2026年高考数学考前平稳发挥练手卷04（全国Ⅰ卷）

**基本信息** 2026年高考数学练手卷以AI技术应用、椭圆切线综合问题为情境载体，覆盖集合、导数、统计等核心知识，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、三角函数等|基础概念与逻辑推理结合，如向量模长计算| |填空题|3题15分|二项式定理、三角恒等变换|注重运算能力，如直三棱柱外接球截面问题| |解答题|5题77分|统计概率（AI情境）、椭圆与数列综合|以数学语言表达现实世界，如AI使用情况独立性检验；以数学思维构建逻辑体系，如椭圆切线与重心的数列证明|

2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 5．已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 6．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 7．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D．数列的前项和为 10．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 11．已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．二项式的展开式中，的系数为________. 13．已知，则______． 14．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 16．如图，在三棱台中，为等边三角形，，，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对的真实使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表： 性别 使用情况 男 女 合计 喜爱 60 40 100 不喜爱 40 60 100 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析喜爱的程度是否与性别有关； (2)现使用解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为，每次解答几何问题的正确率为.已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为. （ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率； （ⅱ）记前次（即从第1次到第次）解答中，解答代数问题的次数为，求. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18．已知函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若，不等式有唯一的负整数解，求实数的取值范围． 19．已知椭圆，左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8，为坐标原点.    (1)求椭圆的方程； (2)按如下方式依次生成直线：过作直线交椭圆于，，其中在轴上方，为弦的中点.对任意正整数，过作直线，使.记直线的斜率为，且. （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）已知从椭圆外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为.过，分别作椭圆的切线，两切线交于点，设为的重心，记，求数列的通项公式. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以或， 所以. 2．若，则在复平面内对应的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得， 所以，所以在复平面内对应的点的坐标为. 3．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 4．已知函数的最小正周期是， 则下列区间中，函数f(x)单调递增的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由最小正周期求，根据求，再结合余弦函数的单调递增区间推导的增区间，结合选项得出结果. 【详解】由于函数最小正周期，得， 由，且，得，因此， 令，解得：， 当时，一个递增区间为，而， 所以函数在上单调递增. 5．已知，数列的前项和为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据数列等式进行变形化简确定数列从第二项起为公比为3的等比数列，从而利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】由题意，当时，， 当时，，化简得， 又不满足， 所以数列从第二项起为公比为3的等比数列，所以. 6．已知单位向量，，满足，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得，根据模长结合数量积运算律可得，进而可得，即可得模长. 【详解】由题意可知：， 因为，即， 则， 即，可得， 则，所以. 7．已知圆，直线与圆相交于，两点，当取最小值时，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的直线方程求出定点坐标，再确定定点与圆的位置关系，求出过定点的圆的直径斜率即可得解. 【详解】直线，由，得， 显然无论取什么实数，直线都过点， 将化为标准形式， 因为，所以点在圆内， 而圆的圆心，由圆的性质知，当时，弦AB的长取最小值， 又直线的斜率，所以. 8．已知实数x，y满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先构造函数，判断其奇偶性并利用导数研究其单调性，然后利用反例法判断ABD，利用对数函数的单调性判断C. 【详解】因为，所以， 对于函数，定义域为R，且， 所以函数为偶函数， ，令，则， 所以单调递减，又 所以当时，，故在上递减； 当时，，故在上递增. 由即得，，所以，即， 对于A，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于B，当时，满足，此时，故不成立，错误； 对于C，因为，所以，根据在定义域上单调递增， 所以，正确； 对于D，当时，满足，此时， 故不成立，错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．记为等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C．数列为等比数列 D．数列的前项和为 【答案】BCD 【分析】根据条件求出数列的通项公式，验证即可判断AB，再由等比数列的定义判断C，利用分组求和判断D. 【详解】设等差数列的公差为. 由题意可得，，解得，所以. 对于A； ，故A错误； 对于B；因为 ，所以，故B正确； 对于C；因为，所以.因为 ，所以数列为等比数列，故C正确； 对于D；因为，所以 ，所以数列的前项和为 ，故D正确. 10．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. 11．已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为，，双曲线C上的点B满足且BF与x轴垂直．直线的斜率是直线的斜率的3倍，点，点Q在C的左支上，则（   ） A．双曲线C的方程为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合斜率坐标公式列式求出双曲线方程，再借助双曲线定义逐项求解判断. 【详解】令双曲线的半焦距为，则， 由点B在双曲线C上，且轴，，不妨设，则，， 则，解得，于是，双曲线的方程为， 而点，则，解得，双曲线C的方程为， A正确； 双曲线C的渐近线方程为，B正确； ，设双曲线的左焦点为，由双曲线的定义得， 即，因此， 当且仅当是线段与双曲线的左支交点时取等号，C正确； 设点，，则， ，当且仅当时取等号，D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．二项式的展开式中，的系数为________. 【答案】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】，， 则， 即的系数为. 13．已知，则______． 【答案】 【分析】对函数求导，再将自变量代入导函数整理求值即可. 【详解】对求导， 可得， 所以，解得. 14．如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【答案】/ 【分析】将三棱柱补成正方体，建立空间直角坐标系，可求出外接球的半径为，利用空间向量求出点到直线的距离，进而求解截面面积的最小值. 【详解】根据题意，将该三棱柱补成正方体，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为，即为点， 则，外接球半径为， 点到直线的距离， 该截面面积最小时，点到该截面的距离为， 则截面面积的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 16．如图，在三棱台中，为等边三角形，，，且． (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合棱台的性质及勾股定理逆定理，根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，根据面面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）取的中点为，则，连接，， 三棱台中，，， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，， 由，为的中点，所以， 又，所以，所以，即， 又，，，平面，所以平面； （2）由（1）可知，，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， ， ，，   所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17．随着人工智能技术的迅猛发展，大型语言模型正以前所未有的速度渗透至人们的生活场景.作为其中的代表性模型之一，凭借其强大的推理性能赢得了广泛关注.为全面了解人们对的真实使用情况，某新闻媒体机构随机挑选男、女志愿者各100名进行问卷调查，得到如下列联表： 性别 使用情况 男 女 合计 喜爱 60 40 100 不喜爱 40 60 100 合计 100 100 200 (1)根据小概率值的独立性检验，分析喜爱的程度是否与性别有关； (2)现使用解答代数问题和几何问题，规则如下：每次解答一类问题中的一个不同题目，且相互独立.若答案正确，则继续解答同类中问题；若答案错误，则解答另一类中的问题.每次解答代数问题的正确率为，每次解答几何问题的正确率为.已知第1次解答问题是代数问题和几何问题的概率均为. （ⅰ）求第2次解题时解答代数问题的概率； （ⅱ）记前次（即从第1次到第次）解答中，解答代数问题的次数为，求. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】(1)在小概率值的独立性检验下，没有充分证据推断喜爱DeepSeek的程度与性别有关，即认为二者无关. (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据列联表数据代入卡方公式计算观测值，与临界值比较，得出独立性检验结论. （2）（i）分第一次解答代数题正确、第一次解答几何题错误两类互斥情况，由互斥事件概率加法公式计算第二次解代数题的概率. （ii）构造第次解答代数题的概率序列，推导递推关系，构造等比数列求通项，再利用期望的线性性质求和得到. 【详解】（1）零假设为：喜爱的程度与性别无关. 由列联表得， ∵ ， ∴ 代入数据得. ∵ 小概率值对应的临界值为，， ∴ 没有充分证据拒绝，即在的检验水平下，认为喜爱的程度与性别无关. （2）记“第次解答代数问题”为事件，，. （i）第2次解答代数问题包含两类互斥情况： ① 第1次解答代数问题且答案正确，概率为； ② 第1次解答几何问题且答案错误，概率为. ∵ 两类事件互斥， ∴ . （ii）由题意得，第次解答代数问题的递推关系为： ， 化简得，. 构造等比数列，令，展开得， 对比递推式得，解得. ∴ 数列是首项为，公比为的等比数列. ∴ ，即. 由期望的可加性，前次解答代数问题的总期望等于每次解答代数问题的概率之和，即 . 【点睛】方法点睛：本题为概率与数列结合的典型综合题，通用解题路径为：① 分析事件转移逻辑，建立单次事件发生概率的递推关系；② 构造等比数列求解概率通项；③ 结合期望的累加性质求和得到结果. 18．已知函数． (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)若，不等式有唯一的负整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，，无极大值； (2) 【分析】（1）利用导数即可求解； （2）由不等式有唯一的整数解，得到有唯一解，利用函数的单调性讨论函数与直线有且仅有一个负整数交点即可. 【详解】（1）由， ∴，且时，；时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，无极大值. （2）由，即，令，原不等式等价于只有唯一负整数解，结合与的图象可知， 是过定点的一条直线， 当时，存在无数个负整数解满足该不等式，不满足题意， 当时，需且，得，解得， 即实数的取值范围是. 19．已知椭圆，左、右焦点分别为，，离心率为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8，为坐标原点.    (1)求椭圆的方程； (2)按如下方式依次生成直线：过作直线交椭圆于，，其中在轴上方，为弦的中点.对任意正整数，过作直线，使.记直线的斜率为，且. （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）已知从椭圆外一点向该椭圆引两条切线，切点分别为，，则直线的方程为.过，分别作椭圆的切线，两切线交于点，设为的重心，记，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由焦点三角形的周长、椭圆的定义得，再由离心率、椭圆参数的关系求参数值，即可得； （2）（i）设直线，，弦中点，联立椭圆并应用韦达定理、中点公式得，，进而求，利用垂直关系得，根据等比数列的定义即可证； （ii）由，设并求得为、，进而得、，根据已知及点线距离公式得化简即可得. 【详解】（1）由的周长为，则， 又，故，则椭圆方程为； （2）（i）由（1），设直线，联立椭圆得， 所以，若，弦中点， 所以，， 所以，，则， 因为，所以，而， 所以数列是首项为，公比为的等比数列；    （ii）由（i）， 设为过的椭圆的切线的交点，则切点弦方程为， 直线为，即， 综上，，则，即， 为的重心，则，即， 由两个三角形同底，面积比等于底边上的高之比， 即点到直线的距离之比， 而，， 所以，而，则. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $