专题03 空间向量及其应用6考点5题型4易错（期末复习知识清单）高二数学下学期沪教版

专题03 空间向量及其应用 1．空间向量的概念与运算 （1）空间向量的定义和相关概念（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等）与平面向量情形相同。 （2）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用．特别地，平面向量运算（加法、减法、与实数的乘法、数量积）的定义与性质直接适用于空间向量。 2．向量共面的充要条件与空间向量基本定理 （1）向量共面的充要条件：如果 与 是两个不平行的向量，那么空间中的向量 与 、 共面的充要条件是：存在唯一的一对实数 与 ，使得 ． （2）空间向量基本定理：如果 与 是不共面的向量，那么对于空间中任一向量 ，存在唯一的一组实数 与 ，使得 ． 3．空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量 的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标 表示为 ，这个表示的意义是： 是坐标轴正方向上的单位向量 与 的线性组合 ． （2）给定空间两点 与 ，则 。 4．坐标表示下的空间向量运算 设向量 ，则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．空间向量的夹角、平行与垂直 设向量 均为非零向量，则 （1） ； （2） ； （3） ． 6．空间向量在立体几何中的应用 空间中的直线和平面可以分别通过方向向量和法向量与空间向量联系起来，从而把立体几何的许多问题化为向量的问题加以解决． （1）空间直线与平面之间的平行与垂直 ①两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直． ②直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量． ③两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量；两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行． （2）求距离 ①平面外一点 到平面的距离 由公式 给出，其中 是平面的一个法向量， 是平面上任意一点． ②平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理． （3）求角的大小 ①具有方向向量 与 的两条直线的所成角 的大小由如下公式确定： ②具有方向向量 的直线与具有法向量 的平面的所成角 的大小由如下公式确定： ③具有法向量 与 的两个平面所成的锐二面角（或直二面角） 的大小由如下公式确定： 一、求空间向量的数量积 【例1】（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间向量的数乘运算、空间向量的加减运算 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________.    【答案】 【知识点】求空间向量的数量积、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”，故只需求出，再结合数量积的运算律. 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】求空间向量的数量积 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 二、空间向量数量积的应用 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】结合异面直线所成角的范围，由空间向量来求异面直线所成角即可． 【详解】依题意，得， 则， 故选：D 【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为______． 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】根据题意不妨设，结合数量积求的模长即可. 【详解】由题意可知：，且， 不妨设，则， 可得， 即，所以此三个力的合力的大小为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海·阶段检测）已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为________． 【答案】 【知识点】空间向量数量积的应用、求空间向量的数量积 【分析】根据得到，根据求出，从而得到 【详解】因为，所以， 故， ， 故， . 故答案为： 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的运算，向量中的不等关系把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 三、用空间基底表示向量 【例3】（24-25高二下·上海闵行·期末）正方体中，________．（用、、表示） 【答案】 【知识点】用空间基底表示向量 【分析】根据空间向量的运算转化求解即可. 【详解】在正方体中， . 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 【答案】 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 【变式2】（22-23高二下·上海宝山·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于______.    【答案】 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的数乘运算、空间向量加减运算的几何表示 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为三棱柱中，、分别是、的中点， 且，，， 所以， 故答案为：. 【变式3】（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为______． 【答案】 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量的加减运算 【分析】根据N是面的中心得出，再结合向量的减法计算求解. 【详解】 因为N是面的中心，所以延长交于，是中点，且， . 故答案为：. 四、空间向量平行的坐标表示 【例4】（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为_____________. 【答案】4 【知识点】空间向量平行的坐标表示 【分析】根据向量平行得到关于m的等式，解出m即可. 【详解】因为与平行， 所以存在实数使即， 所以解得 故答案为：4. 【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则________． 【答案】 【知识点】空间向量平行的坐标表示、由空间向量共线求参数或值 【分析】依题意可得，即可得到方程组，求出、的值，即可得解. 【详解】因为，且， 所以，即，所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式2】（20-21高二下·上海普陀·期末）设，，若，则___________． 【答案】9 【知识点】空间向量平行的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】根据题意，由共线向量定理即可得到的坐标，再由空间向量的坐标运算即可求得模长. 【详解】由，得， 解得 ，，， ． 故答案为：9 【变式3】（21-22高二下·上海松江·期末）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为________. 【答案】-1 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据直线⊥平面，得到与平行，列出方程组，求出的值. 【详解】因为直线⊥平面，则与平行， 故，即，解得：， 故实数的值为-1. 故答案为：-1 五、线面角的向量求法 【例5】（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，设，，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立平面直角坐标系，则，，，， 设，，则， 若，则，解得， 所以存在点满足，故①正确； 因为，，设平面的法向量为， 则，取， 设与平面所成角为，， 则， 令，，则，所以， 令，，则，所以， 所以存在点满足与平面所成角的大小为，故②正确； 因为，， 所以，所以， 所以存在点满足，故③正确. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是建立空间直角坐标系，将几何关系转化为代数计算. 【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 【答案】0/ 【知识点】线面角的向量求法 【分析】根据题意可得，可知∥平面或平面，即可得结果. 【详解】由题意可得：，即， 可知∥平面或平面， 所以直线与平面所成的角为0. 故答案为：0. 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)时，与平面所成的角取得最大值. 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面角的向量求法、线面角的向量求法、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】（1）计算出，得到与共面； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，从而利用夹角余弦公式得到平面与平面所成的锐二面角的大小； （3）在（2）基础上，根据点到平面的距离得到方程，求出，设与平面所成角为，计算出，此时，结合正弦函数单调性得到结论. 【详解】（1）因为且， ， 所以， 因此与共面； （2）以点为坐标原点，所成直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量是 则， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的大小为； （3），， 从而点到平面的距离为， 由可化简得，， 设与平面所成角为， 则， 令，则 ，（当时取等号）， 所以， 因为时，严格增， 所以当时，与平面所成的角取得最大值， 此时，即时， 与平面所成的角取得最大值. 【变式3】（24-25高二下·上海·期末）如图，在长方体中，，，E、F分别是AB、BC的中点．    (1)证明、、、四点共面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）以D为原点建立空间直角坐标系后，借助空间向量可得，即可得证； （2）求出直线的方向向量与平面的法向量后借助空间向量夹角公式计算即可得. 【详解】（1）如图，以D为原点建立空间直角坐标系，    可得有关点的坐标为、、、、、， 因为，，所以， 因此直线与EF共面，即、、、四点共面； （2）设平面的法向量为，则，， 又，， 故，解得， 取，得平面的一个法向量， 又，故， 故直线与平面所成的角的正弦值为， 因此直线与平面所成的角的大小为． 【变式4】（23-24高二下·上海·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点． (1)证明：平面． (2)求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）首先以点为原点，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，根据法向量与向量垂直，即可判断线面平行； （2）首先求平面的法向量，再代入线面角的向量公式，即可求解. 【详解】（1）证明：直三棱柱中，， 以为顶点建立空间坐标系如图， ，， 点，分别为与的中点， 取中点， ，，， 在△中，， 平面，且，平面， 平面，，且，平面， 平面， 为平面的一个法向量， 而，， ， ， 又平面， 平面； （2）易知，， ，， 设是平面的一个法向量， 则， ， 取，则，， 即， 设与平面所成角为， 则 故与平面所成角的正弦值为． 一、空间向量的坐标运算 【例1】（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标 【分析】根据题意，得到，求得，结合空间向量的数量积的坐标运算公式，即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，可得点关于平面xOz的对称点为， 则，所以. 故答案为：. 【变式1】（21-22高二下·上海松江·期末）已知向量，且，则_________. 【答案】1 【知识点】空间向量的坐标运算 【分析】根据空间向量数量积坐标公式列出方程，求出答案. 【详解】由题意得：，故. 故答案为：1 【变式2】（22-23高二下·上海宝山·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 【答案】4 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算 【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解． 【详解】是空间相互垂直的单位向量， 设，，设， 又，， 又， ， ，其中， ， ， 当且仅当时取得等号， 的最小值是4． 故答案为：4． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【答案】(1) (2)四点不共面，理由见解析 【知识点】空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用、空间共面向量定理的推论及应用 【分析】（1）由关系式求解即可； （2）判断是否存在唯一实数，使成立即可； 【详解】（1）因为，， 所以， 所以在上的投影向量为. （2）四点不共面，理由如下： 因为，，， 设，即，该方程组无解， 所以四点不共面. 【变式4】（24-25高二下·上海宝山·期末）如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. (1)求向量在基下的坐标； (2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 【答案】(1) (2)①或；② 【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量的坐标运算、用空间基底表示向量 【分析】（1）向量在基下的坐标为，再根据向量的线性运算可求； （2）①根据向量的线性运算，先求在基下的坐标，设，再利用向量模长的坐标表示求得，即可得到向量在基下的坐标；②由题知旋转体是两个同底的圆锥，然后根据圆锥体积计算公式求解即可. 【详解】（1）设向量在基下的坐标为， 则 因为 可得方程组，解得 所以向量在基下的坐标为. （2）①向量在基下的坐标为， 即 则. 因为向量与共线，可设， 解得， 所以在基下的坐标为或. ②， 因为与的夹角为锐角，从而，所以， 在上的投影大小为 以、为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体是两个同底的圆锥， 该圆锥的半径， 两个圆锥高值和为， 所以旋转体的体积为 二、点到平面距离的向量求法 【例2】（21-22高二下·上海奉贤·期末）经过原点的平面的一个法向量为，点坐标为，则点到平面的距离为______. 【答案】/ 【知识点】点到平面距离的向量求法 【分析】使用空间向量法求点到平面的距离,点到平面的距离可视为在上的投影大小. 【详解】设坐标原点为,则,点到平面的距离可视为在上的投影大小, 故. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，三棱柱中，，，垂直于平面． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值，即可得解； （2）求出平面的法向量，由距离公式计算可得. 【详解】（1）因为，垂直于平面，如建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为，则， 又，所以，即异面直线与所成角为； （2）因为，，， 设平面的法向量为，则，取， 则点到平面的距离. 【变式2】（22-23高二下·上海杨浦·期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）.    (1)当点是棱的中点时，求证：直线平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】点到平面距离的向量求法、证明线面垂直、台体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】（1）由线面垂直的判定定理，通过证，，即可证得直线平面，其中法一用勾股定理证，；法二用向量法证，； （2）用点到面的距离的向量求法即可得答案； （3）法一由，列方程求解可得的长度； 法二由，列方程求解可得的长度. 【详解】（1）证法一：因为是棱的中点， 所以， ，， 由勾股定理，得，同理可得，， 又，、平面， 所以直线平面； 法二：如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向， 建立空间直角坐标系.得，    ， 由，，得，， 又，、平面， 所以直线平面. （2）如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系. 得，， 设点，则， 由，即，得， 得，设平面的法向量为， 由，得，， 可取，得， 从而得到平面的一个法向量是，因为， 所以点到平面的距离为.    （3）作平行于，交于点，连接，得截面， 连接，设线段的长为 由得，， 可得， 又由，可得， 由题意，整理的，解得， 所以线段的长度为. 另解：连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接， 得截面，因为平面平行于三棱锥的底面， 得棱台， 设线段的长度为，线段长度为.则，得，    ， ， 由题意，， 所以，整理得， 由函数和图像可知，点是两个函数图像的一个交点， 即是方程的一个解， 因式分解，可得，得或或， 由，得，即. 【变式3】（24-25高二下·上海·期末）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】点到平面距离的向量求法、面面平行证明线线平行、求异面直线所成的角 【分析】（1）应用线线平行得出异面直线所成角，再应用正切计算求角； （2）建立空间直角坐标系得出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算求解. 【详解】（1）由题意，， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 所以异面直线与所成角的大小与相等． ，即． （2）建立D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴的坐标系得， ，，，所以，， 设平面的法向量为，则，令，即． 由点到平面的距离公式．  所以到平面的距离． 【变式4】（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】点到平面距离的向量求法、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 三、异面直线夹角的向量求法 【例3】（22-23高二下·上海杨浦·期末）如图，正三棱柱的各条棱长都相等，线段、和是该正三棱柱的三条面对角线，直线与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是____________（写出所有可能的值）.    【答案】或 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，由求线线角的向量方法即可求解. 【详解】以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    设正三棱柱的各条棱长都为2，则 ， ， 设直线的方向向量为，直线与直线、和所成的角为， 则有， ， ， 所以，① ，② 由②可得或， 即或， （1）当时，由①可得， 则或，即或， 若，令得， 此时， 因为，所以； 若，令得， 此时， 因为，所以； （2）当时，由①可得， 令得或， 所以， 因为，所以. 综上所述或. 故答案为：或 【变式1】（24-25高二下·上海闵行·期末）设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，根据异面直线夹角的向量求法即可求解； （2）求出平面的一个法向量，利用点到面的距离向量求法即可求解. 【详解】（1） 在正方体中，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示， 则由题可得：，，，， ∴，， ∴， ∴异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知.设平面的一个法向量为， 则，即. 令，则，∴平面的一个法向量为. ∵，∴点到面的距离为. 【变式2】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直四棱柱，各棱长均为2，且.设分别是的中点.    (1)求直线与所成的角的大小； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、线面角的向量求法 【分析】（1）建系标点，利用空间向量求异面直线的夹角； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】（1）由题意可知：为等边三角形，且分别是的中点， 则，且∥，可得， 又因为平面， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系，    则， 可得， 设直线与所成的角为， 则， 所以直线与所成的角的大小. （2）由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成的角为. 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)若为的中点，求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【知识点】面面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用公式，即可求解； （2）首先分别求平面和平面的法向量，再利用二面角的向量法，即可求解. 【详解】（1） 以点为原点，以向量分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设， ，，，， ，， 设异面直线与所成的角为， 则,所以, 异面直线与所成的角为； （2），，，， ，，， 设平面的法向量为， ，令，则，， 所以平面的法向量为， 平面的法向量为， 设平面二面角的平面角为，由图可知为锐角， 则，， ， 二面角的正切值是． 【变式4】（22-23高二下·上海宝山·期末）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：    (1)与所成角的大小； (2)二面角的大小； (3)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)点是线段靠近点的三等分点，理由见解析. 【知识点】面面角的向量求法、已知线面角求其他量、异面直线夹角的向量求法 【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出异面直线的夹角、二面角大小作答. （3）利用（1）中坐标系，设出点M的坐标，利用线面角的正弦值求解作答. 【详解】（1）在正方体中，令， 以点D为原点，以的方向分别为,,轴正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则,， 设与所成角为，， 所以与所成角的大小是.    （2）平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，， 则，令，得， 设的夹角为，，而二面角为锐二面角， 所以二面角大小为. （3）设，则，平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，即， 所以当，即点是线段靠近点的三等分点时,与平面所成角的正弦值为 四、面面角的向量求法 【例4】（22-23高二下·上海青浦·期末）在长方体中，，点为棱的中点，则二面角的大小为__________．（结果用反三角函数值表示） 【答案】 【知识点】面面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量和平面DEC的一个法向量，由. 【详解】解：建立如图所示空间直角坐标系：      由，得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 易知平面DEC的一个法向量为， 则， 易知二面角为锐角， 所以二面角的大小为， 故答案为： 【变式1】（21-22高二下·上海浦东新·期末）正方体的棱长为1. (1)为中点，求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【答案】(1) (2) 【知识点】面面角的向量求法、异面直线夹角的向量求法、反三角函数 【分析】（1）建立空间直角坐标系，用夹角公式求解； （2）求出两个平面的法向量，分析二面角的大小是钝角还是锐角，再用夹角公式求解. 【详解】（1） 建系，， 所以，设异面直线与所成的角为，则，所以异面直线与所成的角的大小为； （2）， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以，又二面角为锐角， 所以二面角的余弦值为，故其大小为. 【变式2】（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)； (2) 【知识点】面面角的向量求法、求点面距离 【分析】（1）取的中点，连接，作，垂足为.证明平面，即点到平面的距离为的长度．求出即可. （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求出关键点和法向量坐标，用向量法可解. 【详解】（1）取的中点，连接，作，垂足为 因为为的中点，所以. 又，所以平面. 因为平面，所以．又， 所以平面，即点到平面的距离为的长度. 易知平面，所以． 因为是边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以． （2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 所以， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为， 可得，令，则， 所以平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 则二面角的正弦值为. 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）如图，在中，平面平面四边形是边长为2的正方形． (1)证明； (2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明线面垂直 【分析】（1）先证明平面，从而得到，进而即可证明平面； （2）取的中点，连结，先证明平面，再取的中点，以为基底，建立空间直角坐标系，再根据向量夹角公式即可求解． 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，， 所以平面． （2）由（1）可得为直线与平面所成的角，即， 所以，所以，取的中点，连结， 所以， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 取的中点，则， 以为基底，建立空间直角坐标系， 所以，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则， 取平面的法向量， 设二面角的大小为， 则， 因为二面角为锐角，所以， 即二面角的余弦值为． 【变式4】（24-25高二下·上海虹口·期末）如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、证明面面平行、证明线面平行 【分析】（1）设中点为，连接，，通过证明平面平面可得证面； （2）设中点为，中点为，以为原点，分别以、、为轴、轴、轴建立坐标系，利用空间向量法求平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）设中点为，连接，， 因为M、N分别为、的中点，所以，， 因为平面，平面， 平面，平面， 所以平面，平面， 平面，平面，且， 所以平面平面，因为平面，所以平面.    （2）设中点为，中点为，因为，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，进而，因为四边形是正方形，所以， 以为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴建立坐标系， 因为若，，所以， ，，，，为中点，所以. 设平面的法向量为， 因为，，，， 所以，， 取，则，，， 平面的法向量为， 平面与平面夹角的余弦值为.    2 / 44 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 空间向量及其应用 1．空间向量的概念与运算 （1）空间向量的定义和相关概念（模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、负向量等）与平面向量情形相同。 （2）对只与一组共面向量相关的问题，有关平面向量的定义与结论均适用．特别地，平面向量运算（加法、减法、与实数的乘法、数量积）的定义与性质直接适用于空间向量。 2．向量共面的充要条件与空间向量基本定理 （1）向量共面的充要条件：如果 与 是两个不平行的向量，那么空间中的向量 与 、 共面的充要条件是：存在唯一的一对实数 与 ，使得 ______________ ． （2）空间向量基本定理：如果 与 是不共面的向量，那么对于空间中任一向量 ，存在唯一的一组实数 与 ，使得 ______________ ． 3．空间向量的坐标表示 （1）空间向量的坐标表示：建立空间直角坐标系，把向量 的起点放在坐标原点，该向量就直接用它的终点坐标 表示为 ，这个表示的意义是： 是坐标轴正方向上的单位向量 与 的线性组合 ______________ ． （2）给定空间两点 与 ，则 ______________。 4．坐标表示下的空间向量运算 设向量 ，则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 5．空间向量的夹角、平行与垂直 设向量 均为非零向量，则 （1） ； （2） ； （3） ． 6．空间向量在立体几何中的应用 空间中的直线和平面可以分别通过方向向量和法向量与空间向量联系起来，从而把立体几何的许多问题化为向量的问题加以解决． （1）空间直线与平面之间的平行与垂直 ①两条直线平行的充要条件是它们的方向向量平行；两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直． ②直线和平面垂直的充要条件是直线的方向向量为平面的法向量；平面外一条直线和平面平行的充要条件是直线的方向向量垂直于平面的法向量． ③两个平面垂直的充要条件是其中一个平面过另一个平面的一个法向量；两个平面平行的充要条件是它们的法向量平行． （2）求距离 ①平面外一点 到平面的距离 由公式 给出，其中 是平面的一个法向量， 是平面上任意一点． ②平面的平行线到平面的距离、平行平面间的距离均化为点到平面的距离来处理． （3）求角的大小 ①具有方向向量 与 的两条直线的所成角 的大小由如下公式确定： ②具有方向向量 的直线与具有法向量 的平面的所成角 的大小由如下公式确定： ③具有法向量 与 的两个平面所成的锐二面角（或直二面角） 的大小由如下公式确定： 一、求空间向量的数量积 【例1】（24-25高二下·上海闵行·期末）、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则________． 【变式1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则______． 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则____________.    【变式3】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是________． 二、空间向量数量积的应用 【例2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知异面直线、所成角为，、分别为直线、的方向向量，则以下结论中，一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）沿着正四面体的三条棱的方向分别有大小等于的三个力，则此三个力的合力的大小为______． 【变式2】（23-24高二下·上海·阶段检测）已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为________． 三、用空间基底表示向量 【例3】（24-25高二下·上海闵行·期末）正方体中，________．（用、、表示） 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·月考）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则___________（用表示）． 【变式2】（22-23高二下·上海宝山·期末）如图，三棱柱中，、分别是、的中点，设，，，则等于______.    【变式3】（24-25高二下·上海嘉定·期末）在正四面体中，N是面的中心，设，，，则用、、的线性组合可表示为______． 四、空间向量平行的坐标表示 【例4】（23-24高二下·上海虹口·期末）若向量与平行，则实数的值为_____________. 【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知，，若，则________． 【变式2】（20-21高二下·上海普陀·期末）设，，若，则___________． 【变式3】（21-22高二下·上海松江·期末）已知向量是直线的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若直线⊥平面，则实数的值为________. 五、线面角的向量求法 【例5】（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，已知正方体的棱长为1，点为棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，给出以下三个结论： ①存在点满足； ②存在点满足与平面所成角的大小为； ③存在点满足； 其中正确的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面所成的角的大小为______． 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点. (1)若点是的中点，证明：与、共面； (2)求平面与平面所成的锐二面角的大小； (3)若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值. 【变式3】（24-25高二下·上海·期末）如图，在长方体中，，，E、F分别是AB、BC的中点．    (1)证明、、、四点共面； (2)求直线与平面所成的角的大小． 【变式4】（23-24高二下·上海·期末）如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点． (1)证明：平面． (2)求与平面所成角的正弦值． 一、空间向量的坐标运算 【例1】（23-24高二下·上海青浦·期末）在空间直角坐标系中，点关于平面xOz的对称点为B，则________． 【变式1】（21-22高二下·上海松江·期末）已知向量，且，则_________. 【变式2】（22-23高二下·上海宝山·期末）已知、是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是______. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期末）给定点与点． (1)求在上的投影向量； (2)判断四点是否共面？ 【变式4】（24-25高二下·上海宝山·期末）如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. (1)求向量在基下的坐标； (2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 二、点到平面距离的向量求法 【例2】（21-22高二下·上海奉贤·期末）经过原点的平面的一个法向量为，点坐标为，则点到平面的距离为______. 【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）如图，三棱柱中，，，垂直于平面． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求点到平面的距离． 【变式2】（22-23高二下·上海杨浦·期末）如图，正四棱柱的底面边长为1，高为2，点是棱上一个动点（点与，均不重合）.    (1)当点是棱的中点时，求证：直线平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当平面将正四棱柱分割成体积之比为的两个部分时，求线段的长度. 【变式3】（24-25高二下·上海·期末）已知正方体的棱长为1，是的中点，过的平面与分别交于，且． (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求到平面的距离． 【变式4】（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 三、异面直线夹角的向量求法 【例3】（22-23高二下·上海杨浦·期末）如图，正三棱柱的各条棱长都相等，线段、和是该正三棱柱的三条面对角线，直线与这三条面对角线所在直线所成的角大小相同，则这个角的大小是____________（写出所有可能的值）.    【变式1】（24-25高二下·上海闵行·期末）设正方体的棱长为2，，的中点分别为，. (1)求直线与所成角的余弦值； (2)求点到面的距离. 【变式2】（23-24高二下·上海闵行·期末）已知直四棱柱，各棱长均为2，且.设分别是的中点.    (1)求直线与所成的角的大小； (2)求直线与平面所成的角的大小. 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）如图所示，在三棱柱中，平面，，，是的中点． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)若为的中点，求二面角的正切值． 【变式4】（22-23高二下·上海宝山·期末）已知、分别是正方体的棱、的中点，求：    (1)与所成角的大小； (2)二面角的大小； (3)点在棱上，若与平面所成角的正弦值为，请判断点的位置，并说明理由. 四、面面角的向量求法 【例4】（22-23高二下·上海青浦·期末）在长方体中，，点为棱的中点，则二面角的大小为__________．（结果用反三角函数值表示） 【变式1】（21-22高二下·上海浦东新·期末）正方体的棱长为1. (1)为中点，求异面直线与所成的角的大小； (2)求二面角的大小. 【变式2】（23-24高二下·上海金山·期末）如图，在中，.将绕旋转得到，分别为线段的中点． (1)求点到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 【变式3】（23-24高二下·上海·期末）如图，在中，平面平面四边形是边长为2的正方形． (1)证明； (2)若直线与平面所成的角为30°，求二面角的余弦值． 【变式4】（24-25高二下·上海虹口·期末）如图所示四棱锥，底面是边长为2的正方形，M、N分别为、的中点.    (1)证明：面； (2)若，平面平面，求平面与平面夹角的余弦值. 2 / 44 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 $