2026年高考数学考前平稳发挥练手卷01（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 本卷模拟高考真题结构，覆盖集合、复数、立体几何等核心知识，通过基础题（如集合运算）、能力题（如函数最值）、创新题（如概率期望）的梯度设计，培养数学抽象、逻辑推理与数据建模素养，适配考前综合训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|集合运算、复数概念、立体几何判定|基础题为主，考查数学抽象与几何直观| |选择题（多选）|3/18|统计回归分析、三角函数图像性质|结合销售额数据回归，体现数据意识| |填空题|3/15|函数切线方程、抛物线焦点弦|注重运算能力，强化数学语言表达| |解答题|5/77|解三角形、导数单调性、立体几何面面垂直、椭圆方程、概率期望|综合性强，如概率题通过卡片抽奖模型培养模型观念，导数题考查逻辑推理|

2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以，所以， 所以. 2．复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】已知复数是纯虚数，则实部，解得； 虚部，解得， 综上，． 3．设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【分析】由线、面之间的位置关系的判定定理和性质逐一判断即可. 【详解】对于A，如果，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，因为，所以存在直线，使得， 又，所以或， 当时，因为，，所以由线面平行性质定理可知， 所以由平行传递性可得； 当时，因为，，所以直线与直线重合，故. 综上，若，，则，故C正确； 对于D，若，，所以或， 当时，存在直线，使得， 又因为，所以，则； 当时，因为，所以. 综上，若，则，故D正确. 4．记公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知有、，结合等差数列的通项公式、前n项和公式依次判断各项的正误. 【详解】若的公差为，且，， 所以，即， 由，则，A错， 由，则，B对， 由，而的符号未知，C错， 由，D错. 5．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据单位向量的概念以及平面向量的数量积运算法则和性质求解即可. 【详解】因为，均为单位向量， ，， 由可知，，展开得，即， 代入得，解得， 因此. 所以. 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定角的范围，求出 值，利用正弦和余弦的差角公式求出 和 ，最后用半角公式即可求解. 【详解】已知 ，因此 ， 所以， 所以， 化简得①； 而， 化简得②； 联立①②，相加得： 相减得： ， 由 ，得 ， 根据半角公式 ，代入 得. 7．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式即可求解. 【详解】已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，所以， 则根据椭圆的定义可知， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，此时点在椭圆的短轴的端点处，符合题意， 因此的最大值是. 8．已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（   ） A．变量与正相关 B． C．样本数据的下四分位数为1.8 D．当时，的预测值为4.1万元 【答案】ABD 【分析】根据回归系数，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心，列出方程，求得的值，可判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确. 【详解】对于A，由回归直线方程，可得， 所以变量与正相关，所以A正确； 对于B，因为回归直线方程经过样本中心， 因为，所以， 又由，解得，所以B正确； 对于C，将样本数据的数据排序为：， 由，则样本数据的下四分位数为第个数据，所以C不正确； 对于D，当时，，所以的预测值为万元，所以D正确. 10．函数的部分图象如图所示.则（    ） A． B．图象关于轴对称 C．在内单调递增 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【分析】根据图象特征及所过点确定函数解析式，结合三角函数的性质判断选项ABC，根据三角函数平移变换判断选项D. 【详解】由图像可知，函数最小值为，且，因此. 由图可得：函数过点和，代入得： ，结合，得； ，结合五点法作图可得，解得， 由，可得，， 所以当时， 故，A正确. 选项B：代入，得， 函数关于中心对称，B错误. 选项C：令， 解得：单调递增区间为. 当时，增区间为，而，区间包含递减部分，因此在该区间不是单调递增，C错误. 选项D：向左平移个单位， 可得，D正确. 11．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若，且，则m的值为________. 【答案】 【分析】把x凑成的形式，再用二项式定理展开，通过对应系数相等建立方程求解 【详解】因为，所以，利用二项式定理展开得， 即， 又因为，对应系数要相等，则 又因为且，即，解得. 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与在第一象限相交于，两点，若，则__________． 【答案】/ 【分析】设，直线方程，联立方程利用韦达定理结合，解得，利用弦长公式得到. 【详解】 设，直线方程， 联立，得， 由韦达定理得（*）， 因为，且， 则，代入（*），解得， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用平方差公式化简已知等式,结合三角形面积公式进行边角替换,再借助余弦定理把边的关系转化为角的正余弦关系式,通过三角恒等变形求出角,接着代入条件求出,结合三角形内角范围舍去不合理解,最终确定角的值. （2）由三角形面积公式结合已求角算出关系式,设正弦定理比值为参数,利用内角和与两角和正弦公式求出,用表示出后代入等式解出,进而求出三边边长,最后相加得到三角形周长. 【详解】（1）由， 又，所以．即， 由余弦定理得，得，即 ． 因为，所以，所以，所以． 所以． 因此或（舍去），所以． （2）因为的面积为，所以． 所以① 由正弦定理设，因为. 所以． 所以，，． 代入①式，解得，所以，，． 所以的周长为． 16．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，函数在单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）令，求导，分，两种情况，根据函数单调性与求解即可. 【详解】（1）．   当时，恒成立，故函数在单调递增；   当时，令得． 故当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，函数在单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增； （2）令，，， ，，． 令，， 而在恒成立，即在单调递增， 故当，即时，，在单调递增， 在恒成立； 当，即时，当时，， 所以，存在，使得时，，时，， 所以在单调递减，在上单调递增， 故由可知，时，与在恒成立矛盾；   综上，实数的取值范围是． 17．如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据题意先证平面，再根据面面垂直的判定即可证明； （2）以点A为原点建立空间直角坐标系，设点，利用向量法求平面角求出，确定点；（ⅰ）根据空间向量法求线面角即可；（ⅱ） 【详解】（1）解：证明：因为平面ABCD，平面ABCD， 因此，又因为正方形ABCD，所以，， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （2）以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ，，，，，. 若存在点P，设点，， 设平面PBD的法向量为，，， 则，令，则， 设平面与平面的夹角为，易得平面的法向量为， 由已知有，即， 整理有，解得，或（舍）； 所以，，， （ⅰ）设直线与平面所成角为， ， 所以，直线与平面PBD所成角的正弦值为； （ⅱ）易知，设点到平面的距离为d，故. 点到平面PBD的距离为. 18．设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为． (1)求椭圆的离心率； (2)设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由直线的方程为得其斜率为，即 ，结合，可得离心率； （2）（i）先求得点的坐标，根据三角形面积求得的值，从而可得椭圆的方程；（ii） 设直线的方程为，联立椭圆的方程，由判别式为零，结合点到直线的距离公式表示出四边形的面积，求解方程可得的值，从而得直线的方程． 【详解】（1）由已知，则．，． （2）（ⅰ）设点，于是， 所以或， 而无解；由得 又因为三角形面积，所以， 于是，椭圆的方程为． （ⅱ）设直线：代入椭圆的方程中，得 由已知，即 同时，，， 易知四边形为梯形，所以， 解得，所以. 所以，直线的方程为． 19．某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. (1)求随机变量的分布列； (2)设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 【答案】(1)分布列见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）先确定的取值，再根据取球规则计算各取值对应的概率，从而得到分布列. （2）第一问，根据的取值及取球规则，用表示各取值的概率，再代入数学期望公式计算.第二问，先通过构造证明是等比数列，然后求出. 【详解】（1）根据题意，的可能取值为. 即二次抽卡均抽到普通卡片，， 即二次抽卡恰好抽到一普通一稀有卡片，， 即二次抽卡均抽到稀有卡片，， 所以的分布列为 4 5 6 （2）（ⅰ）设第次抽卡抽到稀有卡片为事件， 则， . . （ⅱ）由（ⅰ）及，得， ， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数是纯虚数，则实数（    ） A．0 B． C．1 D． 3．设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是（ ） A．如果，那么 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．记公差不为0的等差数列，其前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，均为单位向量，若，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．已知，则（   ） A． B． C． D． 7．已知椭圆的焦点分别为，，点为上任意一点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表： 月份 1 2 3 4 5 销售额万元 1.8 2.2 2.8 3.1 根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为，则（   ） A．变量与正相关 B． C．样本数据的下四分位数为1.8 D．当时，的预测值为4.1万元 10．函数的部分图象如图所示.则（    ） A． B．图象关于轴对称 C．在内单调递增 D．的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11．在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，若，且，则m的值为________. 13．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 14．已知抛物线的焦点为，过点的直线与在第一象限相交于，两点，若，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．的内角A，B，C的对边分别为．已知，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 16．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，，求实数的取值范围． 17．如图，四棱台的上下底面均为正方形，且底面ABCD，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点P，使得平面与平面的夹角的余弦值为. （ⅰ）求直线与平面所成角的正弦值； （ⅱ）求点到平面的距离. 18．设椭圆：（）的左右焦点分别为，，下顶点为，直线的方程为． (1)求椭圆的离心率； (2)设为椭圆上异于其顶点的一点，到直线的距离为，且三角形的面积为． （ⅰ）求椭圆的方程； （ⅱ）若斜率为的直线与椭圆相切，过焦点，分别作，，垂足分别为，，四边形的面积为，求直线的方程． 19．某班级开展一次卡片抽奖活动，在一个不透明的箱子中共有6张卡片，其中有4张普通卡片，2张稀有卡片，学生随机从箱子中取出一张卡片，如果取出普通卡片，则把它放回箱子中；如果取出稀有卡片，则该稀有卡片不再放回，并且另补一张普通卡片放到箱子中.重复上述过程次后，箱子中普通卡片的张数记作，的数学期望记为. (1)求随机变量的分布列； (2)设. （ⅰ）用含的式子表示； （ⅱ）证明：是等比数列，并求. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $