中，易知，，，则 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. 同理可得平面， 又，所以平面平面， 即线段上的点到平面的距离等于点到平面的距离， 所以三棱锥与三棱锥体积相等时动点的轨迹为线段， 而，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从，，，中随机取出六个不同的数、、、、、，制作长、宽、高分别为、、和、、的两个盒子，则其中一个盒子能以相邻三个面对应平行方式放入另一个盒子的概率为_____． 【答案】/0.5 【详解】记，，按由小到大排序为，，，按由小到大排序为， 要使一个盒子能以相邻三面对应平行方式放入另一个盒子只需，，或，， ， 它与取到哪6个数无关，不失一般性，不妨以取到的6个数为1，2，3，4，5，6为例， 平均分成两组的分法有：种， 以下枚举与符合条件的情形： 与，与，与，与，与 共5种，所以． 13．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【答案】2 【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得， 则函数，， 令，解得或；令，解得， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取到极大值，即，符合题意， 所以. 14．已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和为，若对于任意正整数恒成立，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】先求的通项公式，再求和的表达式，并确定的最小值 【详解】设的公差为，则， 所以，所以， ， 且当时，， 所以为使若对于任意正整数恒成立，则， 则的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，其中A为钝角，，且满足 (1)求角B； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)结合商数关系化简以及和角公式可得，分和两种情况讨论即可求解； (2)结合(1)可得,分别求出,利用求出，结合正弦定理和面积公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：， 化简可知：， 得， ①时，，又，则，A为锐角，不符合题意； ②，此时可得（B为锐角），此时符合题意． 综上， （2）， 可得，， ， ，， ． 16．如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理和线面垂直的性质，进而证明面面垂直； （2）建立直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用两个法向量夹角的余弦公式计算平面夹角的余弦值 【详解】（1）如图，取的中点，连接． 因为，，，， 所以，，所以四边形是正方形， 所以，．在中，， 则在中，，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，，平面，所以，． 又因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 因为， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 17．已知函数，其中. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【分析】（1）当时，利用导数求单调区间即可； （2）易知时不符合题意，时，利用导数结合隐零点问题求解． 【详解】（1）当时，，． 由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，，不满足题意． 所以，此时 ，显然是上的增函数， 且时，时， 所以存在唯一正实数使得，即 ． 此时在上单调递减，在上单调递增． 由题意 ． 将 代入上式整理得：，解得：． 此时，代入后． 化简得： ，解得：． 令 ，其中．则， 所以是区间上的增函数． 所以 ，代入得到a的取值范围是． 18．已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设出圆心坐标，代入抛物线方程求出圆半径即可. （2）联立圆与抛物线方程，借助不等式的性质求出的范围即可. （3）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义列出目标式的函数关系求出最小值. 【详解】（1）设圆的半径为， 圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，则圆心， 由抛物线经过圆心， 得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）由，得， 即，则， 而，因此， 所以两点到轴的距离均不小于. （3）抛物线的焦点为，设， 由抛物线定义得， 则， 同理， 因此 ， 设直线的方程为， 由，得， ，则，， 因此， 所以当时，取得最小值. 19．近年来，女子10米气步枪作为奥运会首金项目备受关注，国家队在选拔运动员时，通常需要测试她们在不同场景下的命中率．射击爱好者小明到当地射击俱乐部选择场景A与场景B进行相关训练，制定如下规则：若在某场景下命中，则下一轮继续在此场景下进行射击；若没有命中，则更换到另一场景下进行射击．已知小明在场景A下命中率为，在场景B下命中率为，命中记1分，未命中记0分，且第1次在场景A下射击． (1)若小明在前3次射击中得到2分，求这2分均在场景B下获得的概率； (2)求小明第次在场景A下射击的概率； (3)求小明在次射击后总得分的期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)根据条件概率公式求解； (2)由全概率公式求解出与的关系式，再由递推式的关系结合数列知识求出； (3) 利用期望可加性求解. 【详解】（1）设事件“小明在前次射击中得到分”， 事件“这分均在场景B下获得”， 则，．   所以． （2）设第次在场景下射击为事件， 则 ，，，   由全概率公式可得，   即，   则，   且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，   则，所以； （3）设第轮得分期望为，则，   所以前轮期望总得分为． 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $