2026年高考数学考前平稳发挥练手卷04（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026年高考数学全国Ⅱ卷练手卷，通过函数与数列综合、统计与概率应用等设计，考查抽象能力、推理能力和数据意识，贴合高考命题趋势，适合考前模拟。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、向量、概率、立体几何|注重基础，如第4题概率考查推理意识| |填空题|3题15分|数列、双曲线、解三角形|第14题解三角形结合最值，体现数学思维| |解答题|5题77分|三角函数、统计、立体几何、椭圆、函数导数|第16题统计与利润分布考查数据意识，第19题函数与数列综合提升推理能力|

2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， 又，，则. 2．已知复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算和复数的模即可求解. 【详解】由复数满足，可得，代入方程，则， 所以，则，因此，故B正确. 3．已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知向量，，则， ，解得． 4．已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式计算判断各个选项. 【详解】因为，，， 所以，则， 所以. 5．已知正四面体的四个顶点均在球的表面上，若球的半径为3，则正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将正四面体补形为正方体，得正四面体的外接球与对应正方体的外接球为同一个球，通过正方体的外接球半径推导正四面体棱长与外接球半径的关系，求出正四面体的棱长；由正四面体的四个面为全等的正三角形，求得正四面体的表面积. 【详解】以正四面体的棱为正方体的面的对角线，将正四面体扩展为正方体，如图所示，则正方体的外接球与正四面体的外接球为同一个球. 设正方体的边长为，则正四面体的棱长为，外接球的半径； 球的半径为3，，得. 正四面体的棱长为. ，即正四面体的表面积为. 6．如图为函数的部分图象，为图象与轴的两个交点坐标，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】由图可得解析式，然后由周期性可得答案. 【点睛】由图可得最小正周期为，则，又，则. 又由图可得，则，取，得， 从而，. 结合最小正周期为4，，则. 7．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 【答案】B 【分析】先确定直线所过的定点，然后根据圆的性质，当直线与圆心和定点的连线垂直时，直线被圆C截得的弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可. 【详解】 由整理为： ， 所以联立方程组得， 解得，即直线恒过定点， 因为，所以圆心，半径， 所以圆心到定点的距离为：， 所以点在圆内，直线与圆始终相交， 当最大时，弦长最小；当直线时，， 所以弦长最小值为：. 8．不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，根据，结合的单调性，可得，进而得在上恒成立，求得的最小值即可. 【详解】由题意可得，. 令，则在上单调递增， 又，， 所以，所以，即在上恒成立. 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查三角恒等变换,结合已知,利用半角公式、二倍角公式、齐次式化简方法逐一验证选项即可. 【详解】选项A：设,则,代入得,整理得,解得,有两个可能取值,故A错误. 选项B：,故B正确. 选项C：,代入得,故C正确. 选项D：,代入得,故D错误. 10．已知数列，的前项和分别为，，且满足，，，则下列结论正确的是（） A． B． C．是等差数列 D． 【答案】BCD 【分析】先利用与的关系式变形推出为等差数列，求出进而得到通项，判定A错C对，再求出与的值验证等式成立确定B正确，最后把从第二项起两两分组求和，每组和为，化简得到对应式子证得D正确。 【详解】由，且. 得，整理得， 所以.又，故， 因此是首项为，公差为的等差数列，选项C正确. 选项A，由等差数列通项公式，，故. 当时，， 验证时，，符合题意，即，选项A错误. 选项B：. 由，. 得，，，，， 所以.故，选项B正确. 选项D：， . 第项一组，第项一组，…，第项一组，共组. 每组和：（）， 因此，选项D正确. 11．已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由为偶函数，得. 对作变量代换，得，因此，. 将代入上式，得， 结合，得， 进而，，即的最小正周期为； 由，可得的最小正周期也为. 对于选项A：由，令，得，故A错误. 对于选项B：由，令，得，故B正确. 对于选项C：由，令，得，故C正确. 对于选项D：由周期为，得，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 【答案】 【详解】因为，，成等差数列，所以， 当时，可得，解得， 当时，可得， 则， 得到，化简得， 设，则，得到， 则，即数列是公比为2的等比数列， 得到，故. 13．在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于，，，四点，若点，，，构成圆O的四等分点，圆的直径长度是双曲线实轴长的3倍，则双曲线的离心率为_________. 【答案】 【分析】先根据四等分圆周的几何条件得到交点坐标，结合“圆直径是双曲线实轴3倍”求出参数，将交点代入双曲线方程得，最后代入双曲线离心率公式计算即可. 【详解】圆的半径为，直径为. 由题意知，圆的直径是双曲线实轴长的倍，双曲线实轴长为， 因此，. 因为四等分圆周，第一象限的交点的夹角为， 坐标为， 将代入双曲线方程得 . 离心率，且，因此， 因此双曲线的离心率. 14．记的内角，，的对边分别为，，，点满足，记，，则_________，对任意给定的实数，的最小值是_________（结果用表示）． 【答案】 【分析】利用正弦定理，结合三角形的内角和公式与两角和与差的三角函数公式，可求的值；先根据的值，结合三角形的内角和公式与两角和的正切公式，用表示出，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】如图： 因为， 由正弦定理，可得， 又，所以， 所以， 整理得：， 因为为三角形内角，所以，所以， 即，又，为的两个内角， 所以. 因为，所以，且为锐角. 设，则，， 因为，所以，所以. 由，所以， 整理得. 所以. 因为为锐角，所以， 所以（当且仅当即时取等号）. 所以（当且仅当时取等号）. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的内角中最大的角的大小； (2)点在边上，且，若，的面积为6，求. 【答案】(1). (2) 【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式变形，结合余弦函数性质可得； （2）结合（1）得，然后设，则，表示出题中各线段长，求得，利用三角形面积公式求得得边长，然后由余弦定理求解． 【详解】（1）,. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或， 所以或， 所以的内角中最大的角的大小为. （2）因为，所以，结合（1）可得. 设，则，，，，，. 的面积为，解得，所以，. 在中，. 16．某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2025年 2026年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%）. 11 13 16 15 20 21 (1)求关于的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%？ (2)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2025年的月产量（单位：万件）的分布列为 1 1.2 0.6 0.4 2026年的该公司产品的市场价格（单位：万元/件）对应的概率分布为.假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望. 参考数据：，，. 参考公式：回归直线方程为，其中：，. 【答案】(1)，2026年7月. (2)分布列见解析，3148万元. 【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线，进而估计对应时间. （2）确定随机变量的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望. 【详解】（1）（1）因， ，   由题意得， 而， 于是得， 所以关于的线性回归方程为， 令，即，解得， 又，所以， 故从2026年7月开始，该种产品的市场占有率超过； （2）（2）设该产品平均每月利润为万元，且，则，，，， 所以Z的可能取值为2800，3300，3400，4000， 故， ， ， ， 所以的分布列为： 2800 3300 3400 4000 0.48 0.12 0.32 0.08 故万元. 17．如图，已知四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据中位线及线面平行的判定定理即可得证； （2）利用线面垂直的判定与性质可证明平面，即可得解； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）如图，连接，交于点，连接， 由题意可知，分别为，的中点，故， 又平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面，所以，． 又，为的中点，所以，且． 又，，，平面， 所以平面．又平面，所以． 又，且，平面，所以平面， 所以点到平面的距离等于线段的长，即点到平面的距离为． （3）以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，    则，，，，， ，，，， 设是平面的一个法向量， 则，． 设是平面的一个法向量， 则，． 设平面与平面的夹角为， 则，， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值 【分析】（1）由题意计算可得，结合椭圆的性质可求离心率； （2）由题意求得椭圆C的方程，设直线MN的方程为：，，，与椭圆方程联立，根据根与系数的关系，求得，，利用，计算求解即可. 【详解】（1）将代入椭圆可得，， 又为正三角形，，即，则可得， 又，． 离心率，，（舍去）. （2）由题意可知：，结合（1）可得，，则椭圆。 由题意可知，符合条件的直线MN的斜率必存在， 设直线MN的方程为：，，， 联立椭圆和直线方程：，消去y可得， 直线和椭圆必有交点，则， ，， ，ND的斜率是互为相反数，． 又，， ， 化简可得， 即 因式分解，则可得或， 当时，所以， 所以直线MN经过点，故不符合题意. 则直线MN的斜率为定值． 19．已知函数. (1)若，求证：； (2)设数列的通项公式，是其前项和，求证：； (3)设等差数列的公差，是其前项和，且，求. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由结合两角和与差的正弦公式可得，进而结合二倍角公式求证即可； （2）将裂项并求和可得，利用正弦函数的性质放缩求证即可； （3）结合三角恒等变换公式及等差数列的前项和可得，，…，，进而得到，令，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）证明：由， 则 ， 即，则， 即，而，则，即，则. （2）证明：由， 则 ， 因为，所以， 而，，则. （3）由为等差数列， 则 ， 同理可得，，…，， 则 ， 令， 则， 而， ， 则，所以在上单调递增，则方程有且仅有一个解， 所以， 则. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，满足，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则实数（     ） A． B． C． D． 4．已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 5．已知正四面体的四个顶点均在球的表面上，若球的半径为3，则正四面体的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图为函数的部分图象，为图象与轴的两个交点坐标，则（    ） A． B． C．0 D． 7．已知圆：，直线：，则直线被圆截得的弦长的最小值为（） A． B． C． D．10 8．不等式恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则（     ） A． B． C． D． 10．已知数列，的前项和分别为，，且满足，，，则下列结论正确的是（） A． B． C．是等差数列 D． 11．已知函数，的定义域为，为偶函数且，，若，则（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前项和为，若，，成等差数列，则______． 13．在平面直角坐标系中，圆与双曲线相交于，，，四点，若点，，，构成圆O的四等分点，圆的直径长度是双曲线实轴长的3倍，则双曲线的离心率为_________. 14．记的内角，，的对边分别为，，，点满足，记，，则_________，对任意给定的实数，的最小值是_________（结果用表示）． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在中，内角，，所对的边分别为，，，. (1)求的内角中最大的角的大小； (2)点在边上，且，若，的面积为6，求. 16．某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果如表所示： 年份 2025年 2026年 月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月 月份代码 1 2 3 4 5 6 市场占有率y（%）. 11 13 16 15 20 21 (1)求关于的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%？ (2)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2025年的月产量（单位：万件）的分布列为 1 1.2 0.6 0.4 2026年的该公司产品的市场价格（单位：万元/件）对应的概率分布为.假设每月固定成本为200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望. 参考数据：，，. 参考公式：回归直线方程为，其中：，. 2800 3300 3400 4000 0.48 0.12 0.32 0.08 17．如图，已知四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，，，是的中点．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面夹角的正弦值． 18．已知椭圆的左、右焦点分别为，．过焦点作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，B两点，为等边三角形． (1)求椭圆C的离心率； (2)若椭圆C的长轴长为6，点，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 19．已知函数. (1)若，求证：； (2)设数列的通项公式，是其前项和，求证：； (3)设等差数列的公差，是其前项和，且，求. 2 / 17 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $