9.3.3综合运用提公因式、公式法分解因式 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

9.3.3综合运用提公因式、公式法分解因式 一、单选题 1.把女+2ú-2分解因式，结果正确的是（） A.c-到 B.a-29 c.-a+2la-2 1 D.- a+2 2.若b-a=-1,ab=6,则ab-2a2b2+ab的值为() A.6 B.12 C.18 D.24 3.计算32×2026+42×2026+72×2026的结果为() A.2026 B.20260 C.202600 D.2026000 4.词牌名有固定的格式与声律，决定着词的节奏与音律.李华令3x,x2+1,x-y, 3x+y,y,(x+y)分别对应6个字：乌、月、西、江、夜、啼.现请你将 3xy+6x2y2+3xy3因式分解，结果呈现的词牌名可能为（) A.乌江夜 B.啼西月 C.西江月 D.乌夜啼 5.对于任意整数n,多项式(4n+5)2-9都能() A,被6整除 B.被7整除 C.被8整除 D.被12整除 二、填空题 6.因式分解： ①m3n-mn= ②12x2-27y2=- ③ax2-4ax+4a=. ④-4m3+8m2-4m=-. 7.因式分解：a2(x-y)+9(y-x)= 8.求x2-6xy+10y2-4y+10的最小值 9.若a=2025×2024-1,b=20252-2025×2024+20242,则a b.(请用“>“<”或 “=”表示) 10.阅读下面的材料，然后解决问题： 苏菲热门是19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深.下面是他写的数学著作中的一 第1页 个问题：因式分解x4+4时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即(x2)+2,所 以要使用公式就必须添加一项4x2,同时减去4x2,即：x4+4=x4+4x2+4-4x2= (x2+2)-(2x2=(x2+2x+2(x2-2x+2).人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把 它叫做“热门定理”请你依照苏菲热门的做法，对下列多项式进行因式分解：x4+4y= 三、解答题 11.因式分解： (1)-6a3b+3ab2-12abc; (2)x4-8x2y2+16y4: (3)16x2y+24xy+9y; (4)4x+y)2-16(x-y)2. 12.先因式分解，然后计算求值. 已知a-b=之6=8，求-2a6+ab+d6的值。 13.我们己经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法、运用公式法和十字相乘法， 其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法，等等. ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分 组分解法例如： x2-2xy+y2-4=x2-2y+y2-4=(x-y)2-22=(x-y+2)(x-y-2). ②拆项法，将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫 作拆项法例如： 第1页 x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3 (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）4x2+4x-y2+1; ②（拆项法）x2-6x+8: (2)己知：a,b,C为ABC的三条边，a2+b2+c2-4a-4b-6c+17=0,求ABC的周长. 14.把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方 法叫做配方法.如：①用配方法分解因式：a2+6a+8 解：原式 =a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=(a+3)2-12=[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4)(a+2) ②M=a2-2a-1,利用配方法求M的最小值 解：a2-2a-1=a2-2a+1-2=(a-12-2 :(a-1)2≥0 .当a=1时，M有最小值-2. 请根据上述材料解决下列问题： (1)用配方法分解因式：4x2+4x-3 (2)若M=-x2-2x+1,则M有最值，为。 (3)解决实际问题：在紧靠围墙的空地上，利用围墙及一段长为60米的木栅栏围成一个长方 形花圃，为了设计一个面积尽可能大的花圃，如图设长方形一边长度为x米，完成下列任务： ①列式：用含x的式子表示花圃的面积：平方米； ②请说明当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少平方米？ 围墙（大于60米） 第1页 15.阅读以下材料： 材料1：如图所示，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2. 图1 图2 材料2：分解因式：(a-b)2-2(a-b)+1. 解：将“a-b”看成整体，令a-b=A,则原式=A2-2A+1=(4-1)2,再将a-b=A还原，得 到：原式=(a-b-1)2. 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是 (2)计算：20252-2025×50+252；（结果用科学记数法表示） (3)根据材料2进行因式分解： ①x2+4xy+4y2-4; ②x2-4xy-5y2. 第1页 16.【问题情境】 数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法.用不同方式表示几何图形的面积可以得到一 些等式，将一些多项式因式分解.例如：利用图1可以得到a2+2ab+b2=(a+b)2. b a b 9 图1 【类比探究】 探究一、如图2，借助边长为a的正方形探索平方差公式： (1)从一个边长为的正方形纸片上剪去一个边长为b的正方形，剩下的部分（阴影部分） 的面积为S=a2-b2; (2)若将阴影部分沿虚线剪开，分成①，②两个长方形，则长方形①的面积S,=a(a-b), 长方形②的面积S,=b(a-b); (3)由S=S+S2,可以得到等式a2-b2=aa-b)+b(a-b),将其右边提公因式(a-b), 得用来分解因式的平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b). b b ①⊙ ② ② 图2 探究二：如图3，类比探究一，借助一个棱长为的大正方体完成以下探究： (1)在棱长为的大正方体一角截去一个棱长为b的小正方体，剩下的几何体的体积V= 第1页 (2)将剩下的几何体分割成①，②，③三个长方体，则长方体①的体积"=a2(a-b);长 方体②的体积V,= ； 长方体③的体积'，= (3)由V=V+',+'可以得到将一个多项式进行因式分解的等式为 ③ ① b ② ② ③ 图3 【拓展应用】 利用上面的结论，解决问题： 已知a-b=6,ab=2,求a2+b2,a3-b3的值. 第1页 参考答案 1.B 【详解】解：：-4+2a-2 =c-4a+4到 =a-29. :结果为a-2. 2.A 【详解】：ab-2a2b2+ab =aba2-2ab+b2） ab(a-b)2 又b-a=-1 .a-b=1 且ab=6 .原式=6×12=6， 故选：A 3.C 【详解】解：原式=32×2026+42×2026+72×2026 =2026×(32+42+72） =2026×3+72 =2026×100 =202600 故选：C. 4.D 【详解】解：：3xy+6x2y2+3xy3=3xyx2+2xy+y2）=3xy(x+y)2, 3x对应“乌”，y对应“夜”，（x+y)对应“啼”， 结果呈现的词牌名为“乌夜啼”， 故选：D 答案第1页，共2页 5.c 【详解】解：(4n+5)2-9 =(4n+5)2-32 =4n+5+34n+5-3) =4n+8)(4n+2 =8n+2)(2n+1, n是任意整数， .8n+2)(2n+1都能被8整除， 多项式(4n+5)2-9都能被8整除. 故选：C. 6. mnm+1(m-1) 32x+3y)(2x-3y) a(x-2)2 -4m(m-1)2 【详解】解：①mn-mn=mnm2-1=mn(m+1(m-1; ②12x2-27y2=34x2-9y2）=3(2x-3y(2x+3y): ③ax2-4ax+4a=ax2-4x+4=a(x-2}2; ④-4m3+8m2-4m=-4mm2-2m+1=-4mm-12. 7.(x-y)(a+3(a-3 【详解】解：原式=a(x-y)-9x-y) =(x-y川a2-9列 =(x-y)(a+3)(a-3). 8.6 【详解】解：x2-6xy+10y2-4y+10 =x2-6xy+9y2+y2-4y+4+6 =(x-3y)2+(y-2)2+6, 答案第1页，共2页 (x-3y)2≥0，(y-2)2≥0， (x-3y)2+(y-2)2+6≥6，即x2-6xy+10y2-4y+10的最小值为6， 故答案为：6. 9.< 【详解】设m=2025,n=2024,则a=m×n-1,b=m2-m×n+n2. a-b=(m×n-1)-m2-m×n+n2） =m×n-1-m2+m×n-n2 =-m2+2mn-n2-1 =-m2-2mn+n2）-1 =-(m-n)2-1, 将m=2025,n=2024代入，得a-b=-(m-n2-1=-1-1=-2<0, :a<b. 故答案为：< 10.(（x2+2xy+2y2）x2-2xy+2y2） 【详解】解：x4+4y, =x4+4x2y2+4y4-4x2y2, =(x2+2y2）-(2xy2, =(x2+2xy+2y2）(x2-2xy+2y2）. 故答案为：(x2+2xy+2y2)x2-2xy+2y2）. 11.1)-3ab(2a2-b+4c (2x+2y)2(x-2y 3)y(4x+3)2(4)4(3x-y(3y-x 【详解】(1)解：-6a3b+3ab2-12abc =-3ab2a2-b+4c; (2)解：x4-8x2y2+16y4 =(x2-2x2×4y2+(4y2月 答案第1页，共2页 =(x2-4y2）月 =[(x-2y)(x+2y] =(x+2y)2(x-2y2: (3)解：16x2y+24xy+9y =y16x2+24x+9 =y4x+3)2: (4)解：4x+y2-16(x-y) =4x+y2-4(x-y] =4(x+y+2x-2y)(x+y-2x+2y) =43x-y)(3y-x. 12.2 【详解】解：-2a2b2+ab3+ab=ab(a2+b2-2ab)=ab(a-b)}2. 将a-b号o6=8代入， 原式=ab(a-b)2=8× =8x好2. 13.(1)①(2x+y+1(2x-y+1);②(x-4)(x-2)(2)ABC的周长为7 【详解】(1)①4x2+4x-y2+1 =(4x2+4x+1-y2 =(2x+1)2-y2 =(2x+y+1)(2x-y+1 ②x2-6x+8 =x2-6x+9-1 =(x-3)2-1 =x-3-1(x-3+1 答案第1页，共2页