专题01 坐标平面上的直线3考点9题型3易错（期末复习知识清单）高二数学下学期沪教版

专题01 坐标平面上的直线 1．与平面直角坐标中直线有关的重要的量 （1）倾斜角：当直线 与 轴相交于一点 时，将 轴绕点 沿逆时针方向旋转到与 重合时所转过的最小正角 称为直线 的倾斜角；当 平行于 轴或与 轴重合时，规定倾斜角 。于是，倾斜角的取值范围为 ． （2）斜率：当直线 不与 轴垂直时，定义它的斜率为 ，其中 为 的倾斜角；当直线 与 轴垂直时，斜率不存在．过两点 与 的直线的斜率是 ． （3）截距：直线 与 轴交点的纵坐标称为直线 在 轴上的截距；直线 与 轴交点的横坐标称为直线 在 轴上的截距． 2．直线的各种形式的方程 （1）直线的点斜式方程：过点 且斜率为 的直线的方程是 ． （2）直线的斜截式方程：斜率为 且在 轴上的截距为 的直线的方程是 ． （3）直线的两点式方程：经过两点 且 的直线的方程是 ． （4）直线的点法式方程：过点 且一个法向量为 的直线的方程是 ． （5）直线的一般式方程：直线一般形式的方程是 ，其中 $a , b$ 不同时为零．这个方程的一次项系数给出了它的一个法向量 ． 3．两条直线的位置关系 给定两条直线 与 不同时为零， 不同时为零）。 （1）直线相交、平行与重合： 与 相交、平行或重合取决于方程组 解的情况： ① 与 重合 ⇔ 方程组有无数组解 ⇔ 存在 ，使得 且 ； ② 方程组无解 ⇔ 存在 ，使得 但 ； ③ 与 相交 ⇔ 方程组有唯一的解 ． （2）两条直线垂直的充要条件： ；如果两条直线的斜率 与 都存在，那么 ． （3）两条直线的夹角： 与 的夹角 的余弦公式为 4．点到直线的距离：点 到直线 不同时为零）的距离为 一、直线的倾斜角 【例1】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为______． 【变式2】（23-24高二下·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为______. 【变式3】（23-24高二下·上海杨浦·期末）直线的倾斜角大小是________． 【变式4】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________. 【变式5】（22-23高二下·上海奉贤·期末）过点的直线的倾斜角为______.（用反三角表示） 二、斜率与倾斜角的变化关系 【例2】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【变式1】（22-23高二下·上海黄浦·月考）已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为___________. 【变式2】（21-22高二下·上海松江·期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________. 三、已知两点求斜率 【例3】（22-23高二下·上海崇明·期末）已知直线l经过点,，则它的斜率______. 【变式1】（22-23高二下·上海普陀·期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________． 【变式2】（21-22高二下·上海闵行·期末）经过点和的直线的斜率为______． 四、直线的点斜式方程及辨析 【例4】（24-25高二下·上海松江·期末）直线 的倾斜角是__________. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为___________. 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角为_____ 五、直线的一般式方程及辨析 【例5】（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·上海虹口·期末）直线与的夹角大小为_____． 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【变式3】（23-24高二下·上海静安·月考）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 六、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【例6】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知，，随机选取m、n，则直线不经过第二象限的概率是________． 【变式1】（22-23高二下·上海宝山·期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______. 【变式2】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线的斜率为______________． 【变式3】（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是_________. 七、直线过定点问题 【例7】（23-24高二下·上海·月考）已知直线方程为，绕点顺时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________. 【变式2】（23-24高二下·上海·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是______． 八、求平行线间的距离 【例8】（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是________． 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 九、求点关于直线的对称点 【例9】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知点，点在轴上，则的最小值为__________. 【变式1】（23-24高二下·上海·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 一、已知直线平行求参数 【例1】（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是______. 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为______. 【变式2】（22-23高二下·上海黄浦·期末）两直线与平行，则的值是______； 【变式3】（22-23高二下·上海虹口·期末）已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为________. 二、已知直线垂直求参数 【例2】（23-24高二下·上海奉贤·期末）“”是“直线与直线垂直”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数__________. 【变式2】（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 【变式3】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 【变式4】（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 三、求点到直线的距离 【例3】（24-25高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为_____. 【变式1】（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为______． 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是________. 【变式3】（22-23高二下·上海浦东新·阶段检测）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为______. 【变式4】（21-22高二下·上海虹口·期末）已知点在直线上，则的最小值为________． 【变式5】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 坐标平面上的直线 1．与平面直角坐标中直线有关的重要的量 （1）倾斜角：当直线 与 轴相交于一点 时，将 轴绕点 沿逆时针方向旋转到与 重合时所转过的最小正角 称为直线 的倾斜角；当 平行于 轴或与 轴重合时，规定倾斜角 。于是，倾斜角的取值范围为 ． （2）斜率：当直线 不与 轴垂直时，定义它的斜率为 ，其中 为 的倾斜角；当直线 与 轴垂直时，斜率不存在．过两点 与 的直线的斜率是 ． （3）截距：直线 与 轴交点的纵坐标称为直线 在 轴上的截距；直线 与 轴交点的横坐标称为直线 在 轴上的截距． 2．直线的各种形式的方程 （1）直线的点斜式方程：过点 且斜率为 的直线的方程是 ． （2）直线的斜截式方程：斜率为 且在 轴上的截距为 的直线的方程是 ． （3）直线的两点式方程：经过两点 且 的直线的方程是 ． （4）直线的点法式方程：过点 且一个法向量为 的直线的方程是 ． （5）直线的一般式方程：直线一般形式的方程是 ，其中 $a , b$ 不同时为零．这个方程的一次项系数给出了它的一个法向量 ． 3．两条直线的位置关系 给定两条直线 与 不同时为零， 不同时为零）。 （1）直线相交、平行与重合： 与 相交、平行或重合取决于方程组 解的情况： ① 与 重合 ⇔ 方程组有无数组解 ⇔ 存在 ，使得 且 ； ② 方程组无解 ⇔ 存在 ，使得 但 ； ③ 与 相交 ⇔ 方程组有唯一的解 ． （2）两条直线垂直的充要条件： ；如果两条直线的斜率 与 都存在，那么 ． （3）两条直线的夹角： 与 的夹角 的余弦公式为 4．点到直线的距离：点 到直线 不同时为零）的距离为 一、直线的倾斜角 【例1】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线与直线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角 【分析】借助倾斜角与斜率的关系可得两直线的倾斜角，即可得其夹角. 【详解】设两直线的倾斜角分别为，由，则， 由，则，即， 则两直线夹角为. 故选：B. 【变式1】（24-25高二下·上海·期末）斜率为的直线的倾斜角为______． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系直接可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，且， 则斜率， 解得， 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海长宁·期末）直线与直线的夹角大小为______. 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，再结合直线夹角的概念即可得解. 【详解】因为直线的斜率为，则倾斜角为， 所以直线与直线的夹角大小为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二下·上海杨浦·期末）直线的倾斜角大小是________． 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据倾斜角和斜率关系求解即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为， 所以， 故答案为:. 【变式4】（23-24高二下·上海宝山·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为__________. 【答案】 【知识点】直线的倾斜角 【分析】根据直线方程可得斜率，从而利用可求倾斜角. 【详解】因为直线的方程为， 所以直线的斜率1， 令直线的倾斜角为，则， 因为， 所以. 故答案为：. 【变式5】（22-23高二下·上海奉贤·期末）过点的直线的倾斜角为______.（用反三角表示） 【答案】. 【知识点】直线的倾斜角、反三角函数、已知两点求斜率 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，进而求得直线的倾斜角. 【详解】由点，可得， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以. 故答案为：. 二、斜率与倾斜角的变化关系 【例2】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知点过点A的直线与线段BC相交，则直线的斜率的取值范围是______. 【答案】 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线与线段的相交关系求斜率范围、已知两点求斜率 【分析】依题意，作出图象，利用正切函数的单调性，结合图象即得. 【详解】 如图，要使过点A的直线与线段BC相交，需使直线的倾斜角介于直线的倾斜角之间， 即需使斜率满足, 因，，故. 故答案为：. 【变式1】（22-23高二下·上海黄浦·月考）已知直线的斜率不存在，且，则直线的斜率为___________. 【答案】0 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系 【分析】由直线的倾斜角结合垂直关系得出直线的斜率. 【详解】直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为0，则斜率为0 故答案为：0 【变式2】（21-22高二下·上海松江·期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为_________. 【答案】或 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、已知斜率求参数 【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案. 【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为， 由于的斜率为，即， 所以， 由于直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为. 所以，解得， 或，解得. 所以实数的值为或. 故答案为：或 三、已知两点求斜率 【例3】（22-23高二下·上海崇明·期末）已知直线l经过点,，则它的斜率______. 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】由两点斜率公式即可求解. 【详解】由,可得， 故答案为： 【变式1】（22-23高二下·上海普陀·期末）已知直线l经过点．直线l的倾斜角是___________． 【答案】/ 【知识点】已知两点求斜率、直线的倾斜角 【分析】根据两点确定直线的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系列式求解即可. 【详解】因为过两点的直线的斜率为：， 因为，是直线的倾斜角，且 所以直线的倾斜角为：． 故答案为：. 【变式2】（21-22高二下·上海闵行·期末）经过点和的直线的斜率为______． 【答案】 【知识点】已知两点求斜率 【分析】利用斜率公式计算即可. 【详解】经过点和的直线的斜率为. 故答案为： 四、直线的点斜式方程及辨析 【例4】（24-25高二下·上海松江·期末）直线 的倾斜角是__________. 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案. 【详解】由，设斜率为，倾斜角为， 因为直线斜率为，则，又因直线的倾斜角， 所以. 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）经过点且斜率为1的直线方程为___________. 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析 【分析】根据直线方程的点斜式可直接求解 【详解】因为直线经过点且斜率为1， 所以，即， 故答案为：. 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）直线的倾斜角为_____ 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】求出直线的斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，设其倾斜角为，则， 所以. 故答案为： 五、直线的一般式方程及辨析 【例5】（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】直线的倾斜角、直线的一般式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系 【分析】根据给定条件，求出直线斜率，进而求出其倾斜角. 【详解】直线的斜率，倾斜角范围为， 所以直线的倾斜角为. 故选：B 【变式1】（24-25高二下·上海虹口·期末）直线与的夹角大小为_____． 【答案】/ 【知识点】直线的一般式方程及辨析、直线的倾斜角 【分析】根据直线的斜率求出倾斜角，再由知倾斜角为，根据倾斜角求出两直线的夹角. 【详解】直线化为斜截式为， 故直线的斜率是， 直线的倾斜角满足， 结合，可得， 直线倾斜角为 所以直线与的夹角大小为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【知识点】直线过定点问题、直线的一般式方程及辨析 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 【变式3】（23-24高二下·上海静安·月考）设直线l的方程为． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程； (2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】直线的一般式方程及辨析、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程. 【详解】（1）由，令，令， 由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或， 故直线方程：或 （2）由（1）可知，， 当且仅当，即取等号. 即直线方程：. 六、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【例6】（24-25高二下·上海闵行·期末）已知，，随机选取m、n，则直线不经过第二象限的概率是________． 【答案】 【知识点】计算古典概型问题的概率、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】利用列举法，结合直线的知识确定正确答案. 【详解】依题意，所有可能的直线为 ，即，过一、二、四象限. ，即，过一、三、四象限. ，即，过一、二象限. ， 即，过三、四象限. ， 即，过一、二、三象限. ， 即，过二、三、四象限. 其中不经过第二象限的为、， 所以直线不经过第二象限的概率是. 故答案为： 【变式1】（22-23高二下·上海宝山·期末）直线过点，且与向量垂直，则直线的方程为______. 【答案】 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化、直线的点斜式方程及辨析 【分析】依题意可得直线的斜率，再由点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线过点，且与向量垂直， 则直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直线的斜率为______________． 【答案】/ 【知识点】直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】转换成斜截式即可得. 【详解】由直线可得，则其斜率为. 故答案为：. 【变式3】（22-23高二下·上海闵行·期末）若直线的倾斜角为且在轴上的截距为，则直线的一般方程是_________. 【答案】 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线一般式方程与其他形式之间的互化 【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又由直线在轴上的截距为，所以直线方程为，即. 故答案为：. 七、直线过定点问题 【例7】（23-24高二下·上海·月考）已知直线方程为，绕点顺时针旋转，得到直线，则不过第（    ）象限. A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角、直线过定点问题、直线的斜截式方程及辨析 【分析】显然直线依然过定点，故只需得出只需的倾斜角，以此来判断斜率即可得解. 【详解】直线方程为，它的倾斜角为，绕点顺时针旋转，即绕点顺时针旋转，得到直线， 则直线依然过定点，且直线与轴负半轴夹角为，这意味着的倾斜角为，这表明的斜率小于0， 所以不过第三象限. 故选：C. 【变式1】（23-24高二下·上海宝山·期末）若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为__________. 【答案】 【知识点】直线过定点问题 【分析】变形得到方程组，求出定点坐标. 【详解】令，解得，故经过的定点坐标为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二下·上海·阶段检测）已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角范围是______． 【答案】 【知识点】直线过定点问题、直线与线段的相交关系求斜率范围 【分析】先求出直线过的定点，直线与连接两点的线段总有公共点，求出，可知直线的斜率满足或，求出倾斜角即可. 【详解】如下图，由题意， 直线方程可化为，    由解得， 则直线过定点， 又， 则由直线与连接两点的线段总有公共点知: 直线的斜率满足或， 又当直线的斜率存在时，， 所以或， 则直线的倾斜角为或， 又也符合题意， 则直线的倾斜角范围是. 故答案为：. 八、求平行线间的距离 【例8】（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则________. 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是________． 【答案】 【知识点】求平行线间的距离 【分析】直接由两平行线间的距离公式计算可得. 【详解】平行直线及之间的距离. 故答案为： 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【知识点】由直线交点的个数求参数、求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】（1）根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解. （2）由两直线平行列式求出，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. 九、求点关于直线的对称点 【例9】（24-25高二下·上海·阶段检测）已知点，点在轴上，则的最小值为__________. 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】依题意作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，连接，则，计算即得的最小值. 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    【变式1】（23-24高二下·上海·月考）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】【小题1】 【小题2】 【小题3】 【知识点】直线关于直线对称问题、求直线关于点的对称直线、求点关于直线的对称点 【分析】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【详解】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 【变式2】（24-25高二下·上海·月考）在平面直角坐标系中， 已知矩形的长，宽，、边分别在轴、轴的正半轴上，点与坐标原点重合，如下图所示.将矩形折叠，使点落在线段上. (1)若折痕所在直线的斜率为，求折痕所在直线的方程（用斜率表示）； (2)若折痕和线段、相交，求折痕的长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】（1）当时，此时点与点重合，折痕所在的直线方程．当时，将矩形折叠后点落在线段上的点记为，可知与关于折痕所在的直线对称，得到，从而得到点坐标，可得中点的坐标，利用点斜式求得折痕所在的直线方程． （2）由折痕和线段、相交求出的取值范围，从而求出交点坐标，即可求出折痕长的取值范围． 【详解】（1）①当时，此时点和点重合，折痕所在的直线方程； ②当时，将矩形折叠后点落在线段上的点为， 所以与关于折痕所在的直线对称，有，即，则． 故点坐标为， 从而折痕所在的直线与的交点坐标（即线段的中点）为． 所以折痕所在的直线方程，即． 综上：由①②可得折痕所在的直线方程为． （2）由（1）可知，对于， 令，可得，令可得， 依题意可得，解得， 如下图，折痕所在的直线与线段、的交点坐标为． 所以，因为，所以， 所以，所以， 所以折痕的长的取值范围． 一、已知直线平行求参数 【例1】（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是______. 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、已知直线平行求参数 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为______. 【答案】或 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的性质直接得解. 【详解】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 【变式2】（22-23高二下·上海黄浦·期末）两直线与平行，则的值是______； 【答案】 【知识点】已知直线平行求参数 【分析】根据直线平行的充要条件即可求出． 【详解】因为两直线与平行， 当时，显然与不平行， 当时，有，解得， 故答案为：． 【变式3】（22-23高二下·上海虹口·期末）已知平面直角坐标系中的三点、、，若直线过点且与直线平行，则的方程为________. 【答案】 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、已知两点求斜率、已知直线平行求参数 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的斜截式方程求解作答. 【详解】依题意，直线的斜率，因为，因此直线的斜率为，直线过点， 所以直线的方程为. 故答案为： 二、已知直线垂直求参数 【例2】（23-24高二下·上海奉贤·期末）“”是“直线与直线垂直”的（   ）. A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【知识点】已知直线垂直求参数、探求命题为真的充要条件 【分析】根据直线垂直求出值即可得答案. 【详解】若直线与直线垂直， 则，解得， 则“”是“直线与直线垂直”的充要条件. 故选：C. 【变式1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和互相垂直，则实数__________. 【答案】2 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解. 【详解】已知直线和互相垂直， 则，解得. 故答案为：2. 【变式2】（24-25高二下·上海静安·期末）已知直线与互相垂直，则实数的值为_______． 【答案】1 【知识点】已知直线垂直求参数 【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得. 【详解】由两直线垂直可得，解得或1， 当时，直线不存在，故舍掉， 所以. 故答案为：1. 【变式3】（22-23高二下·上海闵行·期末）已知两条直线:和 (1)若，求实数a的值; (2)若，求与之间的距离. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知直线平行求参数、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【详解】（1）由可得，，解得. 此时，，有，故； （2）由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 【变式4】（23-24高二下·上海·期中）已知点，． (1)设，若直线与直线垂直，求的值； (2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【知识点】由两条直线垂直求方程、已知直线垂直求参数 【分析】（1）根据直线垂直即可求解； （2）先对用正弦定理，得到的正弦值，对用正弦定理，得到，设出交点求解二次方程即可求解. 【详解】（1）直线的斜率为，因为直线与直线垂直， 所以，所以； （2） 如图点为过点且与直线夹角的余弦值为的直线与直线的交点， 点为直线与轴的交点，点为直线与直线的交点， 点为过点作轴的垂线交直线的交点，，， 设夹角为，因为，所以， 因为，， 所以在中，，所以， 因为，所以在中，， 所以，所以，易知， 设交点坐标为，所以， 所以或，所以交点坐标为或， 所以直线方程为或， 即或. 三、求点到直线的距离 【例3】（24-25高二下·上海青浦·期末）点到直线的距离为_____. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海金山·期末）已知直线过点，倾斜角为，则坐标原点到直线的距离为______． 【答案】 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、斜率与倾斜角的变化关系、求点到直线的距离 【分析】先求出直线的方程，再根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意知，斜率为， 则直线方程为，即， 则坐标原点到直线的距离为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是________. 【答案】2 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线的距离公式可求答案. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：2. 【变式3】（22-23高二下·上海浦东新·阶段检测）已知点分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为______. 【答案】 【知识点】求平行线间的距离、用两点间的距离公式求函数最值、直线综合、求点到直线的距离 【分析】作出图象，易知，则然后易求得当时，此时可过作直线与垂直，易知得的方程，然后在上，直线，之间找点，使得到的距离等于点到的距离，此时最小距离和即为，由此求解． 【详解】易知，作出图象如下，过点作直线，则， 直线，过作直线，与直线交于点，易知四边形为平行四边形， 故，且到直线的距离等于到的距离， 设，则，解得或（舍，所以， 而，且（定值）， 故只需求出的最小值即可，显然， 故的最小值为． 故答案为：． 【变式4】（21-22高二下·上海虹口·期末）已知点在直线上，则的最小值为________． 【答案】2 【知识点】求点到直线的距离 【分析】将的最小值转化为原点到直线的距离来求解即可. 【详解】可以理解为点到点的距离， 又∵点在直线上， ∴的最小值等于点到直线的距离， 且. 故答案为：. 【变式5】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【答案】(1)； (2)或. 【知识点】直线的一般式方程及辨析、求点到直线的距离、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【详解】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 2 / 24 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $