专题04 数列4考点8题型3易错（期末复习知识清单）高二数学下学期沪教版

专题04 数列 1．等差数列：设 为正整数，若数列 满足 ，则 为等差数列；等差数列 的通项公式：___________ ； 等差数列 的前 项和公式：___________ 或 ___________ 。 2．等比数列：设 为正整数，若数列 满足 ，则 为等比数列；等比数列 的通项公式：___________ ； 等比数列 的前 项和公式：___________ 或 ___________ ； ___________ ． 3．数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列． 4．用数学归纳法证明命题的一般步骤是： （1）证明当 取第一个值 时，命题成立； （2）假设当 时命题成立，证明当 时命题也成立． 那么，命题对于从 开始的所有正整数都成立． 一、等差中项的应用 【例1】（23-24高二下·上海·期末）等差数列中，，则______. 【变式1】（22-23高二下·上海闵行·期末）若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则________. 【变式3】（22-23高二下·上海金山·期末）函数，数列，满足，，若要使成等差数列，则的取值范围为________ 二、利用等差数列的性质计算 【例2】（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则__________． 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）在等差数列中，，则的值是__________. 【变式2】（23-24高二下·上海闵行·阶段检测）在等差数列中，，，则_______________. 三、求等差数列前n项和的最值 【例3】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 【变式1】（21-22高二下·上海松江·期末）等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____. 【变式2】（21-22高二下·上海徐汇·期末）等差数列的首项，公差，则使数列的前项和最大的正整数的值是__________ 四、写出等比数列的通项公式 【例4】（24-25高二下·上海·期末）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．    （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动_________________次. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【变式2】（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【变式3】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列和等比数列， ，，， (1)求通项公式、； (2)求满足的正整数m． 【变式4】（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知无穷数列，.若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”. (1)若，，判断与是否“伴随”，说明理由； (2)已知数列的前项和为，满足，证明：与“伴随”. 五、等比数列通项公式的基本量计算 【例5】（24-25高二下·上海普陀·期末）已知是等比数列，，则公比_____. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则_____________. 【变式2】（24-25高二下·上海青浦·期末）已知等比数列中，，，则这个数列的公比_____. 【变式3】（21-22高二下·上海闵行·期末）在等比数列中，，，则______． 六、等比数列下标和性质及应用 【例6】（25-26高二下·上海·月考）已知等比数列满足，，则________． 【变式1】（25-26高二下·上海·月考）在等比数列中，，，则公比_____． 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）已知在等比数列 中， ，则 _____. 七、利用an与sn关系求通项或项 【例7】（21-22高二下·上海金山·期末）已知数列的前项和为，则_____． 【变式1】（21-22高二下·上海徐汇·期末）无穷数列有个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则的最大值为____________ 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 【变式3】（21-22高二下·上海松江·期末）已知数列的首项，前项和为，数列满足，正项数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列前项和为对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)对于大于1的正整数、(其中)，若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组． 八、数学归纳法的应用 【例8】（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 【变式1】（21-22高二下·上海普陀·期末）在数列中，为正整数. (1)若数列为常数列，求的通项； (2)若，用数学归纳法证明：. 【变式2】（21-22高二下·上海徐汇·期末）已知数列满足 (1)求出项，并由此猜想的通项公式 (2)用数学归纳法证明的通项公式 一、等差数列通项公式的基本量计算 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，且，则首项______． 【变式1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知数列为等差数列，，，则公差________. 【变式2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，则______． 【变式3】（22-23高二下·上海·期末）已知等差数列的通项公式是，则其公差是 _____． 【变式4】（24-25高二下·上海·期末）等差数列中已知，则当取到最大值时，______． 二、求等差数列前n项和 【例2】（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知等差数列的公差，且，则________． 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，，则其前项和_____________. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式___________. 【变式3】（21-22高二下·上海徐汇·期末）对一切实数，令为不大于的最大整数，若，为数列的前项和，则_______ 【变式4】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知为等差数列． (1)若，求的值． (2)若，，求． 三、求等比数列前n项和 【例3】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于______． 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列为等比数列，，． (1)求的值； (2)求数列的前n项和． 【变式3】（24-25高二下·上海青浦·期末）随着人们生活水平和环保意识的提高，某家庭购买了某种型号新能源家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、电费、养护保险费.已知该型号汽车的购置费共万元；购买后预计第年电费共千元，以后每一年都比前一年增加百元. (1)若每年养护保险费均为千元.设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； (2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为千元，由于部件老化等原因，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加.设使用年后年平均费用为，当时，最小.请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）. 【变式4】（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知数列各项均为正数，且，记其前项和为． (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式： (2)若数列为等比数列，，求满足时的最小值． 【变式5】（21-22高二下·上海虹口·期末）已知数列各项均为正数，且，记其前n项和为． (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，，求满足时，n的最小值． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 1．等差数列：设 为正整数，若数列 满足 ，则 为等差数列；等差数列 的通项公式： ； 等差数列 的前 项和公式： 或 。 2．等比数列：设 为正整数，若数列 满足 ，则 为等比数列；等比数列 的通项公式： ； 等比数列 的前 项和公式： 或 ； ． 3．数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列． 4．用数学归纳法证明命题的一般步骤是： （1）证明当 取第一个值 时，命题成立； （2）假设当 时命题成立，证明当 时命题也成立． 那么，命题对于从 开始的所有正整数都成立． 一、等差中项的应用 【例1】（23-24高二下·上海·期末）等差数列中，，则______. 【答案】2 【知识点】等差中项的应用 【分析】根据等差中项分析求解即可. 【详解】因为为等差数列，则，所以. 故答案为：2. 【变式1】（22-23高二下·上海闵行·期末）若椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等差数列，则该椭圆的离心率是________. 【答案】/0.8 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、等差中项的应用 【分析】依题意得到关于的齐次方程，求解即得离心率. 【详解】依题意，成等差数列，则有，， 化简并两边平方可得，， 因，代入整理得，，解得. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海·期末）若函数的四个零点从小到大恰好构成等差数列，则________. 【答案】/ 【知识点】等差中项的应用、求函数的零点、对数函数图象的应用、对数的运算 【分析】分析出不合要求，时，求出四个零点，并得到大小关系，由等差数列性质得到方程，求出. 【详解】，若，无解，舍去， 若，此时，此时，只有两个零点，舍去， 若，， 若，则，故， 若，则，故， 其中， 因为四个零点从小到大恰好构成等差数列， 所以，故，故，解得. 故答案为： 【变式3】（22-23高二下·上海金山·期末）函数，数列，满足，，若要使成等差数列，则的取值范围为________ 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围、等差中项的应用、判断等差数列、分段函数的性质及应用 【分析】由绝对值的意义可得的分段函数式，根据为等差数列，对分，，进行讨论，结合函数解析式和等差数列的性质，即可得到结论． 【详解】，因为为等差数列， (1)若，此时， 满足条件. (2)若，则 ①若，则， 由，得，解得，不合题意. ②若，则 由，得解得：，不合题意； (3)若，， ①若，则 由，得解得：，不合题意. ②若，则， 由，得解得：，符合题意， 此时，，，， ，符合题意. 综上，的取值范围为. 故答案为： 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及等差数列的增减性，解答本题的关键是分类讨论思想的准确应用，属于难题. 二、利用等差数列的性质计算 【例2】（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则__________． 【答案】6 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）在等差数列中，，则的值是__________. 【答案】12 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】应用等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中， ，则， 所以. 故答案为：12 【变式2】（23-24高二下·上海闵行·阶段检测）在等差数列中，，，则_______________. 【答案】11 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【分析】根据等差数列的性质，得出，即可求解. 【详解】根据等差数列的性质，可得， 所以， 故答案为：11. 三、求等差数列前n项和的最值 【例3】（24-25高二下·上海奉贤·月考）已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】先推出，再利用的正负性得到答案. 【详解】由于，，故，即. 这意味着，得. 这表明当时，有，而当时，有. 所以对有，对有，这就意味着在时最大. 故选：A. 【变式1】（21-22高二下·上海松江·期末）等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____. 【答案】5或6 【知识点】求等差数列前n项和的最值 【分析】先求得，然后利用求得正确答案. 【详解】设等差数列的公差为， ，解得， 所以， 由，解得，又， 所以取得最大值时的值为5或6. 故答案为：5或6 【变式2】（21-22高二下·上海徐汇·期末）等差数列的首项，公差，则使数列的前项和最大的正整数的值是__________ 【答案】5 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据等差数列的求和公式及二次函数的性质即得. 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以， 所以时，数列的前项和最大. 故答案为：5. 四、写出等比数列的通项公式 【例4】（24-25高二下·上海·期末）如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．    （1）每次只移动个金属片； （2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面； 试推测：把个金属片从号针移动到号针，最少需要移动_________________次. 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、写出等比数列的通项公式 【分析】依次判断时的移动次数，根据规律可推理得到移动次数. 【详解】设是把个盘子从号针移到号针的最少移动次数， 当时，； 当时，小盘号，大盘号，小盘从号号，； 当时，用次把中小两盘移动到号，再将大盘移动到号，接着再用次把中小两盘从号转移到号， ； 以此类推，当且时，， ，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，， 经检验：满足，则. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【知识点】根据数列的单调性求参数、构造法求数列通项、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）利用构造法结合等比数列定义可证数列为等比数列，从而求得的通项公式； （2）根据增数列得对任意正整数都成立，化简后可求参数的取值范围. 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 【变式2】（23-24高二下·上海长宁·期末）已知数列满足，. (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）直接由等比数列的定义证明即可； （2）直接根据（1）的结论计算即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 即数列是以为首项，3为公比的等比数列； （2）由（1）可得，所以数列的通项公式为. 【变式3】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列和等比数列， ，，， (1)求通项公式、； (2)求满足的正整数m． 【答案】(1)； (2) 【知识点】数列不等式恒成立问题、写出等比数列的通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由等差数列和等比数列的通项公式，解方程求得公差和公比，可得所求 （2）讨论，当，且m为奇数，当，且m为偶数，结合数列的单调性，可得结论． 【详解】（1）设等差数列公差为，等比数列的公比为． 由，可得， 解得，则 （2）由，可得 即 (*) 当时，成立； 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，且为奇数时，显然(*)式不成立； 当时，且为偶数时，设， ， 即，可得(*)式不成立． 综上所得，． 【变式4】（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知无穷数列，.若对任意的正整数，都有，则称与“伴随”. (1)若，，判断与是否“伴随”，说明理由； (2)已知数列的前项和为，满足，证明：与“伴随”. 【答案】(1)不“伴随”，理由见解析； (2)证明见解析. 【知识点】数列新定义、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）取特值计算，结合数列“伴随”的定义判断即可. （2）给定的递推公式求出通项公式，再利用定义推理得证. 【详解】（1）数列与不“伴随”. 取，， 所以数列与不“伴随”. （2）数列中，，则，解得， ，即， 因此数列是首项为，公比为的等比数列，，， 则， 所以与“伴随”. 五、等比数列通项公式的基本量计算 【例5】（24-25高二下·上海普陀·期末）已知是等比数列，，则公比_____. 【答案】/0.5 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】是等比数列，，， ，解得， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，则_____________. 【答案】7 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】由题意得，结合等比数列性质、对数运算性质即可得解. 【详解】已知各项均为正数的等比数列满足，所以，所以，即， 所以. 故答案为：7. 【变式2】（24-25高二下·上海青浦·期末）已知等比数列中，，，则这个数列的公比_____. 【答案】3 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列任意两项之间的关系式，由数列的项，求数列公比. 【详解】由题知，得，解得. 故答案为：3. 【变式3】（21-22高二下·上海闵行·期末）在等比数列中，，，则______． 【答案】3 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】由等比数列通项公式的基本量计算． 【详解】由已知，，所以，，． 故答案为：3． 六、等比数列下标和性质及应用 【例6】（25-26高二下·上海·月考）已知等比数列满足，，则________． 【答案】32 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【详解】设等比数列的公比为，由题意可得，所以. 【变式1】（25-26高二下·上海·月考）在等比数列中，，，则公比_____． 【答案】 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比中项的应用 【分析】首先由等比中项性质求出，之后结合条件求出，即可求出公比. 【详解】，解得 当时，，，解得； 当时，，，无解； 综上所述，. 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）已知在等比数列 中， ，则 _____. 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用 【分析】利用等比数列通项公式的基本量计算，结合等比数列的性质求值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 则，即，所以，即. 所以． 故答案为：9. 七、利用an与sn关系求通项或项 【例7】（21-22高二下·上海金山·期末）已知数列的前项和为，则_____． 【答案】． 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由代入已知条件变形后可得是等差数列（变形前说明），求出通项公式后得，从而易得结论． 【详解】∵，∴，， 时， ，又，所以（）． ∴由，得， 所以是等差数列，公差为1，首项为1， ∴，， 从而． 故答案为：． 【变式1】（21-22高二下·上海徐汇·期末）无穷数列有个不同的数组成，为的前项和，若对任意，则的最大值为____________ 【答案】3 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合与元素的关系，数列中与的关系求解即可. 【详解】∵对任意, ∴， ∴或， 当时, ， ∴可能的值只有0，1，−1，三种情况， 故数列{an}最多有0，1，−1，3个数字组成， 故答案为：3. 【变式2】（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知数列的前项和（为正整数），其中为非零实数． (1)求数列的通项公式； (2)若数列的前三项依次成等比数列，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】等比中项的应用、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）根据给定条件，利用与的关系求出通项公式. （2）利用等比数列列式计算得解. 【详解】（1）数列的前项和， 当时，， 而，，不满足上式， 所以. （2）依题意，， 由数列的前三项依次成等比数列，得，解得， 当时，均不为0，所以. 【变式3】（21-22高二下·上海松江·期末）已知数列的首项，前项和为，数列满足，正项数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列前项和为对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)对于大于1的正整数、(其中)，若、、三个数经适当排序后能构成等差数列，求符合条件的数组． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】等差中项的应用、裂项相消法求和、累乘法求数列通项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由与的关系化简原式，即可求得； （2）先根据累乘法求的通项公式，再根据与前项和的关系可得，利用裂项相消法可求得的前项和，再判断的单调性，列不等式组即可求得实数的取值范围； （3）分类讨论，结合等差数列的性质即可求解. 【详解】（1） ， 当时， 当时， 两式相减得：即 故当时，是等比数列， 即，不满足， . （2）， ， 又因为满足，所以. 当时, 当时, , , 两式相减得：，时满足，所以， ， ，， 在上单调递减， 单调递增， . （3）由（2）知，，，， 若是和的等差中项，则有， 而，且，可得， 若是和的等差中项，则有， 即，即， 由于和的尾数均是偶数，所以它们的差不可能是5. 若是和的等差中项，则有， 即，即， 由于和的尾数均是偶数，所以它们的差不可能是5. 综上：，所以符合条件的数组为. 八、数学归纳法的应用 【例8】（24-25高二下·上海·期末）请指出下列各题用数学归纳法证明过程中的错误． （1）设为正整数，求证：． 证明：假设当（为正整数）时等式成立，即有． 那么当时，就有 ．因此，对于任何正整数等式都成立． （2）设为正整数，求证：． 证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当（，为正整数）时，等式成立，即有， 那么当时，由等比数列求和公式，就有，等式也成立． 根据①和②，由数学归纳法可以断定对任何正整数都成立． 错误是 ___________. 【答案】（1）（2） 【知识点】数学归纳法证明数列问题、求等比数列前n项和 【分析】根据数学归纳法证明的方法与步骤即可得出答案. 【详解】（1）错误：本小题的错误在于没有证明第一步，即没有验证时等式成立， 因为第一步是整个证明的基本， 所以缺了第一步，后面的证明就会出现失误. （2）错误：本小题在证成立时，应用了等比数列的求和公式， 而未使用假设成立时的条件，这与数学归纳法的要求不符， 所以其错误是未使用归纳假设. 故答案为：（1）（2） 【变式1】（21-22高二下·上海普陀·期末）在数列中，为正整数. (1)若数列为常数列，求的通项； (2)若，用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)见解析. 【知识点】数学归纳法证明数列问题、由递推关系式求通项公式 【分析】（1）根据数列为常数列及所给递推关系，平方后即可得解； （2）根据数学归纳法的证明步骤，结合余弦的降幂公式即可得证. 【详解】（1）， ，又数列为常数列， ， 解得或（舍去） 的通项公式为. （2）当时，，成立； 假设时成立，即， 当时，（为锐角）， 即时，成立， 综上，对任意，都有. 【变式2】（21-22高二下·上海徐汇·期末）已知数列满足 (1)求出项，并由此猜想的通项公式 (2)用数学归纳法证明的通项公式 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数与式中的归纳推理、数学归纳法证明数列问题 【分析】（1）根据已知条件求得，由此猜想， （2）结合数学归纳法的证明步骤，证得猜想通项公式正确即可. 【详解】（1）依题意， 所以， 由此猜想. （2）当时，，成立. 假设当时成立，即成立. 则当时，，成立. 综上所述，对任意正整数都成立. 一、等差数列通项公式的基本量计算 【例1】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知等差数列满足，且，则首项______． 【答案】 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列通项公式计算基本量即可. 【详解】由已知数列为等差数列， 所以， 解得， 故答案为：. 【变式1】（23-24高二下·上海奉贤·期末）已知数列为等差数列，，，则公差________. 【答案】2 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列的通项公式列方程组直接计算即可. 【详解】由数列为等差数列,则有，解得. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，则______． 【答案】0 【知识点】利用等差数列通项公式求数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可． 【详解】等差数列中，， 则公差，则． 故答案为：0. 【变式3】（22-23高二下·上海·期末）已知等差数列的通项公式是，则其公差是 _____． 【答案】3 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据已知条件，结合等差数列的定义，即可求解． 【详解】设等差数列的公差为， 则 故答案为：3． 【变式4】（24-25高二下·上海·期末）等差数列中已知，则当取到最大值时，______． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】应用等差数列通项公式结合基本不等式计算，得出取等条件即可. 【详解】设等差数列的公差为. 因为等差数列中， 所以 ， 设，所以， 当且仅当，即时，取到最小值，取最大值， 所以当取到最大值时，，所以. 故答案为：. 二、求等差数列前n项和 【例2】（24-25高二下·上海徐汇·期末）已知等差数列的公差，且，则________． 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用求出首项，在求和可得答案. 【详解】由公差，且， 得， 即，解得， 则. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知数列中，，则其前项和_____________. 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和 【分析】由等差数列求和公式即可求解. 【详解】所求为. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·期末）若数列是以为公差，为首项的等差数列，数列其前项分别为、、、、，则数列的通项公式___________. 【答案】 【知识点】累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和 【分析】由题意得出，结合累加法可求得数列的通项公式. 【详解】因为数列是以为公差，为首项的等差数列，则，且， 所以，，，，， 以上等式累加得， 故. 故当时，. 也满足，故对任意的，. 故答案为：. 【变式3】（21-22高二下·上海徐汇·期末）对一切实数，令为不大于的最大整数，若，为数列的前项和，则_______ 【答案】100 【知识点】求等差数列前n项和、数列新定义 【分析】根据题意可得，然后根据条件及求和公式即得. 【详解】因为， 所以当 时，； 当 时，； 当 时，； 当 时，； ， 所以． 故答案为：100. 【变式4】（24-25高二下·上海浦东新·期末）已知为等差数列． (1)若，求的值． (2)若，，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列求和公式及等差数列的性质直接可得解； （2）根据等差数列的性质及等差数列通项公式直接计算即可. 【详解】（1）由已知数列为等差数列， 则， 解得； （2）由已知， 则， 又， 解得，， 所以. 三、求等比数列前n项和 【例3】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列满足，，则数列的前4项和等于______． 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和 【分析】根据数列的递推关系式，计算出前4项，再计算前4项和； 【详解】，. 当时； 当时； 当时； 所以数列的前4项和等于. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知等差数列的公差是-2，等比数列的公比是2，若. (1)求和的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据给定条件，求出等差数列的首面，再利用等差数列、等比数列通项公式求得答案. （2）利用分组求和法，结合等差数列、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）等比数列的公比是2，，则，， 由，得，又等差数列的公差是-2，则， 所以和的通项公式分别为，. （2）记和的前项和分别为，，则． 而，， 所以. 【变式2】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知数列为等比数列，，． (1)求的值； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据题意，由条件可得数列的通项公式，然后代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分组求和法结合等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为数列为等比数列，则，即，又， 则，所以. （2）由（1）可知，，则， 设数列的前n项和， 则 . 【变式3】（24-25高二下·上海青浦·期末）随着人们生活水平和环保意识的提高，某家庭购买了某种型号新能源家用汽车.使用汽车共需支出三笔费用：购置费、电费、养护保险费.已知该型号汽车的购置费共万元；购买后预计第年电费共千元，以后每一年都比前一年增加百元. (1)若每年养护保险费均为千元.设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式； (2)若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为千元，由于部件老化等原因，第7年起，每一年的养护保险费都比前一年增加.设使用年后年平均费用为，当时，最小.请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）. 【答案】(1) (2)， 【知识点】求等比数列前n项和、写出等比数列的通项公式、求等差数列前n项和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）根据等差数列计算年后电费的总支出，再加上购置费和养护保险费，计算总支出费用； （2）根据等比数列计算时，第年养护保险费，进而计算年后总费用的平均值，计算确定. 【详解】（1）购买后第年电费共元后每一年都比前一年增加元， 购买该车后，每年的电费构成等差数列，首项为，公差为， 购买该种型号汽车第年的电费用为， 购买该种型号汽车第年的电费用为 ， 每年养护保险费均为元，购置费共万元， 购买该种型号汽车年后共支出费用为 . （2）设第年养护保险费为，则， 设年后的总费用为， 则 经计算器计算可得时，最小. 【变式4】（23-24高二下·上海嘉定·期末）已知数列各项均为正数，且，记其前项和为． (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式： (2)若数列为等比数列，，求满足时的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设出数列公差，借助等差数列及其前项和计算即可得； （2）设出数列公比，由题意计算可得其通项公式及前项和，计算即可得. 【详解】（1）设数列的公差为，则有，即， 故； （2）设数列的公比为，则有，即， 则，则， 令，即，故，即的最小值为. 【变式5】（21-22高二下·上海虹口·期末）已知数列各项均为正数，且，记其前n项和为． (1)若数列为等差数列，，求数列的通项公式； (2)若数列为等比数列，，求满足时，n的最小值． 【答案】(1)； (2)6. 【知识点】数列不等式能成立（有解）问题、求等比数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用等差数列的定义与性质，求出公差，再写出通项公式． （2）求出等比数列的公比，写出通项公式与前n项和公式，由题意列出不等式，即可求出n的最小值． 【详解】（1）设数列的公差为，由，，得，解得， 所以数列的通项公式. （2）设正项数列的公比为，由，，得，解得， 因此数列的通项公式为，前n项和为， 由，得，整理得，解得， 而，于是， 所以n的最小值为6. 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $