9.3 公式法同步练习2025-2026学年八年级下册数学苏科版

**基本信息** 聚焦公式法分解因式，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从单一知识点到跨情境应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|提公因式法、平方差公式、完全平方公式|选择题1直接考查平方差公式应用，填空题11结合提公因式与完全平方公式，夯实概念理解| |提升层|因式分解与代数式求值、方程综合|解答题20需整体代入（a+b）²，体现运算能力；填空题15结合方程变形，培养推理意识| |拓展层|跨知识点应用（几何、非负性）|解答题23将因式分解与三角形边长结合，解答题24探究参数存在性，发展应用意识与创新意识|

9.3 公式法 一．选择题（共10小题） 1．分解因式：4a2﹣4＝（　　） A．4（a2﹣1） B．（2a+2）（2a﹣2） C．2（a+1）（a﹣1） D．4（a+1）（a﹣1） 2．已知x﹣3y＝1，（x+2）（2﹣3y）＝4，则x2+9y2的值为（　　） A．6 B．4 C．5 D．3 3．下列用提公因式法分解因式正确的是（　　） A．12abc﹣9a2b2c2＝3abc（4﹣3ab） B．3x2y﹣3xy+6y＝3y（x2﹣x+2y） C．﹣a2+ab＝﹣a（a﹣b） D．x2y+5xy﹣y＝y（x2+5x） 4．已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（　　） A．25 B．20 C．15 D．10 5．把多项式4x2y﹣4xy2﹣x3分解因式的结果是（　　） A．4xy（x﹣y）﹣x3 B．﹣x（x﹣2y）2 C．x（4xy﹣4y2﹣x2） D．﹣x（﹣4xy+4y2+x2） 6．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2 D．﹣x2+9 7．已知a+b＝3，ab＝1，则多项式a2b+ab2﹣a﹣b的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．3 D．6 8．已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（　　） A．﹣1 B．﹣1或﹣11 C．1 D．1或11 9．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（　　） A．a（x﹣2）2 B．a（x+2）2 C．a（x﹣4）2 D．a（x+2）（x﹣2） 10．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　） A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 二．填空题（共8小题） 11．分解因式：xy2+2xy+x＝　 　 ． 12．分解因式：x3﹣4x＝　 　 ． 13．若x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式，则m的值为 　 　 ． 14．已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 　 　 ． 15．若m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为　 　 ． 16．已知（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则x﹣y＝　 　 ． 17．若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于　 　 ． 18．若多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　 　 ． 三．解答题（共6小题） 19．分解因式： （1）3a2﹣6ab+3b2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m）． 20．已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值． 21．已知x2+3x﹣1＝0，求：x3+5x2+5x+18的值． 22．已知代数式M＝x2+2y2+z2﹣2xy﹣8y+2z+17． （1）若代数式M的值为零，求此时x，y，z的值； （2）若x，y，z满足不等式M+x2≤7，其中x，y，z都为非负整数，且x为偶数，直接写出x，y，z的值． 23．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值． 解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0 ∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0，求xy的值； （2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最大边c的值； （3）已知a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0，求a+b+c的值． 24．设y＝kx，是否存在实数k，使得代数式（x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2）能化简为x4？若能，请求出所有满足条件的k的值；若不能，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：原式＝4（a2﹣1）＝4（a+1）（a﹣1）． 故选：D． 2．【解答】解：∵（x+2）（2﹣3y）＝4， ∴2x﹣3xy+4﹣6y＝4， ∴2（x﹣3y）﹣3xy＝0， ∵x﹣3y＝1， ∴xy，（x﹣3y）2＝1， ∴x2+9y2﹣6xy＝1， ∴x2+9y2＝1+65． 故选：C． 3．【解答】解：A、12abc﹣9a2b2c2≠3abc（4﹣3ab），故A错误； B、3x2y﹣3xy+6y≠3y（x2﹣x+2y），故B错误； C、﹣a2+ab，故C正确； D、x2y+5xy﹣y≠y（x2+5x），故D错误． 故选：C． 4．【解答】解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2＝2x+5， ∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5， ＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5 ＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5 ＝x2﹣2x﹣5+25 ＝25． 解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0， ∴x2﹣2x＝5， ∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5 ＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5 ＝6x2﹣12x﹣5 ＝6（x2﹣2x）﹣5 ＝6×5﹣5 ＝25． 故选：A． 5．【解答】解：4x2y﹣4xy2﹣x3 ＝﹣x（x2﹣4xy+4y2） ＝﹣x（x﹣2y）2， 故选：B． 6．【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误； B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误； C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误； D、﹣x2+9＝﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确． 故选：D． 7．【解答】解：a2b+ab2﹣a﹣b ＝（a2b﹣a）+（ab2﹣b） ＝a（ab﹣1）+b（ab﹣1） ＝（ab﹣1）（a+b） 将a+b＝3，ab＝1代入，得 原式＝0． 故选：B． 8．【解答】解：a2﹣ab﹣ac+bc＝11 （a2﹣ab）﹣（ac﹣bc）＝11 a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝11 （a﹣b）（a﹣c）＝11 ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∵a，b，c是正整数， ∴a﹣b＝1或11，a﹣c＝11或1． 故选：D． 9．【解答】解：ax2﹣4ax+4a， ＝a（x2﹣4x+4）， ＝a（x﹣2）2． 故选：A． 10．【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边， ∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．【解答】解：原式＝x（y2+2y+1）＝x（y+1）2． 故答案为：x（y+1）2． 12．【解答】解：x3﹣4x， ＝x（x2﹣4）， ＝x（x+2）（x﹣2）． 故答案为：x（x+2）（x﹣2）． 13．【解答】解：∵x2+2（3﹣m）x+25可以用完全平方式来分解因式， ∴2（3﹣m）＝±10 解得：m＝﹣2或8． 故答案为：﹣2或8． 14．【解答】解：b2+2ab＝c2+2ac， a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac， （a+b）2＝（a+c）2， a+b＝a+c， b＝c， 所以此三角形是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形． 15．【解答】解：∵m2＝n+2，n2＝m+2（m≠n）， ∴m2﹣n2＝n﹣m， ∵m≠n， ∴m+n＝﹣1， ∴原式＝m（n+2）﹣2mn+n（m+2） ＝mn+2m﹣2mn+mn+2n ＝2（m+n） ＝﹣2． 故答案为﹣2． 16．【解答】解：∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1＝（x﹣y﹣1）2＝0， ∴x﹣y﹣1＝0． ∴x﹣y＝1． 故答案为：1． 17．【解答】解：∵a+b﹣2＝0， ∴a+b＝2． ∴a2﹣b2+4b ＝（a+b）（a﹣b）+4b ＝2（a﹣b）+4b ＝2a﹣2b+4b ＝2a+2b ＝2（a+b） ＝2×2 ＝4． 故答案为4． 18．【解答】解：∵多项式x2﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解， ∴m﹣1＝±8， 解得：m＝9或m＝﹣7， 故答案为：9或﹣7 三．解答题（共6小题） 19．【解答】解：（1）3a2﹣6ab+3b2 ＝3（a2﹣2ab+b2） ＝3（a﹣b）2； （2）x2（m﹣2）+y2（2﹣m） ＝（m﹣2）（x2﹣y2） ＝（m﹣2）（x+y）（x﹣y）． 20．【解答】解：a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2， 将a+b＝3，ab＝2代入得，ab（a+b）2＝2×32＝18． 故代数式a3b+2a2b2+ab3的值是18． 21．【解答】解：∵x2+3x﹣1＝0， ∴x2+3x＝1， x3+5x2+5x+18 ＝x（x2+3x）+2x2+5x+18 ＝x+2x2+5x+18 ＝2（x2+3x）+18 ＝2+18 ＝20． 22．【解答】解：（1）∵x2+2y2+z2﹣2xy﹣8y+2z+17＝0， ∴（x﹣y）2+（y﹣4）2+（z+1）2＝0， ∵（x﹣y）2≥0，（y﹣4）2≥0，（z+1）2≥0， ∴（x﹣y）2＝0，（y﹣4）2＝0，（z+1）2＝0， ∴x﹣y＝0，y﹣4＝0，z+1＝0， ∴x＝y＝4，z＝﹣1， （2）由（1）可知：满足不等式M+x2≤7，其中x，y，z都为非负整数，且x为偶数， 所以x＝2， 所以z＝0，y＝3， x＝2，y＝3，z＝0． 23．【解答】解：（1）∵x2﹣2xy+2y2+6y+9＝0， ∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+6y+9）＝0， ∴（x﹣y）2+（y+3）2＝0， ∴x﹣y＝0，y+3＝0， ∴x＝﹣3，y＝﹣3， ∴xy＝（﹣3）×（﹣3）＝9， 即xy的值是9． （2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0， ∴（a2﹣10a+25）+（b2﹣12b+36）＝0， ∴（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0， ∴a﹣5＝0，b﹣6＝0， ∴a＝5，b＝6， ∵6﹣5＜c＜6+5，c≥6， ∴6≤c＜11， ∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10． （3）∵a﹣b＝8，ab+c2﹣16c+80＝0， ∴a（a﹣8）+16+（c﹣8）2＝0， ∴（a﹣4）2+（c﹣8）2＝0， ∴a﹣4＝0，c﹣8＝0， ∴a＝4，c＝8，b＝a﹣8＝4﹣8＝﹣4， ∴a+b+c＝4﹣4+8＝8， 即a+b+c的值是8． 24．【解答】解：能； （x2﹣y2）（4x2﹣y2）+3x2（4x2﹣y2） ＝（4x2﹣y2）（x2﹣y2+3x2） ＝（4x2﹣y2）2， 当y＝kx，原式＝（4x2﹣k2x2）2＝[x2（4﹣k2）]2＝（4﹣k2）2x4， 令（4﹣k2）2＝1，解得k＝±或±， 即当k＝±或±时，原代数式可化简为x4 学科网（北京）股份有限公司 $