2026年高考数学考前平稳发挥练手卷02（全国Ⅰ卷）

**基本信息** 2026年高考数学练手卷聚焦函数、立体几何、概率统计等核心模块，解答题融合实际调查与逻辑推理，通过分层设问考查数学思维与应用能力，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合、复数、立体几何等|基础与中档题结合，多选考查批判性思维| |填空题|3/15|数列、向量、抛物线|注重数学抽象与几何直观| |解答题|5/77|三角函数与数列、立体几何、概率统计等|概率题以社区疾病调查为情境，导数题论证不等式，体现数学语言表达与逻辑推理|

2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合，， 当时，，满足，因此， 当时，由，得，解得， 所以的取值范围是. 2．若，其中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ，故，， ． 3．已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【分析】ACD可举出反例；B选项，作出辅助线，由线面平行得到线线平行，进而由线面垂直得到面面垂直. 【详解】A选项，如图1，满足，，但不垂直，A错误； B选项，如图2，因为， 所以作平面，使得，且， 则， 因为，则，又，故，B正确； C选项，如图3，满足，，但不平行，C错误； D选项，如图4，满足，，，但不平行，D错误. 故选：B 4．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】时，，，， 又时，取，，此时， 所以，则“”是“”的充分不必要条件. 5．在等比数列中，，是方程的两个根，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．6或12 【答案】D 【分析】由韦达定理、等比数列通项公式的下标和性质求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以， 在等比数列中，有， 所以，所以或， 所以或． 6．已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得； 是函数的一条对称轴， ，解得； ，当时，取得最小值，最小值为. 7．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 【答案】C 【分析】根据二项展开式的形式，结合选项，合理利用赋值法求解，即可得到答案. 【详解】对于A，令，可得，所以A错误； 对于B，令，可得， 因为，所以，所以B错误； 对于C，由，所以除以5所得的余数是，所以C正确； 对于D，由二项式展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 令，可得， 因为，所以，所以D错误. 8．已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：由题有，由双曲线性质有， 所以.所以， 所以.又双曲线方程，则， 所以，则双曲线离心率. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】选项A：由，可得，则 或 ，由于为三角形的内角， 故或， 为直角三角形或钝角三角形，故A正确； 选项B：当时，，对于任意，， 恒成立，为钝角三角形，故B错误； 选项C：由 ，得， 由余弦定理得：， ， ，故C正确； 选项D：由正弦定理，则，即， ， ，故D正确． 10．已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 【答案】ABD 【分析】求出函数的导数后讨论其符号从而可判断ABC的正误，根据可判断D的正误. 【详解】，故A正确； 当或时，；当时，， 故的单调递减区间为，故B正确； 由符号变化可得是的极大值点，故C错误； 又 ， 故的图象的对称中心为，故D正确. 11．在平行六面体中，，，则（   ） A． B．平面 C． D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【分析】取定空间的一个基底，利用空间位置关系的向量证明推理判断AB；利用空间向量数量积运算律计算判断C；求出三棱锥外接球半径求解判断D. 【详解】在平行六面体中，令，则为空间的一个基底， ， 对于A，，不成立，A错误； 对于B，由，得，由菱形， 得，而平面，则平面，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，依题意，三棱锥为正四面体，令正的重心为，则平面， ，，令正四面体外接球半径为， 则，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在数列中，已知，，且数列是等差数列，则________． 【答案】2 【详解】设，数列是等差数列，公差为d，则，， ，得，则，则，． 13．若平面向量满足，则的最大值为________． 【答案】2 【分析】先通过模长相等推导得两向量垂直，再将所求模长平方后结合已知条件转化为关于的表达式，即可求得最大值． 【详解】由，得， 即， 化简得，即， 由，得， 所以，又，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以． 14．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若准线上的点到直线的距离为，则__________． 【答案】8 【分析】先由准线上的点确定抛物线参数，利用点到直线距离求出直线斜率，联立方程结合韦达定理与焦点弦长公式求解弦长. 【详解】由抛物线的准线方程为， 点在准线上，得，解得. 因此，抛物线方程为，焦点. 当直线斜率不存在时， 直线方程为，点到直线的距离为， 与题设距离矛盾，故直线斜率存在. 设直线的方程为，整理为， 由点到直线的距离公式得，化简得，即， 两边平方后整理得，解得. 联立，消去得，， 设，，由韦达定理得， 由抛物线焦点弦长公式得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)化简的解析式，并求的单调递增区间； (2)设数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据两角差的余弦公式以及正弦函数的单调性求解即可. （2）根据三角函数的诱导公式进行分类讨论即可. 【详解】（1）. ，， 解得，. 所以的单调递增区间为：. （2）由题意. 当为奇数时：， . 当为偶数时：， . 前项中：奇数项、偶数项各项. 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，．    (1)求证：平面平面SAD； (2)若异面直线SD与BC所成角为，平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题设条件先证明平面SAD，再由面面垂直的判定定理即可得证； （2）由条件先证明平面ABCD，建系后利用空间向量法结合平面求出，再利用空间向量夹角的公式计算即得. 【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以， 又已知，所以， 又，所以， 因为平面SAD， 所以平面SAD，而平面SAB， 所以平面平面SAD. （2）因为，所以SD与BC所成角的大小等于， 又，所以， 取AD、BC的中点分别为O、N，连SO、ON， 则， 由（1）平面，又 平面ABCD，则得平面平面ABCD， 又平面为平面SAD和平面ABCD的交线， 所以平面ABCD， 故可以为原点，ON、OD、OS分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，    则， 因为可得， 故得，则，又， 设平面的法向量为， 则，故可取， 因为平面，所以，则，解得， 所以M是SD的中点，OM是的中位线，， 由（1）知，平面SDC，所以平面SDC， 故是平面SDC的一个法向量，且， 所以， 所以， 故二面角的正弦值为． 17．为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为 (3) 【分析】（1）用频率估计概率，结合题意运算求解即可； （2）可知随机变量的可能取值为0，1，2，结合独立事件概率公式求分布列和期望； （3）设相应事件，结合全概率公式可得，代入运算求解即可. 【详解】（1）用频率估计概率，从甲社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为. （2）用频率估计概率，从乙社区随机抽取1人，这个人患该疾病的概率为， 可知随机变量的可能取值为0，1，2， 则； ； ； 所以的分布列为 0 1 2 0.855 0.14 0.005 的期望为. （3）设甲社区随机抽取1人，该人患该疾病为事件，则， 设该人接种了预防该疾病的疫苗为事件，则，， 因为， 即，解得， 所以从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率为. 18．已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点和离心率直接可得椭圆方程； （2）根据直线的斜率进行分类讨论，由弦长公式可得，再由直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最小值. 【详解】（1）因为椭圆过点，离心率，且. 所以，，即，得， 代入，得，即，所以. 故椭圆的标准方程为. （2）当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为． 因为，所以直线CD的斜率为． 因为右焦点，所以直线AB的方程为，设，． 由，消去y得． 则， 可得，． 则， 同理可得． 因为，所以 ． 当且仅当，即时，等号成立，四边形ACBD面积有最小值； 当直线AB的斜率不存在时，或者斜率等于零时，AB与CD位置互换， 此时，，，或者，， 所以． 因为，所以四边形ACBD面积的最小值为． 19．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且，证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导，然后求出切点坐标和过切点的线的斜率，代入点斜式方程即可求解； （2）利用二次求导分析原函数的取值范围，对分类讨论，进而求解的取值范围； （3）构造新函数，利用二次求导和均值不等式进行求解. 【详解】（1）当时，， 因为，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）由，则， 令，则， 令，解得， 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以，则在上单调递增， 又，所以在上恒成立. 若，令，得， 当时，单调递减； 当时，单调递增. 又，所以时，单调递减，， 与在上恒成立矛盾. 综上所述，若在上恒成立，则的取值范围是. （3）已知，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增. 又，所以在上恒成立，即在上单调递增， 又，所以时，时，. 若，则，不合题意； 若，则，不合题意，所以. 设， 则. 设， 则. 所以在上单调递减. 又，所以，从而在上单调递增. 因为，所以. 因为，所以， 又，所以，即. 又在上单调递增，所以，即. 所以，即. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若，其中，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知直线、m、n与平面、，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．已知实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在等比数列中，，是方程的两个根，则（   ） A．6 B．9 C．12 D．6或12 6．已知直线是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．除以5所得的余数是1 D． 8．已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知的内角、、的对边分别为、、，则下列说法正确的是（   ） A．若，则不是锐角三角形 B．若，则是锐角三角形 C．若，则 D．若，则 10．已知函数，是其导函数，则（    ） A． B．的单调递减区间为 C．是的极小值点 D．的图象的对称中心为 11．在平行六面体中，，，则（   ） A． B．平面 C． D．三棱锥的外接球表面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在数列中，已知，，且数列是等差数列，则________． 13．若平面向量满足，则的最大值为________． 14．已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，若准线上的点到直线的距离为，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)化简的解析式，并求的单调递增区间； (2)设数列满足，求数列的前项和. 16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，．    (1)求证：平面平面SAD； (2)若异面直线SD与BC所成角为，平面，求二面角的正弦值． 17．为了调查某疾病的预防及患病情况，从甲、乙两个社区各随机抽取500人，甲社区有50人患该疾病，乙社区有25人患该疾病，用频率估计概率. (1)从甲社区随机抽取1人，求这个人患该疾病的概率. (2)从甲、乙两个社区各随机抽取1人，设为患该疾病的人数，求的分布列及数学期望. (3)若接种了预防该疾病的疫苗，则只有的概率患该疾病；若没有接种预防该疾病的疫苗，则有的概率患该疾病.从甲社区随机抽取1人，求这个人接种了预防该疾病的疫苗的概率. 18．已知椭圆过点，离心率，过椭圆E的右焦点F作相互垂直的直线AB，CD与椭圆E分别交于A，B，C，D四点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)求四边形ACBD面积的最小值． 19．已知函数. (1)当时，求函数的图象在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求的取值范围； (3)已知，若，且，证明：. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $