内容正文:
2025~2026 学年第二学期狮山镇期中教学质量检测试题
八年级数学
说明:本试卷共 6 页,满分 120 分,考试用时 120 分钟.
注意事项
1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在 "考场号" 和 "座位号" 栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.
2、作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1. 下列博物馆馆徽中,属于中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2. 将不等式的解集表示在数轴上,正确的是( )
A. B.
C. D.
3. 若,则下列不等式中,错误的是( )
A. B. C. D.
4. 下列各式从左到右是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
5. 若一个正多边形的每个内角都是,则这个多边形的边数是( )
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
6. 用反证法证明“在四边形中,至少有一个内角是钝角或直角”,第一步应假设( )
A. 一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B. 一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C. 一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D. 一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角
7. 如图,将(其中)绕点A按顺时针方向旋转到的位置,使得点C、A、在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A. B. C. D.
8. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 两直线平行,内错角相等 B. 若 ,则
C. 如果两个角是直角,那么它们相等 D. 全等三角形的对应角相等
9. 已知,用尺规作图在上确定一点,使,则一定符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
10. 如图,,连接交于F,连接.结论:①;②;③;④ 平分.正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
11. 已知在中,,那么_________.
12. 如图,, 平分,,则点 D 到的距离为______.
13. 如图,正比例函数和一次函数交于点,不等式的解集为______.
14. 如图,两个直角三角形重叠, 沿平移到,,,平移距离 ,阴影面积为______.
15. 四边形中,为等边三角形, 绕C顺时针旋转得,连接,则 ______.
三、解答题(本大题共 8 小题,16-18 题每题 7 分,19-21 题每题 9 分,22 题 13 分,23 题 14 分,共 75 分)
16. 解不等式组:
17. 平面直角坐标系中,,,.
(1) 平移得,C 对应,画出;
(2)画出关于原点 O 中心对称的,写出坐标.
18. 中,D 是中点,,垂足 E、F.判断 形状并证明.
19. 截止2025年4月17日,《哪吒之魔童闹海》以156.99亿票房位列全球影史票房榜第五位,这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板,更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”,哪吒用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变.某影城准备推出玩偶、保温杯等周边产品,采购时得知5个玩偶和4个保温杯的价格一样,购买3个玩偶和5个保温杯共需740元.
(1)求玩偶和保温杯的单价.
(2)该影城需要购买玩偶、保温杯共4000个,且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍.请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个,才能使总费用最低.
20. 一次函数,.
(1)方程的解为负数,求范围;
(2)不等式组 ,解集,求;
(3)(2)条件下,等腰三角形两边为,求面积.
21. 【综合实践活动】
【问题背景】如图,,表示两个村庄,要在,一侧的河岸边建造一个抽水站,使得它到两个村庄的距离和最短,抽水站应该修建在什么位置?
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决,他先将实际问题抽象成如下数学问题:
如图,,是直线同侧的两个点,点在直线上.在何处时,的值最小.
画图:如图,作关于直线的对称点,连结与直线交于点,点的位置即为所求.
证明:和关于直线对称
直线垂直平分
________,
根据“________”(填写序号:①两点之间,线段最短;②垂线段最短;③两点确定一列条直线.)可得最小值为________(填线段名称),此时P点是线段和直线的交点.
【问题拓展】如图4,村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库(河流两侧河岸平行,即),为了方便渡河,需要在河上修建一座桥(桥的长度固定不变,等于河流的宽度且与河岸方向垂直),请问桥修建在何处才能使得到的路线最短?请你画出此时桥的位置(保留画图痕迹,否则不给分).
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示,四边形为花海景区,,米,米,长方形为人工湖景区,为了方便市民观景,公园决定修建一条步行观光路线(折线),为起点,终点在上,米,为湖边观景台,长度固定不变米),且需要修建在湖边所在直线上,步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化,请直接写出步行观光路线的最短长度.
22. 定义:如图①,点M、N把线段分割成和,若以为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段的勾股分割点.
(1)已知点M、N是线段的勾股分割点,若,则 ;
(2)如图②,在等腰直角中,,,点M、N为边上两点,满足,求证:点M、N是线段的勾股分割点.
阳阳同学在解决第(2)小题时遇到了困难,陈老师对阳阳说:要证明勾股分割点,则需设法构造直角三角形.
请你根据阳阳同学的思路将第(2)小题的证明过程补写完整:
证明:把绕点C逆时针旋转,得到 ,连接
(3)在(2)的问题中,若,求的长
23. 平面直角坐标系,A的坐标为,点B在第一象限,为等边三角形.
(1)求 B 纵坐标;
(2)如图2,于C,C关于x轴的对称点为D,交于 E,求的长;
(3)若点P为x轴上的一个动点,连接,以为边做等边,当最短时,求Q纵坐标
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2025~2026 学年第二学期狮山镇期中教学质量检测试题
八年级数学
说明:本试卷共 6 页,满分 120 分,考试用时 120 分钟.
注意事项
1、答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在 "考场号" 和 "座位号" 栏相应位置填涂自己的考场号和座位号.
2、作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1. 下列博物馆馆徽中,属于中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解:A、是中心对称图形,符合题意;
B、不是中心对称图形,不符合题意;
C、不是中心对称图形,不符合题意;
D、不是中心对称图形,不符合题意.
2. 将不等式的解集表示在数轴上,正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解:解不等式得:,
在数轴上表示为
3. 若,则下列不等式中,错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不等式的基本性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.根据不等式的性质进行一一判断即可.
【详解】解:A、在不等式的两边同时乘以3,不等式仍成立,即,故本选项正确,不符合题意;
B、在不等式的两边同时除以,不等号方向改变,即,故本选项正确,不符合题意;
C、在不等式的两边同时先乘以4、再减去3,不等式仍成立,即,故本选项正确,不符合题意;
D、当时,该不等式不成立,故本选项错误,符合题意.
故选:D.
【点睛】主要考查了不等式的基本性质,熟练掌握不等式的基本性质是解答此题的关键.
4. 下列各式从左到右是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式,熟记定义,逐项判断即可得到结果.
【详解】解:∵ 选项A中,等式从左到右是整式乘法,结果是多项式,不是整式积的形式,
∴ A不是因式分解;
∵ 选项B中,等式右边出现,是分式不是整式,不符合因式分解要求,
∴ B不是因式分解;
∵ 选项C中,等式右边是,不是整式积的形式,
∴ C不是因式分解;
∵ 选项D中,左边是多项式,右边,是几个整式的积,符合因式分解的定义,
∴ D是因式分解.
5. 若一个正多边形的每个内角都是,则这个多边形的边数是( )
A. 3 B. 6 C. 8 D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查正多边形的内角问题.熟练掌握正边形的每个内角的度数为,是解题的关键.根据正边形的每个内角的度数为,进行求解即可.
【详解】解:设该正多边形的边数为,
由题意得,
解得,
故选:B.
6. 用反证法证明“在四边形中,至少有一个内角是钝角或直角”,第一步应假设( )
A. 一个四边形中至少有两个内角是钝角或直角
B. 一个四边形中至多有两个内角是钝角或直角
C. 一个四边形中没有一个内角是钝角或直角
D. 一个四边形中至多有一个内角是钝角或直角
【答案】C
【解析】
【分析】根据反证法定义:先假设命题结论不成立,然后经过推理,得出矛盾的结果,最后断言结论一定成立,这样的证明方法叫做反证法,进行判断即可.
【详解】解:由反证法的定义得
先假设结论:“至少有一个内角是钝角或直角”不成立,
则有:一个四边形中没有一个内角是钝角或直角,
故选:C.
【点睛】本题考查了反证法的定义,理解定义是解题的关键.
7. 如图,将(其中)绕点A按顺时针方向旋转到的位置,使得点C、A、在同一条直线上,那么旋转角等于( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查旋转的性质,熟练掌握旋转的性质是解题的关键;由旋转的性质可知是旋转角,进而只有得出的度数即为旋转角的度数.
【详解】解:∵,
∴;
故选C.
8. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 两直线平行,内错角相等 B. 若 ,则
C. 如果两个角是直角,那么它们相等 D. 全等三角形的对应角相等
【答案】A
【解析】
【分析】先写出每个选项中原命题的逆命题,再根据初中代数和几何知识判断真假即可.
【详解】解:∵A原命题的逆命题为:内错角相等,两直线平行,该命题是平行线的判定定理,是真命题,
∴本选项符合题意;
∵B原命题的逆命题为:若,则,例如:,该命题是假命题,
∴本选项不符合题意;
∵C原命题的逆命题为:如果两个角相等,那么它们是直角,例如:两个角相等但不是直角,
∴该命题是假命题,本选项不符合题意;
∵D原命题的逆命题为:对应角相等的两个三角形全等,例如:形状相同大小不同的两个三角形对应角相等,但不全等,
∴该命题是假命题,本选项不符合题意;
故选:A.
9. 已知,用尺规作图在上确定一点,使,则一定符合要求的作图痕迹是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图,垂直平分线判定,准确理解题意是解题的关键.
在上找一点使得,必须使得,所以作线段的垂直平分线.
【详解】解:∵,
∴,
∴点在垂直平分线上,
∴作线段的垂直平分线,
∴选项符合题意,
故选:.
10. 如图,,连接交于F,连接.结论:①;②;③;④ 平分.正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】设交于点O,证明,可以判断①②,由,,可以判断③,过点C作,于点G,H,由,得,根据角平分线的性质可以判断④.
【详解】解:如图,设交于点O,
∵,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,故①正确;
∵,
∴,
∴,
∴,故②正确;
∵,
∴,故③错误;
过点C作,于点G,H,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴平分,故④正确,
综上所述:结论正确的为①②④,共3个.
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 3 分,共 15 分)
11. 已知在中,,那么_________.
【答案】95
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理,三角形三个内角的和为,结合已知两个内角的度数求解第三个内角的度数即可.
【详解】解:∵,
∴
.
12. 如图,, 平分,,则点 D 到的距离为______.
【答案】3
【解析】
【分析】根据角平分线的性质即可得出结果.
【详解】解:∵ 平分,,
∴点到的距离等于点到的距离,,
∵,即,
∴点到的距离即为的长,为;
故点 D 到的距离为.
13. 如图,正比例函数和一次函数交于点,不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用正比例函数解析式确定A点坐标,结合图形即可求解.
【详解】解:正比例函数和一次函数交于点,
,解得.
.
结合图形可知,当时,.
14. 如图,两个直角三角形重叠, 沿平移到,,,平移距离 ,阴影面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】由平移可知,根据全等三角形的性质可得,求出梯形的面积即为阴影的面积.
【详解】解:由平移可知,
,
,
,
,
平移距离为,
,
,
,
,
.
15. 四边形中,为等边三角形, 绕C顺时针旋转得,连接,则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】连接,由旋转可证是等边三角形,进而判定,得到,在中,利用勾股定理即可求解.
【详解】解:如图所示,连接,
由旋转可知,,,
是等边三角形,
,,
是等边三角形,
,,
,即,
,
,
,
,
,
,
,
中,,
.
三、解答题(本大题共 8 小题,16-18 题每题 7 分,19-21 题每题 9 分,22 题 13 分,23 题 14 分,共 75 分)
16. 解不等式组:
【答案】
【解析】
【详解】解:
由①,得;
由②,得;
故不等式组的解集为.
17. 平面直角坐标系中,,,.
(1) 平移得,C 对应,画出;
(2)画出关于原点 O 中心对称的,写出坐标.
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析,
【解析】
【分析】(1)根据平移的性质分别作出A,B,C的对应点,,,然后连线即可;
(2)利用中心对称变换的性质分别作出A,B,C的对应点,,,然后连线即可,并由图得出坐标.
【小问1详解】
解: 平移得,C 对应时, 先向左移3个单位长度,再向下移1个单位长度,此时,,,画图如图,
即为所求.
【小问2详解】
解:作出A,B,C关于原点的对应点,,,连线得即为所求,画图如下
由图可知,坐标是.
18. 中,D 是中点,,垂足 E、F.判断 形状并证明.
【答案】是等腰三角形,见解析
【解析】
【详解】解:是等腰三角形,证明如下:
∵,
∴.
在和中:
∵,
∴,
∴,
∴,
∴是等腰三角形.
19. 截止2025年4月17日,《哪吒之魔童闹海》以156.99亿票房位列全球影史票房榜第五位,这部动画电影不仅刷新了国产电影的天花板,更让世界见证了中国动画的崛起——从“国漫崛起”到“全球爆款”,哪吒用五年时间完成了从现象级IP到文化符号的蜕变.某影城准备推出玩偶、保温杯等周边产品,采购时得知5个玩偶和4个保温杯的价格一样,购买3个玩偶和5个保温杯共需740元.
(1)求玩偶和保温杯的单价.
(2)该影城需要购买玩偶、保温杯共4000个,且购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍.请你帮助影城计算应购买玩偶、保温杯各多少个,才能使总费用最低.
【答案】(1)玩偶每个80元,保温杯每个100元
(2)买玩偶1000个,保温杯3000个费用最低
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用,一次函数的应用,不等式的应用,解题的关键是:
(1)设玩偶每个x元,保温杯每个y元,根据“采购5个玩偶和4个保温杯的价格一样,购买3个玩偶和5个保温杯共需740元”,列方程组求解即可;
(2)设购买玩偶m个,费用为元,则购买保温杯个,根据题意,得,然后根据“购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍”,求出m的取值范围,最后根据一次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
解∶设玩偶每个x元,保温杯每个y元,
根据题意,得,
解得,
∴玩偶每个80元,保温杯每个100元;
【小问2详解】
解:设购买玩偶m个,费用为元,则购买保温杯个,
根据题意,得,
∵购买保温杯的数量不少于玩偶数量的3倍,
∴,
解得,
∵,
∴随m的增大而减小,
∴当时,取最小值,
∴买玩偶1000个,保温杯3000个费用最低.
20. 一次函数,.
(1)方程的解为负数,求范围;
(2)不等式组 ,解集,求;
(3)(2)条件下,等腰三角形两边为,求面积.
【答案】(1)
(2)
(3)面积为或
【解析】
【分析】(1)根据题意得到关于的不等式,解得即可;
(2)根据题意得到关于,的不等式组,根据不等式组的解集求得的值;
(3)根据等腰三角形的定义,分类讨论,进而即可求解.
【小问1详解】
解:关于的方程的解为负数,
∴的解为负数,
解得:
∴
解得:;
【小问2详解】
解:∵关于x的不等式组的解集为,
∴的解集为,
解不等式①得:
解不等式②得:,
∴
∴
解得:;
【小问3详解】
∵,
当腰为时,底边长为,如图所示,作底边上的高,
∴,
∴
∴,
当腰为6,底边长为时,
∴,
∴
∴,
综上所述,该三角形的面积为或.
21. 【综合实践活动】
【问题背景】如图,,表示两个村庄,要在,一侧的河岸边建造一个抽水站,使得它到两个村庄的距离和最短,抽水站应该修建在什么位置?
【数学建模】小坤发现这个问题可以用轴对称知识解决,他先将实际问题抽象成如下数学问题:
如图,,是直线同侧的两个点,点在直线上.在何处时,的值最小.
画图:如图,作关于直线的对称点,连结与直线交于点,点的位置即为所求.
证明:和关于直线对称
直线垂直平分
________,
根据“________”(填写序号:①两点之间,线段最短;②垂线段最短;③两点确定一列条直线.)可得最小值为________(填线段名称),此时P点是线段和直线的交点.
【问题拓展】如图4,村庄的某物流公司在河的对岸有一个仓库(河流两侧河岸平行,即),为了方便渡河,需要在河上修建一座桥(桥的长度固定不变,等于河流的宽度且与河岸方向垂直),请问桥修建在何处才能使得到的路线最短?请你画出此时桥的位置(保留画图痕迹,否则不给分).
【迁移应用】光明区某湿地公园如图5所示,四边形为花海景区,,米,米,长方形为人工湖景区,为了方便市民观景,公园决定修建一条步行观光路线(折线),为起点,终点在上,米,为湖边观景台,长度固定不变米),且需要修建在湖边所在直线上,步行观光路线的长度会随着观景台位置的变化而变化,请直接写出步行观光路线的最短长度.
【答案】【数学建模】, ① ,;【问题拓展】见解析【迁移应用】米
【解析】
【分析】本题考查了轴对称—最短路径问题,要利用“两点之间线段最短”,但许多实际问题没这么简单,需要我们将一些线段进行转化,即用与它相等的线段替代,从而转化成两点之间线段最短的问题.目前,往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化,以后还会学习一些线段转化的方法.
【数学建模】由垂直平分线的性质得,由两点之间线段最短得;
【问题拓展】解过作垂直于河岸,使得,连接交另一河岸于,过 作垂直河岸于,即为所求;
【迁移应用】过作,使得,作关于直线对称点,连接交直线于,此时使得最短,最后由勾股定理求解即可.
【详解】,①,;
解:【问题拓展】桥修建在如图所示的位置才能使得到的路线最短;
解:【迁移应用】如图所示,
过作,使得,作关于直线对称点,延长交于,连接交直线于,此时使得最短,
∵,,
∴四边形是平行四边形,
∴,
∵关于直线对称点,
∴,,,
∴,
在△中,由勾股定理得
,
∴,
故步行观光路线的最短长度为米.
22. 定义:如图①,点M、N把线段分割成和,若以为边的三角形是一个直角三角形,则称点M、N是线段的勾股分割点.
(1)已知点M、N是线段的勾股分割点,若,则 ;
(2)如图②,在等腰直角中,,,点M、N为边上两点,满足,求证:点M、N是线段的勾股分割点.
阳阳同学在解决第(2)小题时遇到了困难,陈老师对阳阳说:要证明勾股分割点,则需设法构造直角三角形.
请你根据阳阳同学的思路将第(2)小题的证明过程补写完整:
证明:把绕点C逆时针旋转,得到 ,连接
(3)在(2)的问题中,若,求的长
【答案】(1)5或13
(2)见解析 (3)
【解析】
【分析】(1)①当为最长线段时,由勾股定理求出;②当为最长线段时,由勾股定理求出即可.
(2)证明,得,再证,即可解决问题;
(3)过N作于H.由直角三角形的性质求得.再由(2)得,求出的长,即可解决问题.
【小问1详解】
解:①当为最长线段时,
∵点 M、N是线段的勾股分割点,
∴;
②当为最长线段时,
∵点M、N是线段的勾股分割点,
∴;
综上所述:的值为5或13;
【小问2详解】
证明:把绕点C逆时针旋转,得到,连接,
∴,
∴,,,
∵,,
∴;
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴点M、N是线段的勾股分割点;
【小问3详解】
解:如图③,过N作于H.
则,
∵,
∴,
设,则,
∴===,
∵,
∴是等腰直角三角形,
∴,
∵,
∴,
解得:,
∴.
由(2)可知,,
∴,
∴.
23. 平面直角坐标系,A的坐标为,点B在第一象限,为等边三角形.
(1)求 B 纵坐标;
(2)如图2,于C,C关于x轴的对称点为D,交于 E,求的长;
(3)若点P为x轴上的一个动点,连接,以为边做等边,当最短时,求Q纵坐标
【答案】(1)4 (2)2
(3)
【解析】
【分析】(1)过点B作于点H,根据等边三角形的性质,可得 ,即可求解;
(2)过点C作轴于点N,连接,交于点M,根据等边三角形和直角三角形的性质,可得,,即可求解;
(3)连接,过点Q作轴于点K,根据,为等边三角形,可得到,从而得到,当轴时,最短,此时最短,即可求解.
【小问1详解】
解:如图,过点B作于点H,
∵点A的坐标为,点B在第一象限,为等边三角形.
∴, ,
∴点B的纵坐标为4;
【小问2详解】
解:如图,过点C作轴于点N,连接,交于点M,
∵为等边三角形,于C,
∴ ,,
∵,
∴,
∴ ,
∴,
∴点C的纵坐标为6,
∵点C关于x轴的对称点为点D,
∴点D的纵坐标为;
∴轴,,
∴轴,
∴,,
∴,
∴为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∵轴,
∴,
∴,
∴,
∴;
【小问3详解】
解:如图,连接,过点Q作轴于点K,
∵为等边三角形,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴当最短时,最短,
当轴时,最短,此时最短,
∵点B的纵坐标为4,
∴,即,
∵ ,
∴,
∴,
∴ ,
即当最短时, Q点的纵坐标为.
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