2026年高考数学考前平稳发挥练手卷03（全国Ⅰ卷）

**基本信息** 聚焦高考核心素养，以能源安全、智能软件等时代热点为情境，通过梯度化题型设计，融合数学眼光、思维与语言，适配考前模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合运算（1题）、三角函数（3题）、概率（5题）|基础题与提升题结合，如第5题条件概率考查数学思维| |填空题|3题15分|复数模（12题）、抛物线与圆（13题）|第14题折叠问题体现空间观念与创新意识| |解答题|5题77分|三角函数图像（15题）、立体几何（16题）、统计回归（17题）、双曲线（18题）、导数证明（19题）|17题结合发电量数据考查数据观念，19题逻辑推理体现理性精神，贴合高考命题趋势|

2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，所以. 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为带量词的命题的否定只需改变量词，否定结论， 所以命题“”的否定是“”. 3．已知是第一象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是第一象限角，且， 所以，则，, 所以. 4．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据投影向量的定义可列出等式，再求出向量与的夹角即可. 【详解】设向量与的夹角为， 则由题意结合投影向量的定义可知， 解得， 因为向量的夹角，所以. 5．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解甲获胜的总概率及甲3局获胜的概率，再代入条件概率公式计算即可. 【详解】设事件B为“甲获胜”，事件A为“比赛进行了3局”，则所求为条件概率. 甲获胜分为三类情况： 3局全胜：; 4局获胜：前3局甲胜2局，第4局甲胜，; 5局获胜：前4局甲胜2局，第5局甲胜，; 因此. . 6．已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正三棱台上下底面为等边三角形，计算边心距差，结合侧面与底面所成的二面角求出斜高，进而得到三棱台的侧面积. 【详解】 如图，是上、下底面的中心，，为在上的垂足， 棱台的侧面与底面所成的二面角为 分别为边长为2和4的等边三角形， ，，， 所以三棱台的侧面积为. 7．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 设函数，求导可得， 当时，，在上单调递增， 所以，即， 令，代入可得，即， 所以的大小关系为. 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由已知条件和椭圆定义表示出，，，由勾股定理求得与的关系，结合平行四边形的面积为12，求得答案. 【详解】如图，由，得， 由，得三点共线，连接，设， 则，，， 在中，由勾股定理得，即， 在中，由勾股定理得，化简得， 所以，即， 因为以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，所以， ，即，得， 所以，即的方程为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 【答案】AC 【详解】由统计表可知： ，， 则回归直线过样本中心点，代入回归方程得， ，解得，故A正确； 回归方程为，斜率为，则每增加1个月份，月利润平均提高万元， 故B错误； 时，万元，故C正确； 由统计表知，第4个月，预测值， 残差万元，故D错误． 10．已知数列的前项和，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】由，可判定A正确；根据与的关系式，求得，结合等差数列的定义，可判定B正确；由得到，当时，，求得的最小值为，可判定C错误；由选项C的分析，结合等差数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】对于A，因为数列的前项和， 当时，可得，所以A正确； 对于B，当时，， 其中，适合上式，所以数列的通项公式为， 又因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以B正确； 对于C，由，令，即，解得， 所以数列满足：，，当且时，， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，由选项C的分析知：，，当且时，， 可得，所以D正确. 11．已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A：计算可得，即的图象关于点中心对称；对B：求导后计算即可得；对C：分及进行讨论，计算值域即可得；对D：求导后结合极值点定义计算即可得. 【详解】对A：， 故的图象关于点中心对称，故A正确； 对B：， 当时，， 故函数在上单调递增，故B错误； 对C：由， 则当时，，无最大、最小值； 当时，，则，无最大、最小值； 综上可得，对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值，故C正确； 对D：，令，则， 若有两个不同的极值点，则有两个不同根， 当时，，，无实数根，不符； 当时，若，则，不符，则， 令，， 有，则为偶函数， 当时，，则由对勾函数性质可知单调递增， 又单调递增，故单调递减，且， 故，则； 故有两个不同的极值点的充要条件为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 【答案】 【详解】由于，，，，故每四个连续的项之和为， ，则， 由于，，故，所以. 13．已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 【答案】 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 因为圆的圆心在抛物线的准线上，所以设圆的圆心坐标为， 则圆的半径为， 因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离， 即，解得， 所以半径， 因此圆的方程为. 14．如图，将一张A4纸（长宽比为）折出3条与短边平行的折痕，现沿折痕将其围成一个四棱柱（边与边重合）．若任取该四棱柱的两条棱，它们平行的概率为，则当该四棱柱体积最大时，直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】先根据棱柱的定义，分别求出：①底面四边形的两组对边都不平行，②底面四边形恰有一组对边平行，及③底面四边形有两组对边平行的概率，从而确定该四棱柱底面为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，基本不等式，勾股定理，及余弦定理即可求解． 【详解】由棱柱的定义知棱柱的侧棱相互平行，上下底面的对应边分别平行，故只需考虑一个底面边的平行情况． ①若底面四边形的两组对边都不平行，则任取两条棱平行的概率为； ②若底面四边形恰有一组对边平行，则任取两条棱平行的概率为； ③若底面四边形有两组对边平行，则任取两条棱平行的概率为； 综上可知，该四棱柱底面为平行四边形． 因此， 当且仅当，， 即底面四边形为正方形时底面面积最大，此时四棱柱的体积最大． 连接，易得，或其补角为异面直线与所成角， 设，又该A4纸的长宽比为，则， 所以，， 在中，由余弦定理得， 故直线与所成角的余弦值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式； (2)将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域． 【答案】(1) 0 0 2 0 0 (2) 【分析】（1）结合题意建立方程求解出关键数据，最后得到解析式即可； （2）按照题意对函数进行变换并结合对称中心得到，最后利用正弦函数的性质求解值域即可. 【详解】（1）根据表中已知数据，解得， 因为，所以解得，， 数据补全如下表： 0 0 2 0 0 函数表达式为； （2）由（1）知， 将函数的图象向左平移个单位后得到， 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到， 若图象的一个对称中心为， ，解得，， 由可知，当时，， 因此；因为，所以， 故在上的值域为. 16．已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面BCN夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解； （3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1） 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，为的中点， 又N为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2） 由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 因为平面即平面，，， ， 取，则，从而， 设所求线面角为，， ， 所以与平面夹角的正弦值为. （3） 设点到平面的距离为，， ， 已知，则， 所以 . 17．2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 【答案】(1)，可用线性回归模型拟合与的关系 (2)，（万亿千瓦时） 【详解】（1）因为， 所以， 所以 ， 故可用线性回归模型拟合与的关系； （2）， 则， 则经验回归方程为， 令，则， 故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时） 18．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； 【详解】（1）解：因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且， 所以，又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. 19．已知函数，． (1)当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点． (2)当时，设，且数列的前n项和为，求证： （i）； （ii）． 【答案】(1)证明见解析，零点为1． (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，得到函数在上单调递增求解； （2）（i）易证，当时，，从而得到，即求解．（ii）当时，由放缩法得，从而，再结合（i）的结论得到，利用裂项相消法求解. 【详解】（1）因为，， 所以函数的定义域为，． 令，则． 因为，所以恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递增． 又因为， 所以函数存在唯一零点，且零点为1． （2）证明：（i）先证明． 令，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即． 当时，． 因为，所以，所以． 又，所以． （ii）当时，由放缩法得，所以． 由（i）知， 所以当时， ， 即． 又当时，，满足， 所以成立． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 3．已知是第一象限角，且，则（　　） A． B． C． D． 4．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛采用5局3胜制，在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率是（ ） A． B． C． D． 6．已知正三棱台的上､下底面的边长分别为2和4，且棱台的侧面与底面所成的二面角为，则此三棱台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上的两点，满足，（为原点），且以的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为12，则的方程为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（     ） 月份 1 2 3 4 5 利润 6 7 9 A． B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元 C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元 D．上市后的第4个月的利润的残差为万元 10．已知数列的前项和，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．的最小值为 D． 11．已知函数，其中．则下列说法正确的是（   ） A．的图象为中心对称图形 B．时，函数在上单调递减 C．对任意的实数，，既没有最大值，也没有最小值 D．若有两个不同的极值点，则的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 13．已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上，若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的方程为______． 14．如图，将一张A4纸（长宽比为）折出3条与短边平行的折痕，现沿折痕将其围成一个四棱柱（边与边重合）．若任取该四棱柱的两条棱，它们平行的概率为，则当该四棱柱体积最大时，直线与所成角的余弦值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 (1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式； (2)将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域． 16．已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面BCN夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 17．2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图. 年份 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58 (1)由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量. 参考数据：. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数. 18．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交右支于，两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明：存在轴上的一点，使得为定值. 19．已知函数，． (1)当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点． (2)当时，设，且数列的前n项和为，求证： （i）； （ii）． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $