2026年高考数学考前平稳发挥练手卷03（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026年高考数学全国Ⅱ卷考前练手卷，通过集合、复数等基础题与数列、导数等综合题，考查数学抽象、运算推理及空间观念，适配高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、统计、数列、三角函数图像变换、圆锥内切球、双曲线离心率|基础与中档题结合，如第7题圆锥内切球考查空间几何直观| |填空题|3题15分|直三棱柱距离、三角恒等变换、圆的面积问题|注重空间想象与运算能力，如第12题点面距离| |解答题|5题77分|数列证明与求和、斜三棱柱二面角、乒乓球比赛概率（含赛点效应）、抛物线切线证明、导数单调性与极值|综合题突出应用，如概率题结合赛点效应体现数据意识，导数题考查推理能力，贴合高考命题趋势|

2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则. 2．设复数z满足，则复数z的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 所以复数z的虚部是. 3．样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（    ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】先从小到大把一组数据排序，再根据第百分位数的位置计算方法运算即可. 【详解】原数据按从小到大顺序排序为； 由第百分位数的位置计算公式为. 样本容量，得. 根据百分位数定义，当位置不是整数时，向上取整得到的数即为对应百分位数的位置. 因为不是整数，向上取整得，即取排序后第项，排序后第项数据为. 因此该组数据的第百分位数为. 4．已知数列是等差数列，且，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】应用等差数列下标和性质结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】数列是等差数列，且，， 所以， 则. 5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【详解】对函数做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变， 得到新函数的图象， 根据平移变换的“左加右减”规则，将变形为目标函数：， 可知需要将的图象向右平移个单位，即可得到目标函数的图象， B选项正确. 6．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数为偶函数，在上递增求解即可. 【详解】因为，所以为定义在上的偶函数， 因为，当时，即时，解得， 所以在上递增，， 由，，故. 7．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 8．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 10．如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 11．设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 【答案】AC 【分析】求导，可判断A的真假，分析函数在上的单调性，确定函数的零点，再结合函数的奇偶性，可判断C的真假；利用偶函数的定义，求函数在上的解析式，可判断B的真假；利用函数在上的单调性可判断D的真假. 【详解】当时，， 所以. 所以，故A正确； 由可得；由可得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，所以函数在上只有一个零点. 根据是定义在上的偶函数，图象关于轴对称，可作出函数草图如下： 由图可知，函数有和两个零点，故C正确； 设，则， 因为函数为偶函数，所以，故B错误； 当时，，所以， 因为函数在上单调递减，所以，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在直三棱柱中，已知，，则点C到平面的距离为______． 【答案】 【详解】取中点，连接，已知，则是等腰三角形， ， ， ， 设到的距离为h， 由直三棱柱的性质可知平面平面， 即为点C到平面的距离， ，解得． 13．已知，，则______. 【答案】/ 【分析】本题中的角可以看成，而所求角可以看成．令，，则已知条件变为，，所求为．利用两角和与差的余弦公式，并把化为，即可求出结果． 【详解】令，，则，． 因为，所以与均有意义，从而，． 由两角和的余弦公式，得． 又因为，，所以． 因此． 把代入，得． 又因为，所以，解得． 由两角差的余弦公式，得． 同理，，所以． 于是． 14．已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若的面积为2，则________． 【答案】1 【分析】首先写出直线方程，然后利用点到直线的距离公式以及垂径定理即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 过点斜率为的直线方程为：，即. 由点到直线距离公式得：， 由垂径定理，弦长，的面积代入得： ，两边平方整理得：，即， 将​代入得：，因，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）通过对已知递推公式两边取倒数构造出目标等比数列求得其通项，进而解出原数列的通项公式； （2）将通项化简后拆分为两部分，对“等差数列乘以等比数列”结构的部分运用错位相减法，最后将两部分结果相加即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以，则. 因为，所以， 所以数列是首项和公比均为的等比数列. 所以，所以. （2）由（1）得，所以，所以. 所以 . 设， 则， ， ， ， 所以. 16．如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为. (1)求证：； (2)若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由射影得直线垂直于平面，再结合三角形性质和线面垂直判定定理证明. （2）建立空间直角坐标系，求相关向量与法向量，利用向量夹角公式求平面夹角余弦值. 【详解】（1）因为在底面内的射影为， 所以平面， 又平面，则， 在斜三棱柱中， ，， 又因为侧面为矩形， 所以，因此， 因为，，平面， 所以平面，又平面， 所以，结合，得． （2）由（1）知，，两两垂直，以为原点，所在直线为轴，平行于轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 已知，设，则，， 又因为与底面所成角的余弦值为， 所以，， 则，，， ， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 在平面中，，， 设平面的一个法向量为， 则，， 令，解得， 又因为两个平面的夹角范围为， 所以． 17．某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)求甲最终赢得比赛的概率； (2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率； (3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望.并简要分析此“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析，，“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大. 【分析】设表示第局甲赢，表示比赛进行了两局，表示比赛进行了三局，表示最终甲赢得比赛. （1）由题设可得，据此可得答案； （2）由题设及条件概率公式可得答案； （3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为，则可能值为2或3，据此可得对应分布列及期望；若不考虑“赛点”，记比赛总局数为，类似可得对应分布列及期望，比较后可得答案. 【详解】（1）设表示第局甲胜，表示比赛进行了两局，表示比赛进行了三局，表示最终甲赢得比赛.有， 所以； （2），， 所以； （3）若考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则， ， 所以的分布列为 2 3 故， 若不考虑“赛点”，记比赛总局数为， 则，， 所以， 则有， 所以“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大. 18．已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)利用抛物线定义结合距离条件求解参数得到抛物线方程； (2)通过导数推导切线方程，确定切点弦的表达式，联立抛物线得到韦达定理，借助向量点积为零完成垂直证明. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由抛物线定义，点到焦点的距离为. 点到直线的距离为. 由题设距离关系，得， 解得，. 因此，抛物线的方程为. （2）由(1)得抛物线方程为，即，求导得. 设切点，，则抛物线在处的切线方程为，整理得. 结合，切线方程可化为. 切线过点，代入得，即. 同理可得. 因此，直线的方程为. 联立，消去得, 可得，，，， 以线段为直径的圆过点，等价于. ，， 则 ， 因此，，即以线段为直径的圆过点.    19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考考前平稳发挥练手卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．设复数z满足，则复数z的虚部是（   ） A． B． C． D． 3．样本数据4，16，5，27，6，30，11，21的第40百分位数为（    ） A． B．11 C． D． 4．已知数列是等差数列，且，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 6．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 10．如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 11．设是定义在上的偶函数，且当时，函数，则（     ） A． B．当时， C．恰有个零点 D．当时， 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在直三棱柱中，已知，，则点C到平面的距离为______． 13．已知，，则______. 14．已知圆：，过点作斜率为的直线与圆交于，两点，若的面积为2，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知数列的首项，且满足. (1)证明：数列为等比数列，求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为. (1)求证：； (2)若，与底面所成角的余弦值为，求平面与平面的夹角的余弦值. 17．某乒乓球比赛采用“三局两胜制”.现有甲、乙两位选手参加比赛，假设每局比赛结果相互独立.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为. (1)求甲最终赢得比赛的概率； (2)若已知比赛进行了三局才结束，求甲是最终获胜者的概率； (3)比赛中有“赛点”概念：当某位选手再赢一局即可获得整场比赛胜利时，称该选手拥有“赛点”.据统计，当选手拥有“赛点”时，由于其心理压力等因素，其在该局获胜的概率会比其常规单局获胜概率下降10个百分点（例如，若常规胜率为60%，则拥有“赛点”时胜率为50%）.考虑“赛点”效应时，记为比赛的总局数，求的分布列及数学期望.并简要分析此“赛点”效应使得相比于不考虑“赛点”效应时是增大还是减小. 18．已知为抛物线上一点，点到抛物线C焦点的距离是M到直线的距离的两倍． (1)求抛物线C的方程； (2)过点作C的两条切线，切点分别为．求证：以线段为直径的圆过点． 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 2 / 15 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $